月亮和太阳对海洋潮汐影响大小的理论探讨
程丰兵
地球上海水的周期性涨落称为潮汐。人们知道，潮汐主要是月球对海水的万有引力造成的，太阳的引力也有一定的作用，但要较月亮弱。我国自古就有“昼涨称潮，夜涨称汐”的说法。潮汐现象的特点是每昼夜有两次高潮，这对应着下面的事实：在任何时刻，围绕地球的海面总体上有两个突起的部分，大体来说，他们分别出现在地表离月球最近和最远的地方。
如果说潮汐是月球的引力造成的，在离月球最近的地方海水隆起，是可以理解的，为什么离月球最远的地方海水也隆起呢？
如果说潮汐是万有引力现象，那么太阳和月亮相比，谁对海水的引力大，谁就是潮汐
7
的主要原因。太阳的质量大约是月球质量的2.7×10倍，而太阳到地球的距离平方大约是月
5
球到地球的距离平方的1.5×10倍，根据万有引力定律容易算出，太阳对海水的引力大约比月球对海水的引力大180倍，为什么又说月球对潮汐起主要作用呢？
我们知道，非惯性系中的物体要受到一个“额外”的惯性力F 惯＝－ma ，m 是物体的质量，a 是非惯性系相对于惯性系的加速度。
设想一电梯从摩天大厦的顶层下降，忽然悬挂它的钢索断了，电梯做自由落体运动。在电梯参考系看来，这电梯内的物体受到一个重力mg 和一个惯性力 mg ，电梯内的物体处于完全失重状态。然而，这种引力与惯性力的等价性只在小范围内是“精确的”，如果那个“自由落体的电梯”很大很大，以至其中的引力场不能再近似看作是均匀的，惯性力就不再能把引力完全抵消。如图1a 所示，设想在自由落体电梯内有五个质点，C 在中央，即系统的质心上，A 和B 分别在C 的左右，D 和E 分别在C 的上下。由于引力是遵守平方反比关系且总是指向地心的，所以与中央质点C 所受的引力相比，A 和B 受到的引力稍向中间偏斜，D 因离地心稍远而受力稍小，E 因离地心稍近而受力稍大。因为整个参考系即自由落体的电梯是以质心C 的加速度做变速运动的，所以其中的惯性力(图1b) 虚箭头只把质点C 的合力精确抵消，它在与其他各质点所受的引力叠加时，都不会使各质点的合力为零，而是剩下一点残余力背离C 。如果在中央C 处有个较大水珠的话，它不会是球形，而应是沿上下方向拉长了的椭球。
图1
再如太空轨道上自由飞行的航天器也是一个失重的系统，如果这个航天器足够大，其中的引力不均性所造成的效应与上述电梯中的情况是相同的。现在，我们在地球－月球系统中把整个地球当作一个“航天器”，在地球参考系中的观察者看来，地球范围内由于月球引力的不均匀性所造成的效应与图1也是相同的。图1所示的那种“残余的力”正是引起潮汐的那种力，所以叫做引潮力，它把地球上的海水沿地－月连线方向拉长而成为一个椭球。
如取直角坐标系的x 轴沿月－地连线，θ为地表某处一部分质量为m 的海水所在半径与x 轴的夹角，则在地球参考系中，该处质量为m 的海水受惯性力F 惯和月球的引力F 如图2所示，
图2
设a 为月心参考系中观察到的地球加速度，则在地球非惯性系中，有
F 惯＝ma =m
GM 月r 2
；
月地
F cos βx =F cos β=
GM 月m R 2+r 2
;
月地－2Rr 月地cos θ
r 2
2
cos β=
月地＋R 2+r 月地－2Rr 月地cos θ-R 2－R cos θ
2r 月地(
;
R 2+r 2
1=
r 月地月地－2Rr 月地cos θ
2
(R
2
+r 2
月地－2Rr 月地cos θ
12
F 月m (r 月地－R cos θ)
x =
GM (；
R
2
+r 2
2
月地－2Rr 月地cos θ
)
3
月球在x 方向上形成的引潮力为
F 引潮x =F x -F 惯=
GM 月m (r 月地－R cos θ)
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
2
)
3
2
-m
GM 月r 月地
2
=
GM 月m r 月地
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
⎫
⎪⎪⎭
-32
2
)
32
-
GM 月m R cos θ
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
2
)
3
2
-m
32
GM 月r 月地
2
GM 月m ⎛2R cos θ ≈1-2 r 月地r 月地⎝
根据牛顿二项式定理，有
-3
2
GM 月m R cos θ⎛2R cos θ -1-3 r 月地r 月地⎝⎫
⎪⎪⎭
-
-m
GM 月r 月地
2
⎛
1-2R cos θ r 月地⎝
2
⎫⎪⎪⎭
2
3R cos θ15R 2cos 2θ=1+-+ 2
r 月地2r 月地
因为R 远小于r 月地，上面的展开式可以只取前两项，所以
F 引潮x ＝m
GM 月r 月地
2
+
3GM 月m R cos θ
r 月地
3
－
GM 月m R cos θ
r 月地
3
－
3GM 月m R 2cos 2θ
r 月地
4
-m
GM 月
2
r 月地
于是我们可以得到月球引起的x 方向的引潮力的表达式为
F 引潮x ≈
2GM 月m r 月地
3
R cos θ ①
现在来讨论y 方向的引潮力。
F 引潮y =-F sin β=-
GM 月m sin βR +r 月地－2Rr 月地cos θ
2
22
，
⎛(r －R cos θ)
sin β=-cos β= 1-2月地2
R +r －2Rr cos θ
月地月地⎝
2
2
2
2
2
2
⎫
⎪⎪⎭
12
⎛R +r 月地－2Rr 月地cos θ-r 月地-R cos θ+2Rr 月地cos θ= 22 R +r 月地－2Rr 月地cos θ⎝
⎛⎫R 2sin 2θ ⎪≈=22 R +r －2Rr cos θ⎪
月地月地⎝⎭
1
2
⎫⎪ ⎪⎭
12
R sin θ⎛2R cos θr 月地 1-r
月地⎝
⎫
⎪⎪⎭
12
F 引潮y
GM 月mR sin θ⎛2R cos θ
1-≈-3 r 月地r 月地⎝⎫
⎪⎪⎭
-
32
≈-
GM 月m r 月地
3
R sin θ-
3GM 月mR 2sin θcos θ
r 月地
4
，
忽略后面小项，从而得到y 方向引潮力的表达式为
F 引潮y ≈-
GM 月m r 月地
3
R sin θ ②
180︒，即地球距月球最近处和最远处，月亮引起的引潮力大分析①和②式，当θ=0︒或θ＝
小相等，方向相反——分别指向月球和背离月球；当θ=90︒或θ＝270︒时，月亮引起的引潮力大小相等方向相反——都是指向地心。所以月亮引起的地球表面引潮力的分布示意图如图3所示。
这就解释了为什么地球海水靠近月亮的一端和远离月亮的一端都是突起的。那么又怎么说明太阳和月亮相比，月亮是引起潮汐的主要原因呢？由①和②式可得，月亮和太阳引起的引潮力之比等于k =
图3
F 月F 阳
＝
M 阳r 月地M 月(r 阳地)
33
，将文章前面所给的数据
M 月M 阳
=
1
，7
2.7⨯10
r 阳地r 月地
=1. 5⨯105代入解得k=2.18，可见月亮是引起潮汐的主要原因。
潮汐是非常守时的，它几乎和时钟一样准，月亮绕地球一周（在地球上观察，不是月亮的公转周期）是24小时48分钟，潮汐的周期也是24小时48分钟，一昼夜之间大部分海水有一次面向月亮，一次背对月亮，海水自然有两次涨落。. 在天体运动过程中，月亮、地球和太阳形成直角时，由于月球和太阳的引潮力，相互抵消了一部分，海面的涨落差距很小，这就是小潮；当太阳、月亮和地球处在一条直线上时（朔望日），月亮引潮力和太阳的引潮力在一条直线上且方向相同，引潮力就大，这就是大潮。每年春分和秋分的季节，地球离太阳最近，太阳的引潮力最大，再加上月亮的影响，就形成特大潮，闻名于世的钱塘江大潮，就发生在秋分时节，每到涨潮时，钱塘江会掀起巨大波涛，如万马奔腾，其惊险壮观，堪称天下一绝。
月亮和太阳对海洋潮汐影响大小的理论探讨
程丰兵
地球上海水的周期性涨落称为潮汐。人们知道，潮汐主要是月球对海水的万有引力造成的，太阳的引力也有一定的作用，但要较月亮弱。我国自古就有“昼涨称潮，夜涨称汐”的说法。潮汐现象的特点是每昼夜有两次高潮，这对应着下面的事实：在任何时刻，围绕地球的海面总体上有两个突起的部分，大体来说，他们分别出现在地表离月球最近和最远的地方。
如果说潮汐是月球的引力造成的，在离月球最近的地方海水隆起，是可以理解的，为什么离月球最远的地方海水也隆起呢？
如果说潮汐是万有引力现象，那么太阳和月亮相比，谁对海水的引力大，谁就是潮汐
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的主要原因。太阳的质量大约是月球质量的2.7×10倍，而太阳到地球的距离平方大约是月
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球到地球的距离平方的1.5×10倍，根据万有引力定律容易算出，太阳对海水的引力大约比月球对海水的引力大180倍，为什么又说月球对潮汐起主要作用呢？
我们知道，非惯性系中的物体要受到一个“额外”的惯性力F 惯＝－ma ，m 是物体的质量，a 是非惯性系相对于惯性系的加速度。
设想一电梯从摩天大厦的顶层下降，忽然悬挂它的钢索断了，电梯做自由落体运动。在电梯参考系看来，这电梯内的物体受到一个重力mg 和一个惯性力 mg ，电梯内的物体处于完全失重状态。然而，这种引力与惯性力的等价性只在小范围内是“精确的”，如果那个“自由落体的电梯”很大很大，以至其中的引力场不能再近似看作是均匀的，惯性力就不再能把引力完全抵消。如图1a 所示，设想在自由落体电梯内有五个质点，C 在中央，即系统的质心上，A 和B 分别在C 的左右，D 和E 分别在C 的上下。由于引力是遵守平方反比关系且总是指向地心的，所以与中央质点C 所受的引力相比，A 和B 受到的引力稍向中间偏斜，D 因离地心稍远而受力稍小，E 因离地心稍近而受力稍大。因为整个参考系即自由落体的电梯是以质心C 的加速度做变速运动的，所以其中的惯性力(图1b) 虚箭头只把质点C 的合力精确抵消，它在与其他各质点所受的引力叠加时，都不会使各质点的合力为零，而是剩下一点残余力背离C 。如果在中央C 处有个较大水珠的话，它不会是球形，而应是沿上下方向拉长了的椭球。
图1
再如太空轨道上自由飞行的航天器也是一个失重的系统，如果这个航天器足够大，其中的引力不均性所造成的效应与上述电梯中的情况是相同的。现在，我们在地球－月球系统中把整个地球当作一个“航天器”，在地球参考系中的观察者看来，地球范围内由于月球引力的不均匀性所造成的效应与图1也是相同的。图1所示的那种“残余的力”正是引起潮汐的那种力，所以叫做引潮力，它把地球上的海水沿地－月连线方向拉长而成为一个椭球。
如取直角坐标系的x 轴沿月－地连线，θ为地表某处一部分质量为m 的海水所在半径与x 轴的夹角，则在地球参考系中，该处质量为m 的海水受惯性力F 惯和月球的引力F 如图2所示，
图2
设a 为月心参考系中观察到的地球加速度，则在地球非惯性系中，有
F 惯＝ma =m
GM 月r 2
；
月地
F cos βx =F cos β=
GM 月m R 2+r 2
;
月地－2Rr 月地cos θ
r 2
2
cos β=
月地＋R 2+r 月地－2Rr 月地cos θ-R 2－R cos θ
2r 月地(
;
R 2+r 2
1=
r 月地月地－2Rr 月地cos θ
2
(R
2
+r 2
月地－2Rr 月地cos θ
12
F 月m (r 月地－R cos θ)
x =
GM (；
R
2
+r 2
2
月地－2Rr 月地cos θ
)
3
月球在x 方向上形成的引潮力为
F 引潮x =F x -F 惯=
GM 月m (r 月地－R cos θ)
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
2
)
3
2
-m
GM 月r 月地
2
=
GM 月m r 月地
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
⎫
⎪⎪⎭
-32
2
)
32
-
GM 月m R cos θ
(R
2
+r 月地－2Rr 月地cos θ
2
)
3
2
-m
32
GM 月r 月地
2
GM 月m ⎛2R cos θ ≈1-2 r 月地r 月地⎝
根据牛顿二项式定理，有
-3
2
GM 月m R cos θ⎛2R cos θ -1-3 r 月地r 月地⎝⎫
⎪⎪⎭
-
-m
GM 月r 月地
2
⎛
1-2R cos θ r 月地⎝
2
⎫⎪⎪⎭
2
3R cos θ15R 2cos 2θ=1+-+ 2
r 月地2r 月地
因为R 远小于r 月地，上面的展开式可以只取前两项，所以
F 引潮x ＝m
GM 月r 月地
2
+
3GM 月m R cos θ
r 月地
3
－
GM 月m R cos θ
r 月地
3
－
3GM 月m R 2cos 2θ
r 月地
4
-m
GM 月
2
r 月地
于是我们可以得到月球引起的x 方向的引潮力的表达式为
F 引潮x ≈
2GM 月m r 月地
3
R cos θ ①
现在来讨论y 方向的引潮力。
F 引潮y =-F sin β=-
GM 月m sin βR +r 月地－2Rr 月地cos θ
2
22
，
⎛(r －R cos θ)
sin β=-cos β= 1-2月地2
R +r －2Rr cos θ
月地月地⎝
2
2
2
2
2
2
⎫
⎪⎪⎭
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⎛R +r 月地－2Rr 月地cos θ-r 月地-R cos θ+2Rr 月地cos θ= 22 R +r 月地－2Rr 月地cos θ⎝
⎛⎫R 2sin 2θ ⎪≈=22 R +r －2Rr cos θ⎪
月地月地⎝⎭
1
2
⎫⎪ ⎪⎭
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R sin θ⎛2R cos θr 月地 1-r
月地⎝
⎫
⎪⎪⎭
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F 引潮y
GM 月mR sin θ⎛2R cos θ
1-≈-3 r 月地r 月地⎝⎫
⎪⎪⎭
-
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≈-
GM 月m r 月地
3
R sin θ-
3GM 月mR 2sin θcos θ
r 月地
4
，
忽略后面小项，从而得到y 方向引潮力的表达式为
F 引潮y ≈-
GM 月m r 月地
3
R sin θ ②
180︒，即地球距月球最近处和最远处，月亮引起的引潮力大分析①和②式，当θ=0︒或θ＝
小相等，方向相反——分别指向月球和背离月球；当θ=90︒或θ＝270︒时，月亮引起的引潮力大小相等方向相反——都是指向地心。所以月亮引起的地球表面引潮力的分布示意图如图3所示。
这就解释了为什么地球海水靠近月亮的一端和远离月亮的一端都是突起的。那么又怎么说明太阳和月亮相比，月亮是引起潮汐的主要原因呢？由①和②式可得，月亮和太阳引起的引潮力之比等于k =
图3
F 月F 阳
＝
M 阳r 月地M 月(r 阳地)
33
，将文章前面所给的数据
M 月M 阳
=
1
，7
2.7⨯10
r 阳地r 月地
=1. 5⨯105代入解得k=2.18，可见月亮是引起潮汐的主要原因。
潮汐是非常守时的，它几乎和时钟一样准，月亮绕地球一周（在地球上观察，不是月亮的公转周期）是24小时48分钟，潮汐的周期也是24小时48分钟，一昼夜之间大部分海水有一次面向月亮，一次背对月亮，海水自然有两次涨落。. 在天体运动过程中，月亮、地球和太阳形成直角时，由于月球和太阳的引潮力，相互抵消了一部分，海面的涨落差距很小，这就是小潮；当太阳、月亮和地球处在一条直线上时（朔望日），月亮引潮力和太阳的引潮力在一条直线上且方向相同，引潮力就大，这就是大潮。每年春分和秋分的季节，地球离太阳最近，太阳的引潮力最大，再加上月亮的影响，就形成特大潮，闻名于世的钱塘江大潮，就发生在秋分时节，每到涨潮时，钱塘江会掀起巨大波涛，如万马奔腾，其惊险壮观，堪称天下一绝。