2016年中考专题：几何最值问题（一）
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：
（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值
例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）
A
1 B
C
5 D ．
2
例2. 在锐角三角形ABC 中，BC=42，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN的最小值是 。
例3. 如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9πcm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。
例4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是 ．
练习题：
1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm . 若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A.13cm B.12cm C.10cm
D.8cm
2. 如图，圆柱的底面周长为6cm ， AC 是底面圆的直径，高BC=6cm，点P 是母线BC 上一点，且PC=
2
BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） 3
A 、(4+
6
π
) ㎝ B 、5cm C
、㎝ D 、7cm
3. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ．
二、应用垂线段最短的性质求最值
例1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ．
例2. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A ． 1
例3. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，
B
C ． 2 D
1
问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P 为AB 边上一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE ＝PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P 为DC 边上任意一点，延长PA 到E ，使AE ＝nPA(n为常数) ，以PE 、PB 为边作平行四边形PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
例4. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A. （0，0） B. （-
112222
，-） C. （，-） D. （-，-）
222222
例5. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CEDF 不可能为正方形；
③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； ④点C 到线段EF 的最大距离为
．
其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例6. 如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用) ；
第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；
第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm ，最大值为 cm ．
例7. 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，
D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
例8. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
例9. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．
例10. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B=∠C ． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）， ①求CE 的最大值；
②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
练习题：
1. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）
2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；
（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD （即MD′）与AB 交于一点E ，MC （即MC′）同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．
A 、1
B 、2 C 、3
D 、4
3. 如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）
A ．错误！未找到引用源。 B ．错误！未找到引用源。 C ．3 D ．
2
4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB=∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）设点P 的运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当点Q 在CA 上运动，使PQ ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
三、应用轴对称的性质求最值
例1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．
例2. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，
使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）
[
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
例3. 点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA -PB 的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点，则OP ⋅OQ ＝．
例4. 如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
例5. 如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，则PA ＋PB 的最小值是 。
例6. 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：
①作点B 关于直线l 的对称点B′．
②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．
（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值：
练习题：
1. 如图，已知点A(1，1) 、B(3，2) ，且P 为x 轴上一动点，则△ABP 的周长的最小值为．
2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2) ，B(3，3) 两点，现另取一点C(a，1) ，当a ＝AC ＋BC 的值最小．
3. 去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）。
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？
(2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
4. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A 、2 B 、4 C
、 D
、
5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB的最小值是 ．
2016年中考专题：几何最值问题（一）
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：
（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值
例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）
A
1 B
C
5 D ．
2
例2. 在锐角三角形ABC 中，BC=42，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN的最小值是 。
例3. 如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9πcm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。
例4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是 ．
练习题：
1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm . 若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A.13cm B.12cm C.10cm
D.8cm
2. 如图，圆柱的底面周长为6cm ， AC 是底面圆的直径，高BC=6cm，点P 是母线BC 上一点，且PC=
2
BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） 3
A 、(4+
6
π
) ㎝ B 、5cm C
、㎝ D 、7cm
3. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ．
二、应用垂线段最短的性质求最值
例1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ．
例2. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A ． 1
例3. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝3，
B
C ． 2 D
1
问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P 为AB 边上一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE ＝PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P 为DC 边上任意一点，延长PA 到E ，使AE ＝nPA(n为常数) ，以PE 、PB 为边作平行四边形PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
例4. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A. （0，0） B. （-
112222
，-） C. （，-） D. （-，-）
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例5. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CEDF 不可能为正方形；
③四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化； ④点C 到线段EF 的最大距离为
．
其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例6. 如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用) ；
第二步：如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；
第三步：如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm ，最大值为 cm ．
例7. 如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，
D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
例8. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
例9. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．
例10. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B=∠C ． （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）， ①求CE 的最大值；
②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
练习题：
1. 如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）
2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；
（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD （即MD′）与AB 交于一点E ，MC （即MC′）同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．
A 、1
B 、2 C 、3
D 、4
3. 如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）
A ．错误！未找到引用源。 B ．错误！未找到引用源。 C ．3 D ．
2
4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB=∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．
5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）设点P 的运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当点Q 在CA 上运动，使PQ ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
三、应用轴对称的性质求最值
例1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．
例2. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，
使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）
[
A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
例3. 点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA -PB 的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点，则OP ⋅OQ ＝．
例4. 如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
例5. 如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是O 上的两点，过A 作AC ⊥MN 于点C ，过B 作BD ⊥MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，则PA ＋PB 的最小值是 。
例6. 在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：
①作点B 关于直线l 的对称点B′．
②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．
（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值：
练习题：
1. 如图，已知点A(1，1) 、B(3，2) ，且P 为x 轴上一动点，则△ABP 的周长的最小值为．
2. 如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2) ，B(3，3) 两点，现另取一点C(a，1) ，当a ＝AC ＋BC 的值最小．
3. 去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A （2，3），B （12，7）。
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O 多远的地方可使所用输水管道最短？
(2)水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
4. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A 、2 B 、4 C
、 D
、
5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
7. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB的最小值是 ．