函数的对称性
一、教学目标
函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。
1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到；
2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。
二、举例分析
例1． 设f (x )是定义在R 上的函数，
（1）若对任意x ∈R ，都有f (a -x )=f (b +x )成立，则函数f (x )的图象关于直线x =a +b 对称； 2
（2）若对任意x ∈R ，都有f (x )+f (2a -x )=2b ，则函数f (x )的图象关于点(a , b )成中心对称。
选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数f (x )的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式f (x )应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。
思路分析：
（1）要证明f (x )图象上任意一点P (x 0, y 0)关于直线x =a +b 对称的点2
Q (a +b -x 0, y 0)也在f (x )的图象上。
事实上，y 0=f (x 0)=f ⎡⎣a -(a -x 0)⎤⎦=f ⎡⎣b +(a -x 0)⎤⎦=f (a +b -x 0)，即得点Q (a +b -x 0, y 0)也在f (x )的图象上。
特别地，当a , b 都为0时，就是偶函数的特征了。
（2）要证明f (x )图象上任意一点A (x 0, y 0)关于点(a , b )的对称点B (2a -x 0,2b -y 0)也在f (x )的图象上。事实上，由A (x 0, y 0)在的图象上及f (x )+f (2a -x )=2b 可得，y 0=f (x 0)及f (x 0)+f (2a -x 0)=2b ，则有2b -0y =2b -(f )(2f 0x =，从而得到a x B (2a -x 0,2b -y 0)也在f (x )的图象上。 )-0
特别地，当a , b 都为0时，就是奇函数的特征了。
例2．对于定义在R 上的函数f (x )有下列命题：
（1）若f (x )是奇函数，则函数f (x -1)的图象关于点(1,0)对称；
其中正确命题的个数是--------------------------------------------------( )
A.1 B.2 C.3 D.4
选题目的：学生通过此题学习，加深理解图象具有对称性函数的特征，掌握图象平移后的形状保持不变，所变的是对称位置；另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数图象的对称关系。
思路分析：（1）、（2）两小题较为简单，就是平移后图象问题；
（3）是函数f (x )自身的对称问题，函数f (x )满足关系：f (2-x )+f (x )=2，由例1中的结论知， 函数f (x )图象关于点(1,1)成中心对称。
也可以从对应点的关系中获取，设图象上任意点P x , f (x )，则图象上必存在与之对应的点Q 2-x ,2-f (x )，则P 、Q 的中点为定点(1,1)，即为对称中心。
（4）首先要清楚这是两个函数图象的对称问题，它们都是由函数y =f (x )图象变换得()()
→y =f (x -1)的图象；
到的；y =f (x )图象−−?
? ? →y =f (-x )−−→y =f (1-x ) y =f (x )图象−−
例3．如图，正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两
点。分别以A 、B 两点为圆心，画出与y 轴相切的两个圆。
若点A 的坐标为（1，2），则图中两个阴影部分面积的和是
___________。
选题目的：充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是关于坐标原点成中
心对称的特点，注重图形的割补法来求解；
思路分析：分别求两个阴影部分面积显然不可行。由于正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，可知A 、B 两点关于原点对称。从而⊙A 与⊙B 也关于原点对称，故阴影部分面积和等于⊙A （或⊙B ）的面积。⊙A 与y 轴相切，则⊙A 的半径为1，故阴影部分的面
2π⨯1=π。 积和等于
例4．曲线C 的方程是y =x 3-x ，将C 沿X 轴、Y 轴的正向分别平移t , s 个单位长度后得到
曲线C 1，求证：曲线C 与C 1关于点A ⎛t s ⎫, ⎪对称。 ⎝22⎭
选题目的：学会证明两曲线的对称的方法，培养运算能力；
思路分析：两条曲线的对称问题证明必须是双向的，即曲线C 上的任意一点关于点A 的对称点在曲线C 1上；曲线C 1上的任意一点关于点A 的对称点也在曲线C 上。
三、巩固练习
1．已知函数f (x )=a -x 图象的对称中心为(3, -1)，则的值为 x -a -1
A ．-4 B．-2 C．2 D．3
2．二次函数f (x )满足：f (2+x )=f (2-x )，且f (2)=1, f 0(
有最小值1，最大值3，则的取值范围是
A ．00 D．2≤m ≤4
3．定义在R 上的非常数函数f (x )满足：f (10+x )是偶函数，且f (5-x )=f (5+x )，
则f (x )一定
A ．是偶函数且是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数
C ．是奇函数且是周期函数 D．是奇函数但不是周期函数 3)=。若在区间[0, m ]上
4．f (x )是R 上的函数，若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则f (x +3)的奇偶性是
A ．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
5．函数f (x )满足：f
个根的和等于；
6．设方程3x =5+x 的根为x 1，方程log 3x =5+x 的根为x 2，则x 1+x 2的值为； ⎛1⎫⎛3⎫+x ⎪=f -x ⎪，且方程f (x )=0有三个不同的根，则这三⎝4⎭⎝4⎭
10．研究函数f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)的对称性。 32
（1）f (x )=x -3x ； 3
（2）f (x )=13x -x 2-3x 3
32上述两个函数的对称性给我们什么启示，能否得出f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)对称
性的一般结论
函数的对称性
一、教学目标
函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。
1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到；
2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。
二、举例分析
例1． 设f (x )是定义在R 上的函数，
（1）若对任意x ∈R ，都有f (a -x )=f (b +x )成立，则函数f (x )的图象关于直线x =a +b 对称； 2
（2）若对任意x ∈R ，都有f (x )+f (2a -x )=2b ，则函数f (x )的图象关于点(a , b )成中心对称。
选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数f (x )的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式f (x )应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。
思路分析：
（1）要证明f (x )图象上任意一点P (x 0, y 0)关于直线x =a +b 对称的点2
Q (a +b -x 0, y 0)也在f (x )的图象上。
事实上，y 0=f (x 0)=f ⎡⎣a -(a -x 0)⎤⎦=f ⎡⎣b +(a -x 0)⎤⎦=f (a +b -x 0)，即得点Q (a +b -x 0, y 0)也在f (x )的图象上。
特别地，当a , b 都为0时，就是偶函数的特征了。
（2）要证明f (x )图象上任意一点A (x 0, y 0)关于点(a , b )的对称点B (2a -x 0,2b -y 0)也在f (x )的图象上。事实上，由A (x 0, y 0)在的图象上及f (x )+f (2a -x )=2b 可得，y 0=f (x 0)及f (x 0)+f (2a -x 0)=2b ，则有2b -0y =2b -(f )(2f 0x =，从而得到a x B (2a -x 0,2b -y 0)也在f (x )的图象上。 )-0
特别地，当a , b 都为0时，就是奇函数的特征了。
例2．对于定义在R 上的函数f (x )有下列命题：
（1）若f (x )是奇函数，则函数f (x -1)的图象关于点(1,0)对称；
其中正确命题的个数是--------------------------------------------------( )
A.1 B.2 C.3 D.4
选题目的：学生通过此题学习，加深理解图象具有对称性函数的特征，掌握图象平移后的形状保持不变，所变的是对称位置；另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数图象的对称关系。
思路分析：（1）、（2）两小题较为简单，就是平移后图象问题；
（3）是函数f (x )自身的对称问题，函数f (x )满足关系：f (2-x )+f (x )=2，由例1中的结论知， 函数f (x )图象关于点(1,1)成中心对称。
也可以从对应点的关系中获取，设图象上任意点P x , f (x )，则图象上必存在与之对应的点Q 2-x ,2-f (x )，则P 、Q 的中点为定点(1,1)，即为对称中心。
（4）首先要清楚这是两个函数图象的对称问题，它们都是由函数y =f (x )图象变换得()()
→y =f (x -1)的图象；
到的；y =f (x )图象−−?
? ? →y =f (-x )−−→y =f (1-x ) y =f (x )图象−−
例3．如图，正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两
点。分别以A 、B 两点为圆心，画出与y 轴相切的两个圆。
若点A 的坐标为（1，2），则图中两个阴影部分面积的和是
___________。
选题目的：充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是关于坐标原点成中
心对称的特点，注重图形的割补法来求解；
思路分析：分别求两个阴影部分面积显然不可行。由于正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，可知A 、B 两点关于原点对称。从而⊙A 与⊙B 也关于原点对称，故阴影部分面积和等于⊙A （或⊙B ）的面积。⊙A 与y 轴相切，则⊙A 的半径为1，故阴影部分的面
2π⨯1=π。 积和等于
例4．曲线C 的方程是y =x 3-x ，将C 沿X 轴、Y 轴的正向分别平移t , s 个单位长度后得到
曲线C 1，求证：曲线C 与C 1关于点A ⎛t s ⎫, ⎪对称。 ⎝22⎭
选题目的：学会证明两曲线的对称的方法，培养运算能力；
思路分析：两条曲线的对称问题证明必须是双向的，即曲线C 上的任意一点关于点A 的对称点在曲线C 1上；曲线C 1上的任意一点关于点A 的对称点也在曲线C 上。
三、巩固练习
1．已知函数f (x )=a -x 图象的对称中心为(3, -1)，则的值为 x -a -1
A ．-4 B．-2 C．2 D．3
2．二次函数f (x )满足：f (2+x )=f (2-x )，且f (2)=1, f 0(
有最小值1，最大值3，则的取值范围是
A ．00 D．2≤m ≤4
3．定义在R 上的非常数函数f (x )满足：f (10+x )是偶函数，且f (5-x )=f (5+x )，
则f (x )一定
A ．是偶函数且是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数
C ．是奇函数且是周期函数 D．是奇函数但不是周期函数 3)=。若在区间[0, m ]上
4．f (x )是R 上的函数，若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则f (x +3)的奇偶性是
A ．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
5．函数f (x )满足：f
个根的和等于；
6．设方程3x =5+x 的根为x 1，方程log 3x =5+x 的根为x 2，则x 1+x 2的值为； ⎛1⎫⎛3⎫+x ⎪=f -x ⎪，且方程f (x )=0有三个不同的根，则这三⎝4⎭⎝4⎭
10．研究函数f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)的对称性。 32
（1）f (x )=x -3x ； 3
（2）f (x )=13x -x 2-3x 3
32上述两个函数的对称性给我们什么启示，能否得出f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)对称
性的一般结论