第7章 数列与数学归纳法
1. （本P13. 2）如果命题甲为：△ABC 中有一个内角为60°，命题乙为：△ABC 的三个内角的度数可以构成等差数列，那么命题甲是命题乙的______________条件.
2. （本P15. 3）如果正整数p 、q 、l 、k 满足p +q =l +k ，数列{a n }是等差数列，那么
a p +a q =a l +a k . 试判断这个命题及其逆命题的真假，并说明理由.
3
3. （本P34. 3）求证：n +5n （n ∈N *）能被6整除.
4. （本P48例3）已知无穷等比数列{a n }的各项的和是4，求首项a 1的取值范围. 5. （本P48. 3）一个弹性小球从20米高处自由落下，着地反弹后到原来高度的由落下，又弹回到上一次高度的中所经过的总路程.
6. （册P7. 3）已知数列{a n }的各项均不为零，且a n =数列{b n }是等差数列.
7. （册P8. 3）已知直角三角形的斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b （a
3
处，再自5
3
处，假设这个小球能无限次反弹，求这个小球在这次运动5
3a n -11
（n ≥2），b n =. 求证：
a n -1+3a n
c 成等比数列，求a :c 的值.
8. （册P10. 4）已知数列{a n }是等比数列，且a 1，a 2，a 4成等差数列，求{a n }的公比.
352n -1
9. （册P11. 7）已知a >0，求a +a +a + +a .
10. （册P11. 8）已知等比数列{a n }的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和.
11. （册P14. 2）已知数列{a n }满足a 1=归纳法证明：a n =
12
，a 1+a 2+ +a n =n a n （n ∈N *），试用数学2
1
.
n (n +1)
12. （册P16. 1）是否存在常数a 、b 、c ，使等式
1⋅(n 2-12) +2⋅(n 2-22) + +n ⋅(n 2-n 2) =an 4+bn 2+c 对一切正整数n 都成立？证明
你的结论.
13. （册P20. 2）下列命题中，正确的是（）
（A ）若lim(a n ⋅b n ) =a ≠0，则lim a n ≠0且lim b n ≠0.
n →∞
n →∞
n →∞
（B ）若lim(a n ⋅b n ) =0，则lim a n =0或lim b n =0.
n →∞
n →∞
n →∞
（C ）若{a n }有极限，且它的前n 项和为S n ，则lim S n =lim a 1+lim a 2+ +lim a n .
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
（D ）若无穷数列{a n }有极限A ，则lim a n =lim a n +1.
n →∞
n →∞
2n 1
=14. （册P20. 4）若lim n +1，则实数a 的取值范围是___________
n →∞2+a n 2
15. （册P21. 4）已知数列{a n }是无穷等比数列，且a 1+a 2+ +a n + =取值范围.
1
，求实数a 1的a 1
121212
+2+3+4+ +2n -1+2n （n ∈N *），求lim S n .
n →∞555555
111
17. （册P23. 4）对于数列，，…，n ，…，试从其中找出无限项构成一个新的等比
242
1
数列，使新等比数列的各项和为，求新数列的首项与公比.
7
1
18. （册P24. 2）在等差数列{a n }中，已知公差d =，且a 1+a 3+a 5+ +a 99=60，求
2
16. （册P23. 1）已知S n =
a 1+a 2+a 3+ +a 100的值.
19. （册P27. 14）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q （q >0），它的前n 项和为S n ，且T n =
S n
，求lim T n 的值.
n →∞S n +1
2
20. （册P29. 7）计算：lim n
n →∞数）
111⎫⎛k --- -⎪（其中k 为与n 无关的正整n n +1n +2n +k ⎝⎭
21. （册P30. 10）已知数列{a n }是无穷等比数列，且公比q 满足0
a n =k (a n +1+a n +2+a n +3+ ) ，求实数k 的取值范围.
第8章 平面向量及其坐标表示
BH ⊥AC ，22. （本P68例2）如图，在△ABC 中，已知AH ⊥BC ，
B
C
求证：CH ⊥AB .
23. （册P34. 3）已知A 、B 两点的坐标分别是(-2, -3) 、(4,1)，延长AB 到P ，使
|AP |=3|PB |，求点P 的坐标.
24. （册P34. 4）已知向量a =(-2, 3) ，点A 的坐标是(2,-1) ，向量AB 与a 平行，且
|AB |=OB 的坐标.
25. （册P35. 5）已知a 为非零向量，b =(3,4) ，且a ⊥b ，求a 的单位向量a 0.
26. （册P36. 2）已知a 、b 都是非零向量，且(a +3b ) ⊥(7a -5b ) ，(a -4b ) ⊥(7a -2b ) ，
求a 与b 的夹角.
27. （册P36. 4）已知a =(x , 2) ，b =(-3, -5) ，a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围.
OA 与OB 的夹角为28. （册P38. 1）如图，已知|OA |=|OB |=1， B
OC 与OA 的夹角为30°，
且|OC |=2用OA 、OB 表示
29. （册P40. 4）在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，
∠DAB =60 ，求对角线AC 与BD 的夹角.
30. （册P41. 5）以原点O 和点A (5,2) 为顶点作等腰直角三角形ABO ，使∠B =90，求
向量OB 的坐标.
31. （册P43. 1）已知a 、b 都是非零向量，且|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.
第9章 矩阵和行列式初步
32. （本P76. 2）写出一个系数矩阵为单位矩阵、解为1行4列矩阵(1234) 的线性方程组.
⎛43-15⎫ ⎪
33. （本P76. 3）已知线性方程组的增广矩阵为7214 ⎪，写出其对应的线性方程
5-2-38⎪⎝⎭
组.
3
34. （本P99. 1）在三阶行列式2
-532
1
-6中，元素-6的余子式为_________，元素-64
-7
的代数余子式为__________.
高二第一学期总复习题
35. （册P72. 1（2））用数学归纳法证明2+3+4+ +n =________验证.
36. （册P72. 2（1））数列27，207，2007，20007的一个通项公式可以为___________ 37. （册P73. 2（3））用数学归纳法证明：f (n ) =1+
(n -1)(n +2)
时，第（i ）步取n =2
111
++ +n （n ∈N *）的过程中，232
从n =k 到n =k +1时，f (k +1) 比f (k ) 共增加了_________项. 38. （册P74. 7）用数学归纳法证明：
1⋅n +2⋅(n -1) +3⋅(n -2) + +n ⋅1=
1
n (n +1)(n +2) （n ∈N *）. 6
39. （册P74. 8）已知{a n }是等差数列，a 1=1，S n 是它的前n 项和；{b n }是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n 是它的前n 项和. 如果a 3=b 2，S 5=2T 2-6，lim T n =9，分
n →∞
别求{a n }与{b n }的通项公式.
40. （册P76. 14）已知向量a =(-3, -2) 与b =(-4, k ) ，且(5a -b ) ⋅(b -3a ) =-55，求实
数k 的值.
1+a +a m i l 41. （册P78. 1（3））
n →∞1+b +b + a +
2
+ b +
2n n
=_________（|a |
42. （册P79. 5）已知由依次增大且大于1的连续正整数组成的数列{a n }满足
⎛⎛⎛1⎫1⎫1⎫
lg 2+lg 1+⎪+lg 1+⎪+ +lg 1+⎪=lg n ，求n 的最大值及此时的S n .
⎝a 2⎭⎝a 3⎭⎝a n ⎭
43. （册P80. 9）已知数列{a n }的前n 项和S n =1+(r -1) a n （常数r ≠2）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若lim S n =1，求r 的取值范围.
n →∞
44. （册P80. 10）已知f (x ) =log a x （a >0且a ≠1），且2，f (a 1) ，f (a 2) ，…，f (a n ) ，
2n +4，…（n ∈N *）成等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，当a >1时，求lim
S n
.
n →∞a n
45. （册P81. 11）已知数列{a n }的通项公式是a n =a n +1（a >0且a ≠1），令b n =a n ⋅lg a n . 是否存在a ，使得{b n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
BC =b ，CA =c ，46. （册P81. 13）在△ABC 中，已知AB =a ，
且|a |=3，|b |=2，|c |=4，求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a 的值.
47. （册P82. 15）如图，在△ABC 中，已知点M 是BC 的中点，点N 在AC 边上，且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求
B
M
A
N C
AP :PM 的值.
第7章 数列与数学归纳法
1. （本P13. 2）如果命题甲为：△ABC 中有一个内角为60°，命题乙为：△ABC 的三个内角的度数可以构成等差数列，那么命题甲是命题乙的______________条件.
2. （本P15. 3）如果正整数p 、q 、l 、k 满足p +q =l +k ，数列{a n }是等差数列，那么
a p +a q =a l +a k . 试判断这个命题及其逆命题的真假，并说明理由.
3
3. （本P34. 3）求证：n +5n （n ∈N *）能被6整除.
4. （本P48例3）已知无穷等比数列{a n }的各项的和是4，求首项a 1的取值范围. 5. （本P48. 3）一个弹性小球从20米高处自由落下，着地反弹后到原来高度的由落下，又弹回到上一次高度的中所经过的总路程.
6. （册P7. 3）已知数列{a n }的各项均不为零，且a n =数列{b n }是等差数列.
7. （册P8. 3）已知直角三角形的斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b （a
3
处，再自5
3
处，假设这个小球能无限次反弹，求这个小球在这次运动5
3a n -11
（n ≥2），b n =. 求证：
a n -1+3a n
c 成等比数列，求a :c 的值.
8. （册P10. 4）已知数列{a n }是等比数列，且a 1，a 2，a 4成等差数列，求{a n }的公比.
352n -1
9. （册P11. 7）已知a >0，求a +a +a + +a .
10. （册P11. 8）已知等比数列{a n }的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和.
11. （册P14. 2）已知数列{a n }满足a 1=归纳法证明：a n =
12
，a 1+a 2+ +a n =n a n （n ∈N *），试用数学2
1
.
n (n +1)
12. （册P16. 1）是否存在常数a 、b 、c ，使等式
1⋅(n 2-12) +2⋅(n 2-22) + +n ⋅(n 2-n 2) =an 4+bn 2+c 对一切正整数n 都成立？证明
你的结论.
13. （册P20. 2）下列命题中，正确的是（）
（A ）若lim(a n ⋅b n ) =a ≠0，则lim a n ≠0且lim b n ≠0.
n →∞
n →∞
n →∞
（B ）若lim(a n ⋅b n ) =0，则lim a n =0或lim b n =0.
n →∞
n →∞
n →∞
（C ）若{a n }有极限，且它的前n 项和为S n ，则lim S n =lim a 1+lim a 2+ +lim a n .
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
（D ）若无穷数列{a n }有极限A ，则lim a n =lim a n +1.
n →∞
n →∞
2n 1
=14. （册P20. 4）若lim n +1，则实数a 的取值范围是___________
n →∞2+a n 2
15. （册P21. 4）已知数列{a n }是无穷等比数列，且a 1+a 2+ +a n + =取值范围.
1
，求实数a 1的a 1
121212
+2+3+4+ +2n -1+2n （n ∈N *），求lim S n .
n →∞555555
111
17. （册P23. 4）对于数列，，…，n ，…，试从其中找出无限项构成一个新的等比
242
1
数列，使新等比数列的各项和为，求新数列的首项与公比.
7
1
18. （册P24. 2）在等差数列{a n }中，已知公差d =，且a 1+a 3+a 5+ +a 99=60，求
2
16. （册P23. 1）已知S n =
a 1+a 2+a 3+ +a 100的值.
19. （册P27. 14）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q （q >0），它的前n 项和为S n ，且T n =
S n
，求lim T n 的值.
n →∞S n +1
2
20. （册P29. 7）计算：lim n
n →∞数）
111⎫⎛k --- -⎪（其中k 为与n 无关的正整n n +1n +2n +k ⎝⎭
21. （册P30. 10）已知数列{a n }是无穷等比数列，且公比q 满足0
a n =k (a n +1+a n +2+a n +3+ ) ，求实数k 的取值范围.
第8章 平面向量及其坐标表示
BH ⊥AC ，22. （本P68例2）如图，在△ABC 中，已知AH ⊥BC ，
B
C
求证：CH ⊥AB .
23. （册P34. 3）已知A 、B 两点的坐标分别是(-2, -3) 、(4,1)，延长AB 到P ，使
|AP |=3|PB |，求点P 的坐标.
24. （册P34. 4）已知向量a =(-2, 3) ，点A 的坐标是(2,-1) ，向量AB 与a 平行，且
|AB |=OB 的坐标.
25. （册P35. 5）已知a 为非零向量，b =(3,4) ，且a ⊥b ，求a 的单位向量a 0.
26. （册P36. 2）已知a 、b 都是非零向量，且(a +3b ) ⊥(7a -5b ) ，(a -4b ) ⊥(7a -2b ) ，
求a 与b 的夹角.
27. （册P36. 4）已知a =(x , 2) ，b =(-3, -5) ，a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围.
OA 与OB 的夹角为28. （册P38. 1）如图，已知|OA |=|OB |=1， B
OC 与OA 的夹角为30°，
且|OC |=2用OA 、OB 表示
29. （册P40. 4）在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，
∠DAB =60 ，求对角线AC 与BD 的夹角.
30. （册P41. 5）以原点O 和点A (5,2) 为顶点作等腰直角三角形ABO ，使∠B =90，求
向量OB 的坐标.
31. （册P43. 1）已知a 、b 都是非零向量，且|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角.
第9章 矩阵和行列式初步
32. （本P76. 2）写出一个系数矩阵为单位矩阵、解为1行4列矩阵(1234) 的线性方程组.
⎛43-15⎫ ⎪
33. （本P76. 3）已知线性方程组的增广矩阵为7214 ⎪，写出其对应的线性方程
5-2-38⎪⎝⎭
组.
3
34. （本P99. 1）在三阶行列式2
-532
1
-6中，元素-6的余子式为_________，元素-64
-7
的代数余子式为__________.
高二第一学期总复习题
35. （册P72. 1（2））用数学归纳法证明2+3+4+ +n =________验证.
36. （册P72. 2（1））数列27，207，2007，20007的一个通项公式可以为___________ 37. （册P73. 2（3））用数学归纳法证明：f (n ) =1+
(n -1)(n +2)
时，第（i ）步取n =2
111
++ +n （n ∈N *）的过程中，232
从n =k 到n =k +1时，f (k +1) 比f (k ) 共增加了_________项. 38. （册P74. 7）用数学归纳法证明：
1⋅n +2⋅(n -1) +3⋅(n -2) + +n ⋅1=
1
n (n +1)(n +2) （n ∈N *）. 6
39. （册P74. 8）已知{a n }是等差数列，a 1=1，S n 是它的前n 项和；{b n }是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n 是它的前n 项和. 如果a 3=b 2，S 5=2T 2-6，lim T n =9，分
n →∞
别求{a n }与{b n }的通项公式.
40. （册P76. 14）已知向量a =(-3, -2) 与b =(-4, k ) ，且(5a -b ) ⋅(b -3a ) =-55，求实
数k 的值.
1+a +a m i l 41. （册P78. 1（3））
n →∞1+b +b + a +
2
+ b +
2n n
=_________（|a |
42. （册P79. 5）已知由依次增大且大于1的连续正整数组成的数列{a n }满足
⎛⎛⎛1⎫1⎫1⎫
lg 2+lg 1+⎪+lg 1+⎪+ +lg 1+⎪=lg n ，求n 的最大值及此时的S n .
⎝a 2⎭⎝a 3⎭⎝a n ⎭
43. （册P80. 9）已知数列{a n }的前n 项和S n =1+(r -1) a n （常数r ≠2）. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若lim S n =1，求r 的取值范围.
n →∞
44. （册P80. 10）已知f (x ) =log a x （a >0且a ≠1），且2，f (a 1) ，f (a 2) ，…，f (a n ) ，
2n +4，…（n ∈N *）成等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，当a >1时，求lim
S n
.
n →∞a n
45. （册P81. 11）已知数列{a n }的通项公式是a n =a n +1（a >0且a ≠1），令b n =a n ⋅lg a n . 是否存在a ，使得{b n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
BC =b ，CA =c ，46. （册P81. 13）在△ABC 中，已知AB =a ，
且|a |=3，|b |=2，|c |=4，求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a 的值.
47. （册P82. 15）如图，在△ABC 中，已知点M 是BC 的中点，点N 在AC 边上，且AN =2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求
B
M
A
N C
AP :PM 的值.