圆锥曲线的动弦中点轨迹方程
圆锥曲线的动弦中点轨迹方程问题主要有以下三种类型： 一、过定点的动弦中点的轨迹方程 例1：已知椭圆
x
2
2
+y
2
=1，过点P(2,0)引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。
⎧y=k(x-2)⎪
解法一：设过点P(2,0)的直线方程为y=k(x-2)，联立方程⎨x2，消去y，整理得
2
+y=1⎪⎩2
⎛12⎫222
+k⎪x-4kx+4k-1=0，设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x,y)， ⎝2⎭
则x=
2
x1+x2
2
2
=
4k
22
1+2k
2
，k
x
2
=
x4-2x
2
，代入y=k(x-2)
12
x(x-2)，即(x-1)+2y
2
2
得y=k(x-2)=
4-2x
(x-2)=-
2
=1
又过点P(2,0)的直线与椭圆相交，所以∆=(-4k2)-4
2
⎛1
2⎫2
+k⎪4k-1>0 ⎝2⎭
()
解得0≤k≤
12
，即0≤
x4-2x
≤
12
，解得0≤x
当k不存在时，不满足题设要求，舍去。
所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x-1)2+2y2=1（0≤x
2
+y1=1⎪⎪2
解法二：设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x,y)，则⎨2
x2⎪2
+y2=1⎪⎩2
两式相减得
x1-x2
2
22
+y1-y2=0，整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，
2
2
由题意知x1≠x2，所以
y1-y2x1-x2
=
x1+x2-2(y1+y2)
=
x-2y
=kAB，又kAB=
yx-2
，所以
yx-2
=
x-2y
，
22
整理得(x-1)+2y=1。又过点P(2,0)的直线与椭圆相交，与解法一同理可得0≤x
22
所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x-1)+2y=1（0≤x
注意：⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件∆>0，并求出x（或y）的取值范围；⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。
二、斜率为定值的平行弦的中点轨迹方程
例2：斜率为2的直线与双曲线x2-y2=12相交于两点P1、P2，求动弦P1P2中点轨迹方程。 ⎧y=2x+b
解：设斜率为2的直线方程为y=2x+b，联立方程⎨2 2
⎩x-y=12
消去y，并整理得3x2+4bx+b2+12=0，设交点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M(x,y)， 则x=
x1+x2
2
23
b，所以b=-
32
x，代入y=2x+b可得y=
12x。
=-
又直线与双曲线x2-y2=12相交于两点，所以∆=(4b)-4⨯3(b2+12)>0，
2
解得b6，又x=-
23
b，所以x4。 12
x（x4）
所以动弦P1P2中点轨迹方程为y=
12
三、长为定值的动弦中点的轨迹方程 例3：定长为2l（l≥
）的线段AB，其两个端点在抛物线x2=y上移动，求线段中点M的轨迹方程。
2
⎧⎪x1=y1
解：设端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，则⎨，
2⎪⎩x2=y2
两式相减得y1-y2=(x1-x2)(x1-x2)，由题意知x1≠x2，所以kAB=
y1-y2x1-x2
=x1+x2=2x0
22
所以直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)，代入x2=y得x-2x0x+2x0-y0=0，
由弦长公式以及韦达定理得AB=2l=所以AB=2l=
+4x0⋅
2
+k
2
2
⋅x1-x2，x1+x2=2x0，x1x2=2x0-y0
(x1
2
+x2)-4x1x2=2l，整理得(y0-x0)(1+4x02)=l2
2
所以AB中点M的轨迹方程为(y-x
2
)(1+4x)=l
2
2
圆锥曲线的动弦中点轨迹方程
圆锥曲线的动弦中点轨迹方程问题主要有以下三种类型： 一、过定点的动弦中点的轨迹方程 例1：已知椭圆
x
2
2
+y
2
=1，过点P(2,0)引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。
⎧y=k(x-2)⎪
解法一：设过点P(2,0)的直线方程为y=k(x-2)，联立方程⎨x2，消去y，整理得
2
+y=1⎪⎩2
⎛12⎫222
+k⎪x-4kx+4k-1=0，设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x,y)， ⎝2⎭
则x=
2
x1+x2
2
2
=
4k
22
1+2k
2
，k
x
2
=
x4-2x
2
，代入y=k(x-2)
12
x(x-2)，即(x-1)+2y
2
2
得y=k(x-2)=
4-2x
(x-2)=-
2
=1
又过点P(2,0)的直线与椭圆相交，所以∆=(-4k2)-4
2
⎛1
2⎫2
+k⎪4k-1>0 ⎝2⎭
()
解得0≤k≤
12
，即0≤
x4-2x
≤
12
，解得0≤x
当k不存在时，不满足题设要求，舍去。
所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x-1)2+2y2=1（0≤x
2
+y1=1⎪⎪2
解法二：设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x,y)，则⎨2
x2⎪2
+y2=1⎪⎩2
两式相减得
x1-x2
2
22
+y1-y2=0，整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0，
2
2
由题意知x1≠x2，所以
y1-y2x1-x2
=
x1+x2-2(y1+y2)
=
x-2y
=kAB，又kAB=
yx-2
，所以
yx-2
=
x-2y
，
22
整理得(x-1)+2y=1。又过点P(2,0)的直线与椭圆相交，与解法一同理可得0≤x
22
所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是(x-1)+2y=1（0≤x
注意：⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件∆>0，并求出x（或y）的取值范围；⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。
二、斜率为定值的平行弦的中点轨迹方程
例2：斜率为2的直线与双曲线x2-y2=12相交于两点P1、P2，求动弦P1P2中点轨迹方程。 ⎧y=2x+b
解：设斜率为2的直线方程为y=2x+b，联立方程⎨2 2
⎩x-y=12
消去y，并整理得3x2+4bx+b2+12=0，设交点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M(x,y)， 则x=
x1+x2
2
23
b，所以b=-
32
x，代入y=2x+b可得y=
12x。
=-
又直线与双曲线x2-y2=12相交于两点，所以∆=(4b)-4⨯3(b2+12)>0，
2
解得b6，又x=-
23
b，所以x4。 12
x（x4）
所以动弦P1P2中点轨迹方程为y=
12
三、长为定值的动弦中点的轨迹方程 例3：定长为2l（l≥
）的线段AB，其两个端点在抛物线x2=y上移动，求线段中点M的轨迹方程。
2
⎧⎪x1=y1
解：设端点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，则⎨，
2⎪⎩x2=y2
两式相减得y1-y2=(x1-x2)(x1-x2)，由题意知x1≠x2，所以kAB=
y1-y2x1-x2
=x1+x2=2x0
22
所以直线AB的方程为y-y0=2x0(x-x0)，代入x2=y得x-2x0x+2x0-y0=0，
由弦长公式以及韦达定理得AB=2l=所以AB=2l=
+4x0⋅
2
+k
2
2
⋅x1-x2，x1+x2=2x0，x1x2=2x0-y0
(x1
2
+x2)-4x1x2=2l，整理得(y0-x0)(1+4x02)=l2
2
所以AB中点M的轨迹方程为(y-x
2
)(1+4x)=l
2
2