数
苑纵横
等邻角四边形的几个有趣性质
）辽宁省大连三洋压缩机有限公司（１１６０３３ 吴远宏
］介绍了等对角四边形的几个有趣性１ 文［
质，受此文启发，本文给出等邻角四边形的几个有趣性质，以飨读者．
首先给出定义：有一组相邻的内角相等，另一组相邻的内角不等的四边形，叫做等邻角四边形
．
性质１ 如
，图１在等邻角四边形
平分线交于点Ｐ，以Ａ、Ｄ
为顶点的外角平分线交于点Ｑ，则ＰＱ垂直平分ＢＣ．证明 延长ＢＡ、ＣＤ交于点Ｅ，连结ＥＰ、ＥＱ，∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∴ ＥＢＣ是等腰三角形，
图３∵ ＡＰ平分∠ＢＡＤ，
，显然Ｐ点是△ＤＰ平分∠ＡＤＣＥＡＤ的一个旁心，
同理类似地可证∴ ＥＰ是∠ＢＥＣ的平分线，
图１
ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝
ＣＢ，ＡＤ的延长线∠Ｄ
交ＢＣ的延长线于点
则Ｅ，＝．ＣＤＤＥ
证明 过Ａ点作ＡＦ∥ＣＤ交ＢＣ于点，显然有 Ｆ，＝ＦＢ＝∠ＤＣＢ，∠Ａ
ＣＤＤＥ
∵ ∠ＡＢＣ＝－∠ＤＣＢ，
∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＢ，
Ｑ点是△ＥＡＤ的内心，
∴ ＥＱ也是∠ＢＥＣ的平分线，
由等腰三角形“三线∴ ＥＰ与ＥＱ重合，合一”可知ＰＱ垂直平分ＢＣ．
，性质４ 如图４
在等邻角四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ、ＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ为∠Ａ
顶点的内角平分线交于点以Ａ、Ｐ，Ｄ为顶点的外角平分线交于点Ｑ，ＰＱ交ＡＤ于
∴ ＡＦ＝ＡＢ，故 ＝．
ＣＤＤＥ
，性质２ 如图２
在等邻角四边形ＡＢＣＤ
中，对ＢＣ＝∠ＤＣＢ，∠Ａ角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｐ，
·则＝．ＤＡＰＣＣＣ
图２
证明 过Ｂ点作Ｂ过ＣＥ⊥ＡＣ于Ｅ点，点作Ｃ易证ＲＦ⊥ＢＤ于Ｆ点，ｔＥＢ∽Ｒｔ△Ｐ
２２
点Ｅ，则＝２２．ＥＣＢＤ－ＣＤ证明 延长Ｑ分别过Ａ、Ｐ交ＢＣ于点Ｆ，
作ＤＨ⊥ＢＤ作ＡＧ⊥ＢＣ于Ｇ点，Ｃ于Ｈ点，
由本文性质３知Ｐ即ＥＱ垂直平分ＢＣ，Ｆ⊥
显然ＡＢＣ，ＢＦ＝ＦＣ，Ｇ∥ＥＦ∥ＤＨ，
图４
ＥＰＢ于是 ＢＦＣ，＝△Ｐ
ＣＦＰＣ
∵
①
Ｓ△ＡＢＣ
Ｓ△ＤＢＣ
１Ｂ·ＢＣ·ｓｉｎＢＣ∠Ａ２＝＝
１··ＤＢＣｓｉｎＣＢ∠Ｄ２
Ｃ·ＢＥ，而∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ·ＣＦ２
·∴ ＝
ＣＤＢＤＣＦ
·把①代入②立得 ＝．ＤＡＰＣＣＣ
②
于是 ＝①
ＦＨＥＤ２２２２２
，∵ ＡＣ－ＣＧ＝ＡＧ＝ＡＢ－ＢＧ
２２２２
∴ ＡＣ－ＡＢ＝ＣＧ－ＢＧ＝（ＣＧ＋（ＢＧ）ＣＧ－ＢＧ）＝ＢＣ（ＧＦ＋ＦＣ－ＢＧ）＝ＢＣ（ＧＦ＋ＢＦ－ＢＧ）＝２ＧＦ·ＢＣ②
２２
同理ＢＤ－ＣＤ＝２ＦＨ·ＢＣ③
２２
由②÷③，得 ＝④２ＦＨＢＤ－ＣＤ２
２２
再由①、＝．④，得 ＥＤＢＤ２－ＣＤ２
注 若等邻角四边形为凹四边形时，以上性质仍成立，证明类似．
参考文献［］吴远宏．等对角四边形的几个有趣性质，中１
，（学生数学，月下）２０１１５．
，性质３在等邻角四边形ＡＢ－ 如图３
以Ａ、ＣＤ中，ＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ为顶点的内
角∠Ａ
ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ 网址：ｊ
（责审 周春荔）
电子信箱：ｚｘｓｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ＠ｃｊ
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苑纵横
等邻角四边形的几个有趣性质
）辽宁省大连三洋压缩机有限公司（１１６０３３ 吴远宏
］介绍了等对角四边形的几个有趣性１ 文［
质，受此文启发，本文给出等邻角四边形的几个有趣性质，以飨读者．
首先给出定义：有一组相邻的内角相等，另一组相邻的内角不等的四边形，叫做等邻角四边形
．
性质１ 如
，图１在等邻角四边形
平分线交于点Ｐ，以Ａ、Ｄ
为顶点的外角平分线交于点Ｑ，则ＰＱ垂直平分ＢＣ．证明 延长ＢＡ、ＣＤ交于点Ｅ，连结ＥＰ、ＥＱ，∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，∴ ＥＢＣ是等腰三角形，
图３∵ ＡＰ平分∠ＢＡＤ，
，显然Ｐ点是△ＤＰ平分∠ＡＤＣＥＡＤ的一个旁心，
同理类似地可证∴ ＥＰ是∠ＢＥＣ的平分线，
图１
ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝
ＣＢ，ＡＤ的延长线∠Ｄ
交ＢＣ的延长线于点
则Ｅ，＝．ＣＤＤＥ
证明 过Ａ点作ＡＦ∥ＣＤ交ＢＣ于点，显然有 Ｆ，＝ＦＢ＝∠ＤＣＢ，∠Ａ
ＣＤＤＥ
∵ ∠ＡＢＣ＝－∠ＤＣＢ，
∴ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＦＢ，
Ｑ点是△ＥＡＤ的内心，
∴ ＥＱ也是∠ＢＥＣ的平分线，
由等腰三角形“三线∴ ＥＰ与ＥＱ重合，合一”可知ＰＱ垂直平分ＢＣ．
，性质４ 如图４
在等邻角四边形ＡＢＣＤ中，以Ａ、ＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ为∠Ａ
顶点的内角平分线交于点以Ａ、Ｐ，Ｄ为顶点的外角平分线交于点Ｑ，ＰＱ交ＡＤ于
∴ ＡＦ＝ＡＢ，故 ＝．
ＣＤＤＥ
，性质２ 如图２
在等邻角四边形ＡＢＣＤ
中，对ＢＣ＝∠ＤＣＢ，∠Ａ角线ＡＣ、ＢＤ交于点Ｐ，
·则＝．ＤＡＰＣＣＣ
图２
证明 过Ｂ点作Ｂ过ＣＥ⊥ＡＣ于Ｅ点，点作Ｃ易证ＲＦ⊥ＢＤ于Ｆ点，ｔＥＢ∽Ｒｔ△Ｐ
２２
点Ｅ，则＝２２．ＥＣＢＤ－ＣＤ证明 延长Ｑ分别过Ａ、Ｐ交ＢＣ于点Ｆ，
作ＤＨ⊥ＢＤ作ＡＧ⊥ＢＣ于Ｇ点，Ｃ于Ｈ点，
由本文性质３知Ｐ即ＥＱ垂直平分ＢＣ，Ｆ⊥
显然ＡＢＣ，ＢＦ＝ＦＣ，Ｇ∥ＥＦ∥ＤＨ，
图４
ＥＰＢ于是 ＢＦＣ，＝△Ｐ
ＣＦＰＣ
∵
①
Ｓ△ＡＢＣ
Ｓ△ＤＢＣ
１Ｂ·ＢＣ·ｓｉｎＢＣ∠Ａ２＝＝
１··ＤＢＣｓｉｎＣＢ∠Ｄ２
Ｃ·ＢＥ，而∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ·ＣＦ２
·∴ ＝
ＣＤＢＤＣＦ
·把①代入②立得 ＝．ＤＡＰＣＣＣ
②
于是 ＝①
ＦＨＥＤ２２２２２
，∵ ＡＣ－ＣＧ＝ＡＧ＝ＡＢ－ＢＧ
２２２２
∴ ＡＣ－ＡＢ＝ＣＧ－ＢＧ＝（ＣＧ＋（ＢＧ）ＣＧ－ＢＧ）＝ＢＣ（ＧＦ＋ＦＣ－ＢＧ）＝ＢＣ（ＧＦ＋ＢＦ－ＢＧ）＝２ＧＦ·ＢＣ②
２２
同理ＢＤ－ＣＤ＝２ＦＨ·ＢＣ③
２２
由②÷③，得 ＝④２ＦＨＢＤ－ＣＤ２
２２
再由①、＝．④，得 ＥＤＢＤ２－ＣＤ２
注 若等邻角四边形为凹四边形时，以上性质仍成立，证明类似．
参考文献［］吴远宏．等对角四边形的几个有趣性质，中１
，（学生数学，月下）２０１１５．
，性质３在等邻角四边形ＡＢ－ 如图３
以Ａ、ＣＤ中，ＢＣ＝∠ＤＣＢ，Ｄ为顶点的内
角∠Ａ
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（责审 周春荔）
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