变速行程问题
课程简介：
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为
例题精讲：
例1. 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A
处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？
例2. A 、B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计) ，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上
相遇。如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A 、B 两地相距多少千米？
例3. 甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C 点。如果甲车速度不变，
乙车每小时多行5千米，且两车还从A ，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C 点16千米。甲车原来每小时行多少千米？
例4. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C 点。如果甲速度不变，乙
每小时多行4千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点D 距C 点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点E 距C 点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
例5. 甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行（不一定同时出发），甲骑自行车，乙步行。两人
在距A 地500米处第一次相遇。甲继续走到C 地后发现忘带东西，于是将速度提高一倍，立即返回A 地，并在距A 地400米处追上乙。甲到达A 地后不作停留立即前往B 地，在距A 地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。那么BC 两地相距多少米？
例6. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当
乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？
例7. 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。甲跑第二圈的速度比第一圈提高了三分之一，乙跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看，从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？
例8. 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时
起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快四分之一，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？
巩固练习：
1. 小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40
分钟。小张送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？
2. 上午8点整，甲从A 地出发匀速去B 地，8点20分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇
后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B 地出发时是8点多少分？
3. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行。他们相遇时，甲比乙多跑90米。相遇后，
乙的速度减少50%，甲到B 后立即调头，追上乙时离A 地还有90米，那么AB 两地的之间的距离是多少？
4. 甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈，乙第一圈的速
度是甲速度的二分之一，第二圈速度是甲的1.5倍。第三圈跑完后，与甲同时到达终点，乙第三圈的平均速度是甲的多少倍？
5. 甲车以每小时160千米的速度，乙车每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、
同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一。问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行使了多少千米？
6. 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐
乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N 次，使丁丁的玩具以原来的速度的N ×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按多少次遥控器？
变速行程问题
课程简介：
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为
例题精讲：
例1. 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A
处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？
例2. A 、B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计) ，甲、乙二人分别从两地同时出发，3小时后在桥上
相遇。如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍能恰在桥上相遇。如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇．则A 、B 两地相距多少千米？
例3. 甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C 点。如果甲车速度不变，
乙车每小时多行5千米，且两车还从A ，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C 点16千米。甲车原来每小时行多少千米？
例4. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C 点。如果甲速度不变，乙
每小时多行4千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点D 距C 点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点E 距C 点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
例5. 甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，相向而行（不一定同时出发），甲骑自行车，乙步行。两人
在距A 地500米处第一次相遇。甲继续走到C 地后发现忘带东西，于是将速度提高一倍，立即返回A 地，并在距A 地400米处追上乙。甲到达A 地后不作停留立即前往B 地，在距A 地300米处与乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。那么BC 两地相距多少米？
例6. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步。如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当
乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是多少米？
例7. 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的三分之二。甲跑第二圈的速度比第一圈提高了三分之一，乙跑第二圈的速度提高了五分之一，已知沿跑道看，从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？
例8. 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时
起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快四分之一，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？
巩固练习：
1. 小张开车从甲地到乙地送货，从乙地返回甲地时的速度是去时速度的3倍，所用时间减少了40
分钟。小张送货时，从甲地到乙地用了多少分钟？
2. 上午8点整，甲从A 地出发匀速去B 地，8点20分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇
后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B 地出发时是8点多少分？
3. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行。他们相遇时，甲比乙多跑90米。相遇后，
乙的速度减少50%，甲到B 后立即调头，追上乙时离A 地还有90米，那么AB 两地的之间的距离是多少？
4. 甲、乙两人同时从环形跑道的同一点出发，同向而行，甲以相同的速度跑了3圈，乙第一圈的速
度是甲速度的二分之一，第二圈速度是甲的1.5倍。第三圈跑完后，与甲同时到达终点，乙第三圈的平均速度是甲的多少倍？
5. 甲车以每小时160千米的速度，乙车每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、
同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速三分之一而乙车则加速三分之一。问在两车的速度刚好相等的时刻，他们分别行使了多少千米？
6. 丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐
乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫比原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N 次，使丁丁的玩具以原来的速度的N ×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按多少次遥控器？