细说矩形折叠题
为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。
一、折叠后求长度
例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）
A ．1 B ．2
C ．2 D ．
解析：由对称的性质，易得BC=CO，
图1
图2
则四边形AECF 为菱形，则AC=2CO，所以AC=2BC，又四边形ABCD 是矩形，所以∠B=90°，则在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2－BC 2=AB2，所以3BC 2=9，则BC=。所以边BC 的长是厘米。
评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同时，充分运用了对称的性质和勾股定理等知识，既考查了同学们的空间想象能力，同时考查同学们综合运用知识的能力。
二、折叠后求角度
例2、将矩形纸片ABCD （图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3－2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）
图3－1 图3－2 图3－3
（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75°
解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，
然后
利用轴对称的性质进行求解。如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠BAE=∠EAF=45°，
再由第二次折叠，可得∠EA 1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EFA 1=
1
∠AFA 1，又因为在矩形2
ABCD 中，因为AD ∥BC ，∠EA 1F+∠AFA 1=180°，所以∠AFA 1=135°，
所以∠AFE=67.5°。故选B 。
评注：本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高，因为是连续折叠，所以想象有点困难，解决问题的最好办法就是动手操作后，再画出折痕，明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充分利用这些关系求解。
三、折叠后判形状
例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是
A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形
解析：最简单的方法就是取一张纸动手操作一下，即拿一张纸片，按照已知的步骤折叠，然后剪出图形，展开后，就会发现图形是正六边形。其实也不难想象，首先对折一次，然后又分成三份折叠，显然是六份，所以选D 。
评注：“折纸判形状”一直是考试的热点，主要考查同学们的动手操作能力，和活跃考试气氛。通过实践获得知识比直接听讲获得知识的效果好，解决问题最可靠的方法就是动手操作。
四、折叠后探规律
例4、如图5，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．
（1）说明：B 'E =BF ；
图4
（2）设AE =a ，AB =b ，BF =c ，试猜想a ，b ，c 之间有何等量关系，并给予证明． 解析：由题意得B 'F =BF ，∠B 'FE =∠BFE ， 在矩形ABCD 中， AD ∥BC ，
D
A '
A
∴∠B 'EF =∠BFE ， ∴∠B 'FE =∠B 'EF ． ∴B 'F =B 'E ． ∴B 'E =BF ．
（2）因为AE=a ，AB=b ，在Rt △ABE 中，在可猜想a ，b ，c 之间存在关系：
C
F 图2
B
a 2+b 2=c 2．下面只需说明BF=BE即可。
由题意知，A 'E =AE ，A 'B '=AB ．由（1）知B 'E =BF ． 在Rt △A 'EB '中， ∠A '=90，A 'E =a ，A 'B '=b ，B 'E =c ，
∴a 2+b 2=c 2。
评注：在折叠中，经常会出现角相等，而矩形中又有对边平行的条件，这两者结合就会出现等腰三角形，充分利用这一特征，可以帮助我们顺利解决问题。
折叠矩形中的计算
折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。
解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴) 两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴) 垂直平分。
解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。 一、 角度的计算
例1、如图1，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，求∠AEF 的度数。 分析：因为EF 为折痕，所以它就是对称轴，由此可得，对应角∠BFE=∠2，
利用∠1的度数求出∠BFE 的度数，再利用AD ∥BC ，就可求出∠AEF 的度数。 解：由题意得，对应角∠BFE=∠2 ∵∠1=500 ∴∠BFE=∠2=
1
(1800-500) =650 2
又∵四边形ABCD 为矩形 ∴AD ∥BC ∴∠AEF +∠BFE =180
即∠AEF =1800-650=1150
答：∠AEF 的度数为1150。 二、边长的计算
例2、如图2，沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边，使点D 落在BC 边上一点F 处。若AB=8，且⊿ABF 的面积为24，求EC 的长。
分析：因为折痕AE 是对称轴，所以⊿AEF ≌⊿AED ，此时AD=AF，DE=FE。 先利用⊿ABF 的面积求出BF 的长，再利用勾股定理求出AF 的长，然后在 Rt ⊿ECF 中，利用勾股定理就构建起方程，从而求出EC 的长。 解：由题意可得⊿AEF ≌⊿AED ， ∴DE=FE，AD=AF=BC ∵⊿ABF 的面积为24 ∴在Rt ⊿ABF
中，AF 11
AB ⨯BF =24 即⨯8BF =24 解得，BF=6 22
==10 ∴CF=BC－BF=4
设EC=x， 则DE=EF=DC－DE=8－x
在Rt ⊿EFC 中， ∴EF 2=FC2+EC2 即(8－x) 2 = 42＋x 2 解得x=3 答：EC 的长是3。
例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB 落在AD 上，折痕为AE ，再将⊿ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CF 的长是( )
A.0.5 B.0.75 C.1 D.1.25
解析：第一次折叠，AE 为折痕，所以可得AB=BE=1.5， BD=CE=1，即⊿ABE 为等腰直角
三角形，得到∠AEB=450；第二次折叠，BE 为折痕，得到∠CEF=450，所以⊿CEF 为等腰直角三角形，于是可得CE=CF=1。 故选C
三、折痕的计算
例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B 点与D 点重合，求折痕EF 的长。
点拨：本题中折痕EF 为对称轴，点B 与点D 为对应点。若连结BD ， 则BD 被EF 垂直平分，可得OB=OD，进而证得OE=OF。在Rt ⊿ABE 中，
利用勾股定理建立起方程，求出BE 的长，再在Rt ⊿BEO 中，利用勾股定 理就可求出OE 的长。
解：连结BD 交EF 于O 点，连结BE
∵EF 为对称轴，点B 与点D 为对应点 ∴EF 垂直平分BD ，∴OB=OD，DE=BE， 由此可得, ⊿DOE ≌⊿BOF ∴OE=OF 设DE=xcm，则AE=AD－DE=(8－x)cm
25
41
在Rt ⊿ABD 中
, BD ===10(cm ) ，∴OB=BD =5(cm )
2
在Rt ⊿ABE 中，∵BE 2=AB2＋AE 2 ∴x 2=62＋(8－x) 2 解得，x=在Rt ⊿BEO 中
, OE =
=15
(cm ) 2
15
=(cm ) 4
∴EF=2OE=
答：折痕EF 的长是四、面积的计算
15
cm 。 2
例5、如图5，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在点C 处，BC 交AD 于E 。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE 的面积。 分析：因为∠A=900，所以⊿BDE 的面积=
' '
1
DE ⨯AB ，AB 的长已知，求DE 的长就是本2
题的突破口了。根据折叠的特性可得∠1=∠2，进而可证得⊿BDE 为等腰三角形，得到BE=DE，在Rt ⊿DEC 中，利用勾股定理建立方程，就可求出DE 的长。
'
解：由题意可知⊿BDC ≌⊿BD C
' ' '
∴∠C =∠C =900 BC =BC =8 D C =D C =4 ∠1=∠2
'
又∵AD ∥BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 即EB=ED 在Rt ⊿D C E 中, 设DE=x, 则EC =8-x
∴DE =C D +C E 即 x 2=(8-x ) 2+42 解得x =5 ∴⊿BDE 的面积=
2
'
2
'
2
' '
11
DE ⨯AB =⨯5⨯4=10 22
答：⊿BDE 的面积是10。
实战练习：
1、如图1，是一矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。
2、在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
①求EF 的长; ②求梯形ABCE 的面积.
参考答案
1、5.8cm 。点拨：折痕EF 为对称轴, 点B 与点D 是对应点，所以DE=BE。在Rt ⊿ADE 中，设DE=x cm，则AE=(10－x )cm，根据勾股定理得，x 2=42＋(10－x) 2，解得x=5.8(cm)； 2、①EF=3；②梯形ABCE 的面积是39。
提示：①设EF=x，由题意得，∵⊿CDE ≌⊿CFE ，∴DE=EF=x，CF=CD=6。在Rt ⊿ABC
中，AC =
=10，∴AF=AC－CF=4 AE=AD－DE=8－x
在Rt ⊿AEF 中，∵AE 2=AF2＋EF 2 ∴AE=8－3=5
S 1
梯形ABCE =2
AE+BC）⨯AB=39
∴ (8－x) 2 = 42＋x 2
解得x=3
细说矩形折叠题
为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。
一、折叠后求长度
例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）
A ．1 B ．2
C ．2 D ．
解析：由对称的性质，易得BC=CO，
图1
图2
则四边形AECF 为菱形，则AC=2CO，所以AC=2BC，又四边形ABCD 是矩形，所以∠B=90°，则在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2－BC 2=AB2，所以3BC 2=9，则BC=。所以边BC 的长是厘米。
评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同时，充分运用了对称的性质和勾股定理等知识，既考查了同学们的空间想象能力，同时考查同学们综合运用知识的能力。
二、折叠后求角度
例2、将矩形纸片ABCD （图3－1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3－2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）
图3－1 图3－2 图3－3
（A ）60° （B ）67.5° （C ）72° （D ）75°
解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，
然后
利用轴对称的性质进行求解。如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠BAE=∠EAF=45°，
再由第二次折叠，可得∠EA 1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EFA 1=
1
∠AFA 1，又因为在矩形2
ABCD 中，因为AD ∥BC ，∠EA 1F+∠AFA 1=180°，所以∠AFA 1=135°，
所以∠AFE=67.5°。故选B 。
评注：本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高，因为是连续折叠，所以想象有点困难，解决问题的最好办法就是动手操作后，再画出折痕，明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充分利用这些关系求解。
三、折叠后判形状
例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是
A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形
解析：最简单的方法就是取一张纸动手操作一下，即拿一张纸片，按照已知的步骤折叠，然后剪出图形，展开后，就会发现图形是正六边形。其实也不难想象，首先对折一次，然后又分成三份折叠，显然是六份，所以选D 。
评注：“折纸判形状”一直是考试的热点，主要考查同学们的动手操作能力，和活跃考试气氛。通过实践获得知识比直接听讲获得知识的效果好，解决问题最可靠的方法就是动手操作。
四、折叠后探规律
例4、如图5，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．
（1）说明：B 'E =BF ；
图4
（2）设AE =a ，AB =b ，BF =c ，试猜想a ，b ，c 之间有何等量关系，并给予证明． 解析：由题意得B 'F =BF ，∠B 'FE =∠BFE ， 在矩形ABCD 中， AD ∥BC ，
D
A '
A
∴∠B 'EF =∠BFE ， ∴∠B 'FE =∠B 'EF ． ∴B 'F =B 'E ． ∴B 'E =BF ．
（2）因为AE=a ，AB=b ，在Rt △ABE 中，在可猜想a ，b ，c 之间存在关系：
C
F 图2
B
a 2+b 2=c 2．下面只需说明BF=BE即可。
由题意知，A 'E =AE ，A 'B '=AB ．由（1）知B 'E =BF ． 在Rt △A 'EB '中， ∠A '=90，A 'E =a ，A 'B '=b ，B 'E =c ，
∴a 2+b 2=c 2。
评注：在折叠中，经常会出现角相等，而矩形中又有对边平行的条件，这两者结合就会出现等腰三角形，充分利用这一特征，可以帮助我们顺利解决问题。
折叠矩形中的计算
折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。
解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴) 两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴) 垂直平分。
解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。 一、 角度的计算
例1、如图1，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，求∠AEF 的度数。 分析：因为EF 为折痕，所以它就是对称轴，由此可得，对应角∠BFE=∠2，
利用∠1的度数求出∠BFE 的度数，再利用AD ∥BC ，就可求出∠AEF 的度数。 解：由题意得，对应角∠BFE=∠2 ∵∠1=500 ∴∠BFE=∠2=
1
(1800-500) =650 2
又∵四边形ABCD 为矩形 ∴AD ∥BC ∴∠AEF +∠BFE =180
即∠AEF =1800-650=1150
答：∠AEF 的度数为1150。 二、边长的计算
例2、如图2，沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边，使点D 落在BC 边上一点F 处。若AB=8，且⊿ABF 的面积为24，求EC 的长。
分析：因为折痕AE 是对称轴，所以⊿AEF ≌⊿AED ，此时AD=AF，DE=FE。 先利用⊿ABF 的面积求出BF 的长，再利用勾股定理求出AF 的长，然后在 Rt ⊿ECF 中，利用勾股定理就构建起方程，从而求出EC 的长。 解：由题意可得⊿AEF ≌⊿AED ， ∴DE=FE，AD=AF=BC ∵⊿ABF 的面积为24 ∴在Rt ⊿ABF
中，AF 11
AB ⨯BF =24 即⨯8BF =24 解得，BF=6 22
==10 ∴CF=BC－BF=4
设EC=x， 则DE=EF=DC－DE=8－x
在Rt ⊿EFC 中， ∴EF 2=FC2+EC2 即(8－x) 2 = 42＋x 2 解得x=3 答：EC 的长是3。
例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB 落在AD 上，折痕为AE ，再将⊿ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CF 的长是( )
A.0.5 B.0.75 C.1 D.1.25
解析：第一次折叠，AE 为折痕，所以可得AB=BE=1.5， BD=CE=1，即⊿ABE 为等腰直角
三角形，得到∠AEB=450；第二次折叠，BE 为折痕，得到∠CEF=450，所以⊿CEF 为等腰直角三角形，于是可得CE=CF=1。 故选C
三、折痕的计算
例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B 点与D 点重合，求折痕EF 的长。
点拨：本题中折痕EF 为对称轴，点B 与点D 为对应点。若连结BD ， 则BD 被EF 垂直平分，可得OB=OD，进而证得OE=OF。在Rt ⊿ABE 中，
利用勾股定理建立起方程，求出BE 的长，再在Rt ⊿BEO 中，利用勾股定 理就可求出OE 的长。
解：连结BD 交EF 于O 点，连结BE
∵EF 为对称轴，点B 与点D 为对应点 ∴EF 垂直平分BD ，∴OB=OD，DE=BE， 由此可得, ⊿DOE ≌⊿BOF ∴OE=OF 设DE=xcm，则AE=AD－DE=(8－x)cm
25
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在Rt ⊿ABD 中
, BD ===10(cm ) ，∴OB=BD =5(cm )
2
在Rt ⊿ABE 中，∵BE 2=AB2＋AE 2 ∴x 2=62＋(8－x) 2 解得，x=在Rt ⊿BEO 中
, OE =
=15
(cm ) 2
15
=(cm ) 4
∴EF=2OE=
答：折痕EF 的长是四、面积的计算
15
cm 。 2
例5、如图5，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在点C 处，BC 交AD 于E 。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE 的面积。 分析：因为∠A=900，所以⊿BDE 的面积=
' '
1
DE ⨯AB ，AB 的长已知，求DE 的长就是本2
题的突破口了。根据折叠的特性可得∠1=∠2，进而可证得⊿BDE 为等腰三角形，得到BE=DE，在Rt ⊿DEC 中，利用勾股定理建立方程，就可求出DE 的长。
'
解：由题意可知⊿BDC ≌⊿BD C
' ' '
∴∠C =∠C =900 BC =BC =8 D C =D C =4 ∠1=∠2
'
又∵AD ∥BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 即EB=ED 在Rt ⊿D C E 中, 设DE=x, 则EC =8-x
∴DE =C D +C E 即 x 2=(8-x ) 2+42 解得x =5 ∴⊿BDE 的面积=
2
'
2
'
2
' '
11
DE ⨯AB =⨯5⨯4=10 22
答：⊿BDE 的面积是10。
实战练习：
1、如图1，是一矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。
2、在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处。
①求EF 的长; ②求梯形ABCE 的面积.
参考答案
1、5.8cm 。点拨：折痕EF 为对称轴, 点B 与点D 是对应点，所以DE=BE。在Rt ⊿ADE 中，设DE=x cm，则AE=(10－x )cm，根据勾股定理得，x 2=42＋(10－x) 2，解得x=5.8(cm)； 2、①EF=3；②梯形ABCE 的面积是39。
提示：①设EF=x，由题意得，∵⊿CDE ≌⊿CFE ，∴DE=EF=x，CF=CD=6。在Rt ⊿ABC
中，AC =
=10，∴AF=AC－CF=4 AE=AD－DE=8－x
在Rt ⊿AEF 中，∵AE 2=AF2＋EF 2 ∴AE=8－3=5
S 1
梯形ABCE =2
AE+BC）⨯AB=39
∴ (8－x) 2 = 42＋x 2
解得x=3