立体几何的求距离问题
1、两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得
（2）用公式，A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2) ，则。 （3）利用向量的模，|AB|=|
|=
=…
（4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜, ＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为
2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射
影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A (x 0, y 0), 到直线l :Ax +By +C =0的距离为。 基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点） （1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法; ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求距离；
②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足A ∉α, O ∈α, ⊥α， 则点A 到平面α的距离d =
（ n 是平面α的法向量 ）
（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫
做这条直线和这个平面的距离。
（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）
求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
4、两个平行平面的距离
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。
求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
（两个平行平面时，一个平面上任意两点到另一个平面的距离都相等） 5、异面直线的距离（难点）
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做___________。公垂线夹在异面直线间的部分，叫做______________。公垂线段的长度叫做____________。
（2）任意两条异面直线__________________公垂线，公垂线段长是分别连结两条异面直线 上的点的线段中________________。（两平行线间的距离略）
求法：
- 1 -
（1）利用向量，点A ∈a , B ∈b ，向量⊥a , ⊥b ，则两条异面直线a , b 的距离
d =
题型一：两条异面直线间的距离
1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.
(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；
. 1 2
2 如图, 正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. .
题型二：点到平面距离
1 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；
2在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠ABC =
5π
, AB =a , AD =3a 且sin ∠ADC =, 又P A ⊥平面
52
3
ABCD , P A =a ,
求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.
A 1
3正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为8，对角线B 1C =10，D 是AC 的中点。
（1）求点B 1到直线AC 的距离. （2）求直线AB 1到平面C 1BD 的距离． ．
- 2 -
1
B A
B
4如图，在长方体AC 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
A 1
题型三、直线到平面的距离（线面距离转化为点到面的距离）
1、求法：在直线上选择合适的点，求该点到异面的距离即可 1、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求直线BD 到平面AB 1D 1
1的距离.
2、边长为a 的正方形 ABCD 的中心为O ，且OP ⊥平面ABCD ，P 到AB 的距离为a ，求
直线CD 到平面PAB 的距离。
A
题型四、平行平面间的距离
1、求法：平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再求解。
1、在长方体 ABCD- A1B 1C 1D 1中AB=4，BC=3，CC 1=2，求平面A 1BC 1和平面ACD 1间的距离。
2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，BC=2，CC 1=4，EB 1=1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于H. ① 求证：B 1D ⊥平面ABD ； ② 求证：平面EGF//平面ABD ； ③ 求平面EGF 与平面ABD 的距离。
- 3 -
空间几何体的表面积和体积
[基础要点]
1. 圆柱的表面积公式： 2. 圆锥的表面积公式：3. 圆台的表面积公式： 4. 圆锥的体积公式： 5. 棱锥的体积公式： 6. 圆台的体积公式： 7. 球的表面积公式： 8. 球的体积公式： 题型一、柱体的体积、表面积公式
1、直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为Q 1, Q 2，求它的侧面积 \
变式：如图是一个平面截长方体得剩余部分，已知AB =4, BC =3, AE =5, BF =8,
CG =12, 求几何体的体积
\
题型二、锥体、球体的体积和表面积公式
2、正四面体棱长为a , 求其外接球和内切球的表面积
变式：一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： （1）圆锥的侧面积 （2）圆锥的内切球的体积
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立体几何的求距离问题
1、两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得
（2）用公式，A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2) ，则。 （3）利用向量的模，|AB|=|
|=
=…
（4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜, ＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为
2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射
影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A (x 0, y 0), 到直线l :Ax +By +C =0的距离为。 基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点） （1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法; ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求距离；
②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足A ∉α, O ∈α, ⊥α， 则点A 到平面α的距离d =
（ n 是平面α的法向量 ）
（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫
做这条直线和这个平面的距离。
（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）
求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
4、两个平行平面的距离
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。
求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
（两个平行平面时，一个平面上任意两点到另一个平面的距离都相等） 5、异面直线的距离（难点）
（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫做___________。公垂线夹在异面直线间的部分，叫做______________。公垂线段的长度叫做____________。
（2）任意两条异面直线__________________公垂线，公垂线段长是分别连结两条异面直线 上的点的线段中________________。（两平行线间的距离略）
求法：
- 1 -
（1）利用向量，点A ∈a , B ∈b ，向量⊥a , ⊥b ，则两条异面直线a , b 的距离
d =
题型一：两条异面直线间的距离
1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.
(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；
. 1 2
2 如图, 正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. .
题型二：点到平面距离
1 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；
2在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠ABC =
5π
, AB =a , AD =3a 且sin ∠ADC =, 又P A ⊥平面
52
3
ABCD , P A =a ,
求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.
A 1
3正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为8，对角线B 1C =10，D 是AC 的中点。
（1）求点B 1到直线AC 的距离. （2）求直线AB 1到平面C 1BD 的距离． ．
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1
B A
B
4如图，在长方体AC 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
A 1
题型三、直线到平面的距离（线面距离转化为点到面的距离）
1、求法：在直线上选择合适的点，求该点到异面的距离即可 1、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求直线BD 到平面AB 1D 1
1的距离.
2、边长为a 的正方形 ABCD 的中心为O ，且OP ⊥平面ABCD ，P 到AB 的距离为a ，求
直线CD 到平面PAB 的距离。
A
题型四、平行平面间的距离
1、求法：平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再求解。
1、在长方体 ABCD- A1B 1C 1D 1中AB=4，BC=3，CC 1=2，求平面A 1BC 1和平面ACD 1间的距离。
2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，BC=2，CC 1=4，EB 1=1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于H. ① 求证：B 1D ⊥平面ABD ； ② 求证：平面EGF//平面ABD ； ③ 求平面EGF 与平面ABD 的距离。
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空间几何体的表面积和体积
[基础要点]
1. 圆柱的表面积公式： 2. 圆锥的表面积公式：3. 圆台的表面积公式： 4. 圆锥的体积公式： 5. 棱锥的体积公式： 6. 圆台的体积公式： 7. 球的表面积公式： 8. 球的体积公式： 题型一、柱体的体积、表面积公式
1、直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为Q 1, Q 2，求它的侧面积 \
变式：如图是一个平面截长方体得剩余部分，已知AB =4, BC =3, AE =5, BF =8,
CG =12, 求几何体的体积
\
题型二、锥体、球体的体积和表面积公式
2、正四面体棱长为a , 求其外接球和内切球的表面积
变式：一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： （1）圆锥的侧面积 （2）圆锥的内切球的体积
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