２００９年９月
第２３卷第３期总７７期
北京联合大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｓｃｐ．２００９
Ｖ０１．２３Ｎｏ．３ＳｕｍＮｏ．７７
Ｂｅｉｊｉｎｇ
Ｕｎｉｏｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的
一种新方法
邢春峰，袁安锋，王朝旺
（北京联合大学基础部，北京
１００１０１）
［摘要］为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶常系数线性非齐次微分方程的
通解，这里使用常数变易法，在先求得二阶常系数线性齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶常系数线性ｊ｝齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，从而给出了一种运算量较小的二阶常系数线性非齐次微分方程通解的一般公式，并且将通解公式进行了推广，实例证明该方法是可行
的。
［关键词］二阶常系数非齐次线性微分方程；通解；特解
１７５
【中图分类号］０［文献标识码】Ａ
［文章编号］１００５．０３１０（２００９）０３．００７３．０３
ＴｈｅＦｏｒｍｕｌａｏｆＧｅｎｅｒａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒＳｅｃｏｎｄＯｒｄｅｒＬｉｎｅａｒ
ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈＣｏｎｓｔａｎｔ
Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＸＩＮＧＣｈｕｎ—ｆｅｎｇ，ＹＵＡＮＡｎ—ｆｅｎｇ，ＷＡＮＧＣｈａｏ—ｗａｎｇ
（ＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ
１００１０１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒ
ｔｏ
ｏｂｔａｉｎｎ帕ｍｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈ
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｋｎｏｗｉｎｇ
ａ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅ佑ｃｉｅｎｔｓ。
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ｓｐｅｃｉａｌｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎ丽ｔｈ
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ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｖｅｒｉｆｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎ
对于二阶常系数非齐次线性微分方程
厂＋∥’＋ｑＹ＝ｆ（石），
（１）
Ｐ。（算）和Ｐ：（茗）为多项式）时，一般教材均按待定系数法来求得方程（１）的特解（如文献［２］）。当然，待定系数法有其方程式化的特点，但计算量大。另外这种方法要对非齐次项ｆ（菇）进行分类试解，学生必须记住分类试解的形式，不便于记忆和应用。
（２）
其中Ｐ，ｑ是实的常数，ｆ（互）在其定义域内连续，以下同此。一般高等数学教材中给出方程（１）的通解等于对应的齐次方程
厂＋ｐｙ７＋ｑＹ＝０
的通解加上自身的一个特解（如文献［１］）。
针对方程（１）中的非齐次项ｆ（舅）是某些特殊类型的函数，特别是Ｐ（茗），Ｐ（菇）ｅｈ，ｅｈ【ｐｌ（茗）ＣＯ￥ＯＪ茗＋Ｐ２（ｚ）ｓｉｎｏｕｘ】（其
中Ｐ（髫），
本文提供了一种直接求方程（１）通解的新方法，该方法有助于学生全面了解方程的特点，便于记忆和应用，并且扩大了可求解方程的范围。
设方程（１）的通解为
Ｙ＝ｕ（茗）口（茗）垒聊，
［收稿日期］２００８—０９—２３
【作者简介］邢春峰（１９７卜），男，山东德州人。北京联合大学基础部副教授，主要从事应用数学理论与高职数学教学
的研究；袁安锋（１９７卜），男，山东日照人，北京联合大学基础部讲师，主要从事应用数学理论与高等数学教学的研究。
万方数据
７４北京联合大学学报（自然科学版）２００９年９月
即寻找两个函数“＝Ⅱ（石），ｔＪ：和（尤），使得，，＝聊为方程（１）的通解。求导得
，，’＝“’ｔＩ＋“＂’，厂＝ｌ，秽＋２ｕ７口７＋ｕ矿，将，，，），７，厂代入（１）化简得
Ｉ正矿＋（２ｕ’＋ｐｕ）口７＋（“一＋ｐｕ７＋ｑｕ）ｔ，＝／（算）。
（３）
首先寻找函数ｕ＝“（石）。在（３）中不妨令
矿＋ｐｕ７＋ｑｕ＝０，
（４）
显然（４）为二阶常系数齐次线性微分方程。这时取
ｕ＝ｅ“
（５）
即可，其中ｒ为（４）的特征方程的一个特征根。
将（４）和（５）代入（３）化简得
ｔ，＋（２ｒ＋Ｐ）秽７＝／（ｘ）ｅ一“，
（６）
显然（６）为可降阶的微分方程。利用可降阶的微分方程的求解方法可求得（６）的通解（即求得移＝”（石））为
ｔ，＝ｆｅ（２ｒ＋ｐ）ｚ（队茹）ｅ（ｒ＋ｐ）ｘｄ工＋ｃ。ｄ茗＋Ｃ２
９
其
中
积
分
ｌ厂（舅）ｅ“”ｈｄｘ
和
（陟（石）ｅ（ｒ＋ｐ）ｚｄ茹＋ｃ。ｄ髫表示一个原函数，ｅｌ和ｃ：
为任意常数。
由此得（１）的通解为
，，＝ｅ“【ｆｅ－（ｚｒ＋ｐ）ｘ（陬省）ｅ（ｒ＋ｐ）ｚｄ茗¨ｄ石＋ｃｚ】。
综上所述，把求方程（１）通解的过程归纳如下：定理对于二阶常系数非齐次线性微分方程（１），假设（１）对应的齐次方程（２）的特征方程有特征根ｒ，则（１）的通解为
ｙ＝ｅ“【ｆｅ－（２ｒ＋ｐ）ｚ（队石）ｅ（ｒ＋Ｐ）ｓｄ戈¨ｄ算＋ｃ：】，
（７）
其
中
积分
Ｉ厂（ｘ）ｅ“”ｈｄｘ
和
（陟（菇）ｅ（ｒ．．－ｐ）ｓｄ戈＋ｃ。ｄ髫表示一个原函数，ｃ。和Ｃ２
为任意常数。
说明：设（２）的特征方程的特征根为ｒ。，ｒ：，１）若ｒ。≠ｒ：，这时取ｒ。，ｒ：之一作为ｒ的值代入（７）就可求得通解；
２）若ｒ。＝ｒ：＝ｒ，代人（７）可得（１）的通解为
ｙ＝ｅ“【ｆ（陟（小～ｄ并＋ｃ１ｄ茹＋ｃｚ］；（８）
３）若ｒｌ。２＝口±肛，这时取ｒｌ，ｒ２之一作为７的值代Ａ（７）后在求得的解中取实部即为（１）的通
解．即
万方数据
，，：Ｒｅｌｅ一［ｆｅ川…，，（陟（石）ｅ∽小ｄ戈＋
Ｃ１）ｄｘ＋Ｃ２］｝。
例１求微分方程厂一３，，７＋２ｙ＝Ｘｅ２。的通解。
解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２—３ｒ＋２＝０，特征根为ｒｌ＝１，ｒ２＝２。这里取ｒ＝２。又
Ｐ＝一３，ｆ（髫）＝Ｘｅ２’。代入（７）得方程的通解为
，，＝ｅ２。【．『ｅ一（２×２—３）。（＇ｆ髫ｅｈｅ（２—３）‘ｄ茗＋ｃｄ茗＋ｃ：】＝
ｅ２。【，ｅ一‘（ｊ．菇ｅ。ｄ聋＋ｃ）ｄ菇＋ｃ：】＝
ｅ２。【ｆｅ一。（菇ｅ。．．ｅ。＋ｃ）ｄ髫＋ｃ２］＝＝ｅ２。［ｆ（童一１＋ｃｅ。。）ｄ菇＋ｃ２］＝
（丢石２一菇ｅ。＋Ｃｌｅｚ＋ｃ：孑‘
（此处ｃＩ＝一ｃ）。
这和参考文献［１］的结果是一样的。
例２求微分方程厂一２ｙ７＋ｙ＝｛ｅ‘的通解。
解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２—２
ｒ＋１
＝０，特征根为ｒ。＝ｒ：＝１。这里取ｒ＝１。ｆ（ｚ）
：一１ｅ，，代入（８）得方程的通解为
ｙ＝ｅ。【ｊ．（－ｆ÷ｅ５ｅ－ｓｄ石＋ｃ）ｄ菇＋ｃ：】＝ｅ。【ｊ．（．ｆ丢ｄｚ＋ｃｄ戈＋ｃ：】＝
ｅ。【ｆ（１ｎ并＋ｃ）ｄｘ＋ｃ２］：
（Ｃ１菇＋Ｃ２）ｅ‘＋菇ｅ。ｌｎｘ
（此处ｃ．＝Ｃ一１）。
这和参考文献［３］、［４］的结果是一样的。
例３求微分方程广＋，，＝菇的通解。解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２＋１：
０，特征根为ｒ１．２＝±ｉ。这里取ｒ＝ｉ。又Ｐ＝０，
八算）＝茗，代入（７）得
ｙ＝ｅｈ【ｊ．ｅ一２讧（－ｒ石ｅｈｄ算＋ｃ）ｄ并＋ｃ：】＝
ｅ讧【ｆ（一缸ｅ～＋ｅ岫＋ｃｅ．２讧）ｄ茗＋ｃ：】：
ｅ矗卜扛＋号甜‰¨】：
髫＋ｃｌ
ｆｅ一＋ｃ２ｅ面
（此处ｃｌ：詈）＝
茹＋（Ｃ１ｓｉｎｘ＋Ｃ２ＣＯＳ髫）＋ｉ（ｃｌｓｉｎ并＋Ｃ２Ｃ０８茗）
第２３卷第３期邢春峰等：求－￥ｔ线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法
７５
取实部得方程的通解为
ｙ＝聋＋Ｃｌｓｉｎｘ＋ｃ２ｃｏｓｘ
ｏ
式和待定系数法相比，一是不用讨论（２）的特征方程特征根的情况；再就是该通解公式对（１）中的非齐次项ｆ（茗）要求非常低，只要能求出不定积分，就能利用此公式，所以说该公式更具有一般性。
这和参考文献［５］的结果是一样的。
通过上例可以看出，这里给出的（１）的通解公
【参考文献］
［１］谢季监，李启文．大学数学——微积分及其在生命科学、经济管理中的应用［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．［２］［３］［４］
同济大学应用数学系．高等数学（下）［Ｍ］．第５版．北京：高等教育出版杜，２００２．
ＧｕｐｔａＲＣ．Ｏｎｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＢｅｄｅｗ，１９９８（４０）：６８０－－６８４．
王焕．求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式［Ｊ］，高等数学研究，２００６，９（３）：２５—２７．
［５］常庚哲，蒋继发．用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程［Ｊ］．大学数学，２００３，１９（１）：７６—７９．
（责任编辑李亚青）
・简讯・
ＩＥＥＥ第１６届工业工程与工程管理国际学术会议
（ＩＥ＆ＥＭ’２００９）即将召开
ＩＥＥＥ第１６届工业工程与工程管理国际学术会议（ＩＥ＆ＥＭ’２００９）将于２００９年ｌｏ月２１日至２３日在中国北京召开。首都北京目前正处于工业化中期向后期推进的阶段，工业化进程尚未最终完成，国际大都市发展内在规律要求首都必须加快技术创新和高新技术产业化进程，完善产业链，提高产品附加值。当前，新型工业化道路出现的二、三产业之间相互融合的趋势，有利于充分发挥北京的比较优势。推动高新技术产业和现代服务业的互相促进、共同发展。北京工业必须坚持以科学发展观为统领，紧密围绕。新北京、新奥运’的战略构想，走新型工业化道路，以信息化带动工业化。以高端、高效、高辐射力和资源节约、环境友好为产业发展方向。
北京经济的发展为现代工业工程与工程管理的学术研究和应用创造了新的机遇。ＩＥＥＥ工业工程与工程管理国际学术会议作为经验成果交流的学术平台，将深入研究并探讨管理科学的创新理论与方法。
届时大会将邀请汪应洛院士、王众托院士、郭重庆院士、刘源张院士等为大会作主题发言。会议由国家自然科学基金委管理科学部和教育部管理科学与工程教学指导委员会资助。
会议由中国机械工程学会工业工程分会和ＩＥＥＥ北京分会联合主办，由北京联合大学承办，在本次会议上所发表的论文将被ＩＥＥＥＸｐｌｏｒｅ收录同时被ＥＩ检索。
会议的主题是。构建和谐发展的工业工程与管理创新’。
会议的宗旨是努力贴近中国经济建设，以首都经济发展为契机，探讨管理科学创新理论与方法，促进学科发展。
（北京联合大学机电学院供稿）
万方数据
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
邢春峰， 袁安锋， 王朝旺， XING Chun-feng， YUAN An-feng， WANG Chao-wang北京联合大学,基础部,北京,100101
北京联合大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF BEIJING UNION UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)2009，23(3)0次
参考文献(5条)
1.谢季监.李启文 大学数学--微积分及其在生命科学、经济管理中的应用 19992.同济大学应用数学系 高等数学(下) 2002
3.Gupta R C On particular solutions of linear difference equations with constant coefficients1998(40)
4.王焕 求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式[期刊论文]-高等数学研究 2006(03)5.常庚哲.蒋继发 用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程[期刊论文]-大学数学 2003(01)
相似文献(10条)
1.期刊论文 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法 -高等数学研究2008,11(3)
根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点,利用降阶法,给出了求其通解的一种简便方法.当方程的系数满足新方法的要求时,非齐次项的选择范围较大,不局限于通常的两类型.
2.期刊论文 佘智君.SHE Zhi-jun 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法 -重庆工学院学报（自然科学版）2008,22(8)
介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的2种简易方法--降阶法和积分法,扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围,并举例说明了它们的应用.
3.期刊论文 曲贺梅.张海模 二阶常系数非齐次线性微分方程特解公式的推导 -天中学刊2003,18(5)
通过利用韦达定理对二阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出了简便、统一的通解公式.
4.期刊论文 展丙军.Zhan Bingjun 常见的特殊形式的微分方程的解法--代数法 -哈尔滨师范大学自然科学学报2006,22(1)
本文给出了二阶常系数非齐次线性微分方程的代数解法
5.期刊论文 舒阿秀.何家慧 二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法 -安庆师范学院学报(自然科学版)2003,9(2)
本文主要介绍几种不同类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的三种相对简捷的解法.
6.期刊论文 曹根牛 二阶常系数非齐次线性微分方程的一个解法 -西安科技学院学报2003,23(1)
在工科高等数学教材中,关于二阶常系数非齐次线性微分方程只给出了自由项为两种特殊形式(即f(x)=eλxPm(x)或
f(x)=eαx[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx])时的解法,本文就自由项为一般的一个连续函数f(x),采用常数变异法,并利用分部积分,推出了一般二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式.常数变异法较之待定系数法,在特解的假设过程中避免了对f(x)形式的讨论,因而更具一般性.
7.期刊论文 张燕艳 剖析一种二阶常系数线性非齐次微分方程Y
本文利用二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系数法,得到求一类特殊形式的二阶常系数非齐次线性微分方程通解的公式.这些公式很有规律性,并可以简化求通解的问题.
8.期刊论文 马龙友.吕大昭 一般条件下微分方程通解的研究 -北京建筑工程学院学报2004,20(3)
研究在一般条件下n阶常系数非齐次线性微分方程通解的求法,推广了通常只对二阶常系数非齐次线性微分方程在特殊条件下求通解的方法.应用该方法,可求出在实际中出现的问题所需要的通解.
9.期刊论文 程荣福.赵宏伟 求解微分方程y″+py′+qy=f(x)的注记 -北华大学学报(自然科学版)2004,5(1)
利用函数组线性相关性、微分方程降阶积分法和二阶微分方程解的结构性质,对二阶常系数非齐次线性微分方程求解问题作了进一步分析讨论,给出了求其通解的一种适用且有效的新方法.
10.期刊论文 吴幼明.杨灵娥.冯思捷.WU You-ming.YANG Lin-ge.FENG Si-jie 一类二阶常微分方程组求解的简便方法 -佛山科学技术学院学报（自然科学版）2009,27(1)
采用变量代换、降阶和欧拉方法,给出了一类含未知函数一阶导数项的二阶常系数非齐次线性微分方程组的通解,并通过算例验证了通解公式的正确性.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_bjlhdxxb200903018.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：807cfdf9-1464-44e4-a7bb-9dca0128e1d4
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２００９年９月
第２３卷第３期总７７期
北京联合大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｓｃｐ．２００９
Ｖ０１．２３Ｎｏ．３ＳｕｍＮｏ．７７
Ｂｅｉｊｉｎｇ
Ｕｎｉｏｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的
一种新方法
邢春峰，袁安锋，王朝旺
（北京联合大学基础部，北京
１００１０１）
［摘要］为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶常系数线性非齐次微分方程的
通解，这里使用常数变易法，在先求得二阶常系数线性齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶常系数线性ｊ｝齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，从而给出了一种运算量较小的二阶常系数线性非齐次微分方程通解的一般公式，并且将通解公式进行了推广，实例证明该方法是可行
的。
［关键词］二阶常系数非齐次线性微分方程；通解；特解
１７５
【中图分类号］０［文献标识码】Ａ
［文章编号］１００５．０３１０（２００９）０３．００７３．０３
ＴｈｅＦｏｒｍｕｌａｏｆＧｅｎｅｒａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒＳｅｃｏｎｄＯｒｄｅｒＬｉｎｅａｒ
ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈＣｏｎｓｔａｎｔ
Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＸＩＮＧＣｈｕｎ—ｆｅｎｇ，ＹＵＡＮＡｎ—ｆｅｎｇ，ＷＡＮＧＣｈａｏ—ｗａｎｇ
（ＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ
１００１０１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒ
ｔｏ
ｏｂｔａｉｎｎ帕ｍｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈ
ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｋｎｏｗｉｎｇ
ａ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅ佑ｃｉｅｎｔｓ。
ｗｈｉｃｈｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｈｅｏｒｙａｎｄｐｒａｃｔｉｃｅ，ｏｎ
ｓｐｅｃｉａｌｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｅｑｕａｔｉｏｎ丽ｔｈ
ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｎｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｓｔａｎｔ．ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ
ｗｉｔｈｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ｉｓｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ
ｔｏ
ｔｈｅｒｅｄｕｃｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄ
ａ
ｇｅｎｅｒａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄ
ｔｏ
ｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｌｌｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｉｓｄｅｒｉｖｅｄ．ＥｘａｍｐｌｅｓａｒｅｓｉｒｅｎＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｖｅｒｉｆｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎ
对于二阶常系数非齐次线性微分方程
厂＋∥’＋ｑＹ＝ｆ（石），
（１）
Ｐ。（算）和Ｐ：（茗）为多项式）时，一般教材均按待定系数法来求得方程（１）的特解（如文献［２］）。当然，待定系数法有其方程式化的特点，但计算量大。另外这种方法要对非齐次项ｆ（菇）进行分类试解，学生必须记住分类试解的形式，不便于记忆和应用。
（２）
其中Ｐ，ｑ是实的常数，ｆ（互）在其定义域内连续，以下同此。一般高等数学教材中给出方程（１）的通解等于对应的齐次方程
厂＋ｐｙ７＋ｑＹ＝０
的通解加上自身的一个特解（如文献［１］）。
针对方程（１）中的非齐次项ｆ（舅）是某些特殊类型的函数，特别是Ｐ（茗），Ｐ（菇）ｅｈ，ｅｈ【ｐｌ（茗）ＣＯ￥ＯＪ茗＋Ｐ２（ｚ）ｓｉｎｏｕｘ】（其
中Ｐ（髫），
本文提供了一种直接求方程（１）通解的新方法，该方法有助于学生全面了解方程的特点，便于记忆和应用，并且扩大了可求解方程的范围。
设方程（１）的通解为
Ｙ＝ｕ（茗）口（茗）垒聊，
［收稿日期］２００８—０９—２３
【作者简介］邢春峰（１９７卜），男，山东德州人。北京联合大学基础部副教授，主要从事应用数学理论与高职数学教学
的研究；袁安锋（１９７卜），男，山东日照人，北京联合大学基础部讲师，主要从事应用数学理论与高等数学教学的研究。
万方数据
７４北京联合大学学报（自然科学版）２００９年９月
即寻找两个函数“＝Ⅱ（石），ｔＪ：和（尤），使得，，＝聊为方程（１）的通解。求导得
，，’＝“’ｔＩ＋“＂’，厂＝ｌ，秽＋２ｕ７口７＋ｕ矿，将，，，），７，厂代入（１）化简得
Ｉ正矿＋（２ｕ’＋ｐｕ）口７＋（“一＋ｐｕ７＋ｑｕ）ｔ，＝／（算）。
（３）
首先寻找函数ｕ＝“（石）。在（３）中不妨令
矿＋ｐｕ７＋ｑｕ＝０，
（４）
显然（４）为二阶常系数齐次线性微分方程。这时取
ｕ＝ｅ“
（５）
即可，其中ｒ为（４）的特征方程的一个特征根。
将（４）和（５）代入（３）化简得
ｔ，＋（２ｒ＋Ｐ）秽７＝／（ｘ）ｅ一“，
（６）
显然（６）为可降阶的微分方程。利用可降阶的微分方程的求解方法可求得（６）的通解（即求得移＝”（石））为
ｔ，＝ｆｅ（２ｒ＋ｐ）ｚ（队茹）ｅ（ｒ＋ｐ）ｘｄ工＋ｃ。ｄ茗＋Ｃ２
９
其
中
积
分
ｌ厂（舅）ｅ“”ｈｄｘ
和
（陟（石）ｅ（ｒ＋ｐ）ｚｄ茹＋ｃ。ｄ髫表示一个原函数，ｅｌ和ｃ：
为任意常数。
由此得（１）的通解为
，，＝ｅ“【ｆｅ－（ｚｒ＋ｐ）ｘ（陬省）ｅ（ｒ＋ｐ）ｚｄ茗¨ｄ石＋ｃｚ】。
综上所述，把求方程（１）通解的过程归纳如下：定理对于二阶常系数非齐次线性微分方程（１），假设（１）对应的齐次方程（２）的特征方程有特征根ｒ，则（１）的通解为
ｙ＝ｅ“【ｆｅ－（２ｒ＋ｐ）ｚ（队石）ｅ（ｒ＋Ｐ）ｓｄ戈¨ｄ算＋ｃ：】，
（７）
其
中
积分
Ｉ厂（ｘ）ｅ“”ｈｄｘ
和
（陟（菇）ｅ（ｒ．．－ｐ）ｓｄ戈＋ｃ。ｄ髫表示一个原函数，ｃ。和Ｃ２
为任意常数。
说明：设（２）的特征方程的特征根为ｒ。，ｒ：，１）若ｒ。≠ｒ：，这时取ｒ。，ｒ：之一作为ｒ的值代入（７）就可求得通解；
２）若ｒ。＝ｒ：＝ｒ，代人（７）可得（１）的通解为
ｙ＝ｅ“【ｆ（陟（小～ｄ并＋ｃ１ｄ茹＋ｃｚ］；（８）
３）若ｒｌ。２＝口±肛，这时取ｒｌ，ｒ２之一作为７的值代Ａ（７）后在求得的解中取实部即为（１）的通
解．即
万方数据
，，：Ｒｅｌｅ一［ｆｅ川…，，（陟（石）ｅ∽小ｄ戈＋
Ｃ１）ｄｘ＋Ｃ２］｝。
例１求微分方程厂一３，，７＋２ｙ＝Ｘｅ２。的通解。
解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２—３ｒ＋２＝０，特征根为ｒｌ＝１，ｒ２＝２。这里取ｒ＝２。又
Ｐ＝一３，ｆ（髫）＝Ｘｅ２’。代入（７）得方程的通解为
，，＝ｅ２。【．『ｅ一（２×２—３）。（＇ｆ髫ｅｈｅ（２—３）‘ｄ茗＋ｃｄ茗＋ｃ：】＝
ｅ２。【，ｅ一‘（ｊ．菇ｅ。ｄ聋＋ｃ）ｄ菇＋ｃ：】＝
ｅ２。【ｆｅ一。（菇ｅ。．．ｅ。＋ｃ）ｄ髫＋ｃ２］＝＝ｅ２。［ｆ（童一１＋ｃｅ。。）ｄ菇＋ｃ２］＝
（丢石２一菇ｅ。＋Ｃｌｅｚ＋ｃ：孑‘
（此处ｃＩ＝一ｃ）。
这和参考文献［１］的结果是一样的。
例２求微分方程厂一２ｙ７＋ｙ＝｛ｅ‘的通解。
解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２—２
ｒ＋１
＝０，特征根为ｒ。＝ｒ：＝１。这里取ｒ＝１。ｆ（ｚ）
：一１ｅ，，代入（８）得方程的通解为
ｙ＝ｅ。【ｊ．（－ｆ÷ｅ５ｅ－ｓｄ石＋ｃ）ｄ菇＋ｃ：】＝ｅ。【ｊ．（．ｆ丢ｄｚ＋ｃｄ戈＋ｃ：】＝
ｅ。【ｆ（１ｎ并＋ｃ）ｄｘ＋ｃ２］：
（Ｃ１菇＋Ｃ２）ｅ‘＋菇ｅ。ｌｎｘ
（此处ｃ．＝Ｃ一１）。
这和参考文献［３］、［４］的结果是一样的。
例３求微分方程广＋，，＝菇的通解。解对应的齐次方程的特征方程为ｒ２＋１：
０，特征根为ｒ１．２＝±ｉ。这里取ｒ＝ｉ。又Ｐ＝０，
八算）＝茗，代入（７）得
ｙ＝ｅｈ【ｊ．ｅ一２讧（－ｒ石ｅｈｄ算＋ｃ）ｄ并＋ｃ：】＝
ｅ讧【ｆ（一缸ｅ～＋ｅ岫＋ｃｅ．２讧）ｄ茗＋ｃ：】：
ｅ矗卜扛＋号甜‰¨】：
髫＋ｃｌ
ｆｅ一＋ｃ２ｅ面
（此处ｃｌ：詈）＝
茹＋（Ｃ１ｓｉｎｘ＋Ｃ２ＣＯＳ髫）＋ｉ（ｃｌｓｉｎ并＋Ｃ２Ｃ０８茗）
第２３卷第３期邢春峰等：求－￥ｔ线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法
７５
取实部得方程的通解为
ｙ＝聋＋Ｃｌｓｉｎｘ＋ｃ２ｃｏｓｘ
ｏ
式和待定系数法相比，一是不用讨论（２）的特征方程特征根的情况；再就是该通解公式对（１）中的非齐次项ｆ（茗）要求非常低，只要能求出不定积分，就能利用此公式，所以说该公式更具有一般性。
这和参考文献［５］的结果是一样的。
通过上例可以看出，这里给出的（１）的通解公
【参考文献］
［１］谢季监，李启文．大学数学——微积分及其在生命科学、经济管理中的应用［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．［２］［３］［４］
同济大学应用数学系．高等数学（下）［Ｍ］．第５版．北京：高等教育出版杜，２００２．
ＧｕｐｔａＲＣ．Ｏｎｐａｒｔｉｃｕｌａｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭＢｅｄｅｗ，１９９８（４０）：６８０－－６８４．
王焕．求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式［Ｊ］，高等数学研究，２００６，９（３）：２５—２７．
［５］常庚哲，蒋继发．用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程［Ｊ］．大学数学，２００３，１９（１）：７６—７９．
（责任编辑李亚青）
・简讯・
ＩＥＥＥ第１６届工业工程与工程管理国际学术会议
（ＩＥ＆ＥＭ’２００９）即将召开
ＩＥＥＥ第１６届工业工程与工程管理国际学术会议（ＩＥ＆ＥＭ’２００９）将于２００９年ｌｏ月２１日至２３日在中国北京召开。首都北京目前正处于工业化中期向后期推进的阶段，工业化进程尚未最终完成，国际大都市发展内在规律要求首都必须加快技术创新和高新技术产业化进程，完善产业链，提高产品附加值。当前，新型工业化道路出现的二、三产业之间相互融合的趋势，有利于充分发挥北京的比较优势。推动高新技术产业和现代服务业的互相促进、共同发展。北京工业必须坚持以科学发展观为统领，紧密围绕。新北京、新奥运’的战略构想，走新型工业化道路，以信息化带动工业化。以高端、高效、高辐射力和资源节约、环境友好为产业发展方向。
北京经济的发展为现代工业工程与工程管理的学术研究和应用创造了新的机遇。ＩＥＥＥ工业工程与工程管理国际学术会议作为经验成果交流的学术平台，将深入研究并探讨管理科学的创新理论与方法。
届时大会将邀请汪应洛院士、王众托院士、郭重庆院士、刘源张院士等为大会作主题发言。会议由国家自然科学基金委管理科学部和教育部管理科学与工程教学指导委员会资助。
会议由中国机械工程学会工业工程分会和ＩＥＥＥ北京分会联合主办，由北京联合大学承办，在本次会议上所发表的论文将被ＩＥＥＥＸｐｌｏｒｅ收录同时被ＥＩ检索。
会议的主题是。构建和谐发展的工业工程与管理创新’。
会议的宗旨是努力贴近中国经济建设，以首都经济发展为契机，探讨管理科学创新理论与方法，促进学科发展。
（北京联合大学机电学院供稿）
万方数据
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
邢春峰， 袁安锋， 王朝旺， XING Chun-feng， YUAN An-feng， WANG Chao-wang北京联合大学,基础部,北京,100101
北京联合大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF BEIJING UNION UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)2009，23(3)0次
参考文献(5条)
1.谢季监.李启文 大学数学--微积分及其在生命科学、经济管理中的应用 19992.同济大学应用数学系 高等数学(下) 2002
3.Gupta R C On particular solutions of linear difference equations with constant coefficients1998(40)
4.王焕 求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式[期刊论文]-高等数学研究 2006(03)5.常庚哲.蒋继发 用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程[期刊论文]-大学数学 2003(01)
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下载时间：2010年8月6日