数列通项方法归纳
一、累加法（逐差相减法）
例1:已知数列{a n }满足a 1=
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
例2：已知数列{a n }中a 1=1，且a 2k =a 2k -1+(-1) k ，a 2k +1=a 2k +3k ，k =1, 2, 3 （1）求a 3, a 5（2）求{a n }的通项公式.
二、累积法（逐商相乘法）
n 2
a n ，求a n 。 ，a n +1=
3n +1
例1:已知数列{a n }满足a 1=
例2:已知a 1=3，a n +1=
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 。 3n +2
1
三、公式法
例1：已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S 1＞1且6S n =
(a n +1)(a n +2) n ∈N * 求{a n }的通项公式。
例2：已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -
12
n -2
.
（1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n .
四、待定系数法
例1：已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
例2：已知数列{a n }中，a 1=
511
, a n +1=a n +() n +1，求a n 。 632
2
例：已知数列｛a n ｝中，a 1=1, a n +1=
2
⋅a n (a >0) ，求数列a n 的通项公式. a
利用待定系数法构造等比数列，即令a n +1+x (n +1) +y =p (a n +xn +y )
例:设数列{a n }：a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n ≥2) ，求a n . 例1:在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=6n -a n ，求a n
例2:在数列{a n }中，a 1=1, a n a n +1=3n ，求a n
3
五、取倒法
a n
n ∈N *，求a n =？ 1-a n
例1：已知数列{a n }，a 1= -1，a n +1=
例2：若数列的递推公式为a 1=3,
11
则求这个数列的通项公式。 =-2(n ∈N ) ，
a n +1a n
例3：已知数列{a n }满足a 1=1, n ≥2时，a n -1-a n =2a n -1a n ，求通项公式。
例4：已知数列｛a n ｝满足：a n =
例5：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=
4
a n -1
, a 1=1，求数列｛a n ｝的通项公式。
3⋅a n -1+1
2a n
n ∈N +，求通项a n ． a n +2
六、特征方程法
例1：已知数列{a n }满足性质：对于n ∈N , a n +1=
4a n +3
, 且a 1=2, 求{a n }的通项公式. a n +2
例2：已知数列{a n }的首项a 1=
33a n
，2， ．求{a n }的通项公式； ，a n +1=，n =1
52a n +1
5
例1：已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n
例2已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=2,4a n +2=4a n +1-a n (n ∈N *) 求数列{a n }的通项a n
七、双数列型
n n
例2：已知数列{a n }中，a 1=1；数列{b n }中，b 1=0。当n ≥2时，
11
a n =(2a n -1+b n -1) , b n =(a n -1+2b n -1) ，求a n , b n .
33
八、周期法
例：若数列{a n }满足a n +1
1⎧
2a , (0≤a ≤n ⎪6⎪n 2=⎨，若a 1=，则a 20的值为___________。
71⎪2a -1, (≤a
n n ⎪2⎩
6
数列通项方法归纳
一、累加法（逐差相减法）
例1:已知数列{a n }满足a 1=
11，a n +1=a n +2，求a n 。 2n +n
例2：已知数列{a n }中a 1=1，且a 2k =a 2k -1+(-1) k ，a 2k +1=a 2k +3k ，k =1, 2, 3 （1）求a 3, a 5（2）求{a n }的通项公式.
二、累积法（逐商相乘法）
n 2
a n ，求a n 。 ，a n +1=
3n +1
例1:已知数列{a n }满足a 1=
例2:已知a 1=3，a n +1=
3n -1
a n (n ≥1) ，求a n 。 3n +2
1
三、公式法
例1：已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S 1＞1且6S n =
(a n +1)(a n +2) n ∈N * 求{a n }的通项公式。
例2：已知数列{a n }前n 项和S n =4-a n -
12
n -2
.
（1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n .
四、待定系数法
例1：已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +3，求a n .
例2：已知数列{a n }中，a 1=
511
, a n +1=a n +() n +1，求a n 。 632
2
例：已知数列｛a n ｝中，a 1=1, a n +1=
2
⋅a n (a >0) ，求数列a n 的通项公式. a
利用待定系数法构造等比数列，即令a n +1+x (n +1) +y =p (a n +xn +y )
例:设数列{a n }：a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n ≥2) ，求a n . 例1:在数列{a n }中，a 1=1, a n +1=6n -a n ，求a n
例2:在数列{a n }中，a 1=1, a n a n +1=3n ，求a n
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五、取倒法
a n
n ∈N *，求a n =？ 1-a n
例1：已知数列{a n }，a 1= -1，a n +1=
例2：若数列的递推公式为a 1=3,
11
则求这个数列的通项公式。 =-2(n ∈N ) ，
a n +1a n
例3：已知数列{a n }满足a 1=1, n ≥2时，a n -1-a n =2a n -1a n ，求通项公式。
例4：已知数列｛a n ｝满足：a n =
例5：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=
4
a n -1
, a 1=1，求数列｛a n ｝的通项公式。
3⋅a n -1+1
2a n
n ∈N +，求通项a n ． a n +2
六、特征方程法
例1：已知数列{a n }满足性质：对于n ∈N , a n +1=
4a n +3
, 且a 1=2, 求{a n }的通项公式. a n +2
例2：已知数列{a n }的首项a 1=
33a n
，2， ．求{a n }的通项公式； ，a n +1=，n =1
52a n +1
5
例1：已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *) ，求数列{a n }的通项a n
例2已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=2,4a n +2=4a n +1-a n (n ∈N *) 求数列{a n }的通项a n
七、双数列型
n n
例2：已知数列{a n }中，a 1=1；数列{b n }中，b 1=0。当n ≥2时，
11
a n =(2a n -1+b n -1) , b n =(a n -1+2b n -1) ，求a n , b n .
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八、周期法
例：若数列{a n }满足a n +1
1⎧
2a , (0≤a ≤n ⎪6⎪n 2=⎨，若a 1=，则a 20的值为___________。
71⎪2a -1, (≤a
n n ⎪2⎩
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