有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、+
11
、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、-、－584等在正数22
前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】
类型一、正数与负数
1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A ．支出20元 B．收入20元 C ．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A ．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）． A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数．
B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数． C ．
a 一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数. 举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数. （ ） （3）整数又叫自然数. （ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数. （ ）
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数 (C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里. 1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
，
23
.
正整数集合:{ „}， 负整数集合:{ „}， 整数集合:{ „}， 正分数集合:{ „}，
负分数集合:{ „}，分数集合:{ „}， 非负数集合：{ „}，非正数集合：{ „}.
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数. 此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三：
【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数
、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒， . 按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关
.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3， ，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
11111
, , , , , , 根据其规律可知第9
26122030
【巩固练习】
一、选择题
1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个 （1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B．0是偶数
C ．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数
3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A ．前进-18米的意义是后退18米 B ．收入-4万元的意义是减少4万元 C ．盈利的相反意义是亏损
D ．公元-300年的意义是公元后300年
4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A ．甲站的东边70千米处 B．甲站的西边20千米处 C ．甲站的东边30千米处 D．甲站的西边30千米处 5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A ．身高增长1. 2cm 和体重减轻1. 2kg 是一对具有相反意义的量 B ．有最大的数
C ．没有最小的数，也没有最大的数 D ．以上答案都不对
6. 下列各数是正整数的是 （ ）
A ．－1
B ．2
C ．0．5
D ．2
二、填空题 1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ． 2．
在数
中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 . 4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．
6．是整数而不是正数的有理数是 .
7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .
0. 03
8．一种零件的长度在图纸上是（10+-0. 02）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工
要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m 2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，
，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+
（1（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律? 请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,
111111
,-, , -, , -234567
数轴——知识讲解
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；
2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法； 3．能利用数轴比较有理数的大小． 【要点梳理】 要点一、数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点诠释：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km 、m 、dm 、cm 等． 要点二、数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，„从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，„ 要点诠释：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 要点三、数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 ． 要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2
）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【典型例题】
类型一、数轴的概念及画法
1．（2015秋•沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（ ） A ．C ．
B．
D．
【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
2．（2015•徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点A 向右直爬15个单位到达点B ，点B 表示的数为﹣2，则点A 所表示的数为（ ）
A. 15 B. 13 C. -13 D.-17
【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是向左减，向右加． 举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．
类型二、利用数轴比较大小
3．在数轴上表示2.5，0，-
31
，-1，-2.5，1，3有理数，并用“＜”把它连接起来． 44
【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小． 【答案与解析】
如图所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别表示有理数2.5，0，-
31
，-1，-2.5，1，3．
44
由上图可得：-2.5
31
【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小
圆点． 举一反三：
【变式1】（2014秋•埇桥区校级期中）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A ．b ﹣a ＞0 B．﹣b ＜0 C．﹣a ＞﹣b D．﹣ab ＜0
【变式2】填空： 大于-3
663
且小于7的整数有______个； 比3小的非负整数是____________． 775
4．若p ，q 两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p______q； ②－p______0； ③－p______－q ； ④－p______q；
【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数． 【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示的数轴中，画得正确的是
( )
2．下列说法正确的是( )
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数 C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3. （2014•衡阳一模）如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）
A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 4. （2015•东城区二模）如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A. 点B 与点D B. 点A 与点C C. 点A 与点D D. 点B 与点C
5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006
6．北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时) 可在数轴上表示如图
若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（ ） A．首尔与纽约的时差为13小时 B．首尔与多伦多的时差为13小时 C．北京与纽约的时差为14小时 D．北京与多伦多的时差为14小时 二、填空题 7．（2016春•新泰市校级月考）不大于4的正整数的个数为 ． 8．数轴上到-3的距离等于2的数是 ________．
9．数轴上点A 、B 的位置如图所示，若点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为 ．
10. （2014秋•埇桥区校级期中）长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点．
11．如图，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 间的距离是 ．（用含m ，n 的式子表示）
12．已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为__________． 三、解答题
14．（2015秋•碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？
15．在数轴上有三个点A 、B 、C （如图）．请回答：
（1）写出数轴上距点B 三个单位的点所表示的数；
（2）将点C 向左移动6个单位到达点D ，用“＜”号把A 、B 、D 三点所表示的数连接起来； （3）怎样移动A 、B 、C 中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）．
绝对值与相反数（提高）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
(a >0) ⎧a
⎪|a |=⎨0(a =0)
⎪-a (a
0) ⎩
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a
＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．
4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若
a a a
>1，则a >b ；若=1，则a =b ；若
；b b b
反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【典型例题】 类型一、相反数的概念
1．（2014•常德一模）若m 与n 互为相反数，则|m+n﹣2|= ．
【总结升华】若m , n 互为相反数，则m +n =0或m =-n ．
举一反三：
【变式】（2014秋•监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）互为相反数，则x+y= ．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数．
①-(-6) ； ②-(+6) ； ③ -[-(+6)]；④-{-[-(+6)]}；⑤-{-[-(-6)]}
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 类型三、绝对值的概念
3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x ＝-6，
2
y ＝±4，就是x ＝-6，y ＝4或x ＝-6，y ＝-4． 举一反三：
【变式】如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．
如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；
如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．
类型四、比较大小
4． 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)-
43
与--；(4)-π与-|-3.14|． 54
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数
还是两个负数”，然后比较．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 类型五、含有字母的绝对值的化简
5．（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ； 当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a, 可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x ﹣4的正负性．
举一反三：
【变式】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示： 化简：
类型六、绝对值非负性的应用
6． 已知a 、b 为有理数，且满足：【答案与解析】由
，
1
2
，
，则a =_______，b =________． ，
可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三：
【变式】已知b 为正整数，且a 、b 满足
类型七、绝对值的实际应用
，求
的值．
7．一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm) 依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.
【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向. 【巩固练习】 一、选择题
1. （2015•漳州）﹣的相反数是（ ）
11A . 3 B .-3C .-3 D .3
2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为
相反数的是（ ）．
A ． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④ 3．满足|x|＝-x 的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．已知
1
=|-3|，则a 的值是( )． a
A．3 B．-3 C．
111 D．+或- 333
5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．
A．b ＜-a ＜a ＜-b B．-a ＜b ＜a ＜-b C．-b ＜a ＜-a ＜b D．-a ＜a ＜-b ＜b
6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题
7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则m -3n =____．
8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又z =2，则z -x +y = ． 9．（2015春•广饶县校级月考）1的相反数是 ； 的相反数是它本身． 10．绝对值不大于11的整数有 个．
11．（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n﹣2016|= ． 12．若
a
=-1，则a 0；若a ≥a ，则a ． a
三、解答题 13．（2014秋•娄底期末）若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x ﹣y 的值． 14．（2016春•桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
15．阅读下面的材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A 、B 两点都不在原点时
:
①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a ）=∣a-b∣； ③如图1-1-4，点A 、B 在原点的两边:
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b ）=∣a-b∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣． 回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x 为
__________．
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是______________．
有理数的加减法（提高）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1. 定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2. 法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”) ．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减) ． 3.
要点二、有理数的减法
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a -b =a +(-b ) ．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．（2015秋•江都市月考）阅读下题的计算方法． 计算解：原式==
=0+（﹣） =﹣
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
．
【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键． 举一反三：
【变式1】计算：(1) -7
【变式2】计算：-1+1+ -⎪
【变式3】计算：
111111
+10；(2) (-)+(-7.3)；(3) 1+(-2) ；(4) 7+(-3.8)+(-7.2)
352624
1
2
1⎛5⎫3⎝6⎭
⎛1⎫⎛1⎫(+6) + +⎪+(-3.3) +(+3) +(-6) +(+0.3) +(+8) +(+6) +(-16) + -6⎪．
⎝4⎭⎝4⎭
类型二、有理数的减法运算
2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3) +
⎛4⎫1
⎪-3． ⎝7⎭3
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）3.76-39-5+68-4.76-2
1
311+1 62
5113--3.87-2+1.54+3.37+ 6344135513
（5）-3+5+4-6； （6）2.25+3-2+1.875
2461884
（4）3.46+4
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换. 举一反三：
【变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4．（2014秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15； （2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1 这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克) 如下：
197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克?
【巩固练习】
一、选择题
1. （2015•怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（ A ． ﹣10℃ B ． 10℃ C ． 14℃ D ． ﹣14℃ 2. （2016•仪征市一模）比﹣1小2015的数是（ ） A ．﹣2014 B．2016 C．﹣2016 D．2014 3. 如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )．
A ．两个正数，一个负数 B．两个负数，一个正数
C ．三个都是零 D．其中两个数之和等于第三个数的相反数 4. 若a >0, b
）
A.
B.
C.
D.
．
5. 下列判断正确的是（ ） A．两数之差一定小于被减数．
B ．若两数的差为正数，则两数都为正数． C ．零减去一个数仍得这个数．
D ．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg ，(25±0.2)kg ，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ( )
A ．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题
7. 有理数a , b , c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）a ＋b ＋c ______0： （3）a －b ＋c ______0； （4）a ＋c ______b ； （5）c －b ______a ．
8. （2015春•广饶县校级月考）小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．
9. 若a ，b 为整数，且|a-2|+| a -b|＝1，则a+b＝________．
10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C ，早晨的温度是-1︒C ，中午的温度是4︒C. 则 (1)早晨的温度比半夜的温度高________度； (2)早晨的温度比中午的温度低________度.
11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）. 如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________
12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a 和b ，有a ☆b ＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3) ☆2的值是 . 三、解答题
13. 计算题
⎡⎛3⎫⎛4⎫⎤
（1）0+1-⎢(-1) - -⎪-(+5) - -⎪⎥+|-4|；
⎝7⎭⎝7⎭⎦⎣
（2）0-21+ +3⎪- -（3）9
2⎛
3⎝1⎫⎛2⎫⎛1⎫
⎪- +⎪
4⎭⎝3⎭⎝4⎭
44444+99+999+9999+99999 55555
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+„+97+(-98)+(-99)+100的值．
11111
+++（5）+；
8244880120
（6）--
2312-(+) --+(-
) 3255
14. （2014秋•万州区校级月考）数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x ，不大于3的正整数
的个数为y ，绝对值等于3的整数的个数为z ，求：x+y+z的值．
15. （2016•南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周
星期一到星期五该股票的涨跌情况 求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．
有理数的乘除（提高）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab ＝ba ．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc ＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd ＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1. 倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的. 如-2的倒数是-
的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数) ．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b =a (b ≠0) .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】 11，-2和-是互相依存221b
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)(-3) ⨯⨯ -1⎪⨯(-0.25) ； 4⎫
5⎭5⎛6⎝
(2)(1-2)(2-3)(3-4)„(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.
2. （2015秋•碑林区期中）简便计算：
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．
书山寻宝 21 学海泛舟
【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算： (1)-13⨯2215-0.34⨯+⨯(-13) -⨯0.34； 3737
(2)-3.14⨯35.2+6.28⨯(-23.3) -1.57⨯36.4．
类型二、有理数的除法运算
3．计算： (-49) ÷ -2⎪÷⎛
⎝1⎫7÷(-3) 3⎭3
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 举一反三：
【变式】计算：(-3) ÷(-2) ÷(-1) 1
31315
类型三、有理数的乘除混合运算
4. 计算：-81÷
书山寻宝 94⨯÷(-16) 4922 学海泛舟
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、+
11
、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、-、－584等在正数22
前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】
类型一、正数与负数
1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A ．支出20元 B．收入20元 C ．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A ．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）． A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )． A ． 非负数一定是正数．
B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数． C ．
a 一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数. 举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数. （ ） （3）整数又叫自然数. （ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数. （ ）
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数 (C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里. 1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
，
23
.
正整数集合:{ „}， 负整数集合:{ „}， 整数集合:{ „}， 正分数集合:{ „}，
负分数集合:{ „}，分数集合:{ „}， 非负数集合：{ „}，非正数集合：{ „}.
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数. 此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三：
【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数
、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒， . 按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关
.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3， ，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
11111
, , , , , , 根据其规律可知第9
26122030
【巩固练习】
一、选择题
1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个 （1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B．0是偶数
C ．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数
3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A ．前进-18米的意义是后退18米 B ．收入-4万元的意义是减少4万元 C ．盈利的相反意义是亏损
D ．公元-300年的意义是公元后300年
4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A ．甲站的东边70千米处 B．甲站的西边20千米处 C ．甲站的东边30千米处 D．甲站的西边30千米处 5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A ．身高增长1. 2cm 和体重减轻1. 2kg 是一对具有相反意义的量 B ．有最大的数
C ．没有最小的数，也没有最大的数 D ．以上答案都不对
6. 下列各数是正整数的是 （ ）
A ．－1
B ．2
C ．0．5
D ．2
二、填空题 1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ． 2．
在数
中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 . 4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．
6．是整数而不是正数的有理数是 .
7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .
0. 03
8．一种零件的长度在图纸上是（10+-0. 02）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工
要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m 2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，
，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+
（1（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律? 请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,
111111
,-, , -, , -234567
数轴——知识讲解
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；
2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法； 3．能利用数轴比较有理数的大小． 【要点梳理】 要点一、数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点诠释：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km 、m 、dm 、cm 等． 要点二、数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，„从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，„ 要点诠释：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 要点三、数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 ． 要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2
）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【典型例题】
类型一、数轴的概念及画法
1．（2015秋•沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（ ） A ．C ．
B．
D．
【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
2．（2015•徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点A 向右直爬15个单位到达点B ，点B 表示的数为﹣2，则点A 所表示的数为（ ）
A. 15 B. 13 C. -13 D.-17
【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是向左减，向右加． 举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．
类型二、利用数轴比较大小
3．在数轴上表示2.5，0，-
31
，-1，-2.5，1，3有理数，并用“＜”把它连接起来． 44
【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小． 【答案与解析】
如图所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别表示有理数2.5，0，-
31
，-1，-2.5，1，3．
44
由上图可得：-2.5
31
【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小
圆点． 举一反三：
【变式1】（2014秋•埇桥区校级期中）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A ．b ﹣a ＞0 B．﹣b ＜0 C．﹣a ＞﹣b D．﹣ab ＜0
【变式2】填空： 大于-3
663
且小于7的整数有______个； 比3小的非负整数是____________． 775
4．若p ，q 两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p______q； ②－p______0； ③－p______－q ； ④－p______q；
【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数． 【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示的数轴中，画得正确的是
( )
2．下列说法正确的是( )
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数 C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3. （2014•衡阳一模）如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）
A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 4. （2015•东城区二模）如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A. 点B 与点D B. 点A 与点C C. 点A 与点D D. 点B 与点C
5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006
6．北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时) 可在数轴上表示如图
若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（ ） A．首尔与纽约的时差为13小时 B．首尔与多伦多的时差为13小时 C．北京与纽约的时差为14小时 D．北京与多伦多的时差为14小时 二、填空题 7．（2016春•新泰市校级月考）不大于4的正整数的个数为 ． 8．数轴上到-3的距离等于2的数是 ________．
9．数轴上点A 、B 的位置如图所示，若点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为 ．
10. （2014秋•埇桥区校级期中）长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点．
11．如图，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m ，n ，则A ，B 间的距离是 ．（用含m ，n 的式子表示）
12．已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为__________． 三、解答题
14．（2015秋•碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？
15．在数轴上有三个点A 、B 、C （如图）．请回答：
（1）写出数轴上距点B 三个单位的点所表示的数；
（2）将点C 向左移动6个单位到达点D ，用“＜”号把A 、B 、D 三点所表示的数连接起来； （3）怎样移动A 、B 、C 中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）．
绝对值与相反数（提高）
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
(a >0) ⎧a
⎪|a |=⎨0(a =0)
⎪-a (a
0) ⎩
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a
＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．
4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若
a a a
>1，则a >b ；若=1，则a =b ；若
；b b b
反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【典型例题】 类型一、相反数的概念
1．（2014•常德一模）若m 与n 互为相反数，则|m+n﹣2|= ．
【总结升华】若m , n 互为相反数，则m +n =0或m =-n ．
举一反三：
【变式】（2014秋•监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）互为相反数，则x+y= ．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数．
①-(-6) ； ②-(+6) ； ③ -[-(+6)]；④-{-[-(+6)]}；⑤-{-[-(-6)]}
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 类型三、绝对值的概念
3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x ＜y ．试求x 、y 的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x ＝-6，
2
y ＝±4，就是x ＝-6，y ＝4或x ＝-6，y ＝-4． 举一反三：
【变式】如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．
如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；
如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．
类型四、比较大小
4． 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)-
43
与--；(4)-π与-|-3.14|． 54
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数
还是两个负数”，然后比较．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 类型五、含有字母的绝对值的化简
5．（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ； 当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a, 可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x ﹣4的正负性．
举一反三：
【变式】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示： 化简：
类型六、绝对值非负性的应用
6． 已知a 、b 为有理数，且满足：【答案与解析】由
，
1
2
，
，则a =_______，b =________． ，
可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0． 举一反三：
【变式】已知b 为正整数，且a 、b 满足
类型七、绝对值的实际应用
，求
的值．
7．一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm) 依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.
【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向. 【巩固练习】 一、选择题
1. （2015•漳州）﹣的相反数是（ ）
11A . 3 B .-3C .-3 D .3
2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为
相反数的是（ ）．
A ． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④ 3．满足|x|＝-x 的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．已知
1
=|-3|，则a 的值是( )． a
A．3 B．-3 C．
111 D．+或- 333
5．a 、b 为有理数，且a ＞0、b ＜0，|b|＞a ，则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( )．
A．b ＜-a ＜a ＜-b B．-a ＜b ＜a ＜-b C．-b ＜a ＜-a ＜b D．-a ＜a ＜-b ＜b
6．下列推理：①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题
7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则m -3n =____．
8．已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又z =2，则z -x +y = ． 9．（2015春•广饶县校级月考）1的相反数是 ； 的相反数是它本身． 10．绝对值不大于11的整数有 个．
11．（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n﹣2016|= ． 12．若
a
=-1，则a 0；若a ≥a ，则a ． a
三、解答题 13．（2014秋•娄底期末）若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x ﹣y 的值． 14．（2016春•桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
15．阅读下面的材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A 、B 两点都不在原点时
:
①如图1-1-2，点A 、B 都在原点的右边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图1-1-3，点A 、B 都在原点的左边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a ）=∣a-b∣； ③如图1-1-4，点A 、B 在原点的两边:
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b ）=∣a-b∣， 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣． 回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x 为
__________．
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是______________．
有理数的加减法（提高）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1. 定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2. 法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”) ．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减) ． 3.
要点二、有理数的减法
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a -b =a +(-b ) ．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．（2015秋•江都市月考）阅读下题的计算方法． 计算解：原式==
=0+（﹣） =﹣
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
．
【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键． 举一反三：
【变式1】计算：(1) -7
【变式2】计算：-1+1+ -⎪
【变式3】计算：
111111
+10；(2) (-)+(-7.3)；(3) 1+(-2) ；(4) 7+(-3.8)+(-7.2)
352624
1
2
1⎛5⎫3⎝6⎭
⎛1⎫⎛1⎫(+6) + +⎪+(-3.3) +(+3) +(-6) +(+0.3) +(+8) +(+6) +(-16) + -6⎪．
⎝4⎭⎝4⎭
类型二、有理数的减法运算
2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3) +
⎛4⎫1
⎪-3． ⎝7⎭3
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）3.76-39-5+68-4.76-2
1
311+1 62
5113--3.87-2+1.54+3.37+ 6344135513
（5）-3+5+4-6； （6）2.25+3-2+1.875
2461884
（4）3.46+4
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换. 举一反三：
【变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4．（2014秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15； （2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1 这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克) 如下：
197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克?
【巩固练习】
一、选择题
1. （2015•怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（ A ． ﹣10℃ B ． 10℃ C ． 14℃ D ． ﹣14℃ 2. （2016•仪征市一模）比﹣1小2015的数是（ ） A ．﹣2014 B．2016 C．﹣2016 D．2014 3. 如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )．
A ．两个正数，一个负数 B．两个负数，一个正数
C ．三个都是零 D．其中两个数之和等于第三个数的相反数 4. 若a >0, b
）
A.
B.
C.
D.
．
5. 下列判断正确的是（ ） A．两数之差一定小于被减数．
B ．若两数的差为正数，则两数都为正数． C ．零减去一个数仍得这个数．
D ．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg ，(25±0.2)kg ，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ( )
A ．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题
7. 有理数a , b , c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）a ＋b ＋c ______0： （3）a －b ＋c ______0； （4）a ＋c ______b ； （5）c －b ______a ．
8. （2015春•广饶县校级月考）小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．
9. 若a ，b 为整数，且|a-2|+| a -b|＝1，则a+b＝________．
10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C ，早晨的温度是-1︒C ，中午的温度是4︒C. 则 (1)早晨的温度比半夜的温度高________度； (2)早晨的温度比中午的温度低________度.
11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）. 如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________
12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a 和b ，有a ☆b ＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3) ☆2的值是 . 三、解答题
13. 计算题
⎡⎛3⎫⎛4⎫⎤
（1）0+1-⎢(-1) - -⎪-(+5) - -⎪⎥+|-4|；
⎝7⎭⎝7⎭⎦⎣
（2）0-21+ +3⎪- -（3）9
2⎛
3⎝1⎫⎛2⎫⎛1⎫
⎪- +⎪
4⎭⎝3⎭⎝4⎭
44444+99+999+9999+99999 55555
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+„+97+(-98)+(-99)+100的值．
11111
+++（5）+；
8244880120
（6）--
2312-(+) --+(-
) 3255
14. （2014秋•万州区校级月考）数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x ，不大于3的正整数
的个数为y ，绝对值等于3的整数的个数为z ，求：x+y+z的值．
15. （2016•南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周
星期一到星期五该股票的涨跌情况 求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．
有理数的乘除（提高）
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】
要点一、有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab ＝ba ．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc ＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd ＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1. 倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的. 如-2的倒数是-
的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数) ．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b =a (b ≠0) .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】 11，-2和-是互相依存221b
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)(-3) ⨯⨯ -1⎪⨯(-0.25) ； 4⎫
5⎭5⎛6⎝
(2)(1-2)(2-3)(3-4)„(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.
2. （2015秋•碑林区期中）简便计算：
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．
书山寻宝 21 学海泛舟
【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算： (1)-13⨯2215-0.34⨯+⨯(-13) -⨯0.34； 3737
(2)-3.14⨯35.2+6.28⨯(-23.3) -1.57⨯36.4．
类型二、有理数的除法运算
3．计算： (-49) ÷ -2⎪÷⎛
⎝1⎫7÷(-3) 3⎭3
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 举一反三：
【变式】计算：(-3) ÷(-2) ÷(-1) 1
31315
类型三、有理数的乘除混合运算
4. 计算：-81÷
书山寻宝 94⨯÷(-16) 4922 学海泛舟