经济数学基础的最后一道题一定在下面11题中出现。
1．投产某产品的固定成本为36(万元) ，且边际成本为C '(x ) =2x + 40(万元/百台) . 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.
1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
662 ∆C =(2x +40) d x =(x +40x ) = 100（万元） 44⎰
C '(x ) d x +c ⎰又 C (x ) =0x 0
令 x '36C (x ) =1-2=0， 解得x =6. x 36x 2+40x +36= =x +40+ x x
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
2．解 因为边际利润
L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) =12-0.02x –2 = 10-0.02x
令L '(x ) = 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
∆L =⎰(10-0. 02x ) d x =(10x -0. 01x ) [1**********]00 =500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台) ，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x
令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L (x ) 的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x ) 的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又 L =⎰L '(x ) d x =⎰(100-10x ) d x =(100x -5x 2) [1**********]0=-20
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为C '(x )
求最低平均成本.
4．解：因为总成本函数为
=4x -3(万元/百台) ，x 为产量(百台) ，固定成本为18(万元) ，C (x ) =⎰(4x -3) d x =2x 2-3x +c
2当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=2x -3x +18
C (x ) 18=2x -3+ 又平均成本函数为 A (x ) =x x
18令 A '(x ) =2-2=0， 解得x = 3 (百台) x
该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
18=9 (万元/百台) 3
5．设生产某产品的总成本函数为 C (x ) =3+x (万元) ，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为R '(x ) =15-2x （万元/百吨），求： A (3) =2⨯3-3+
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
5．解：(1) 因为边际成本为
令L '(x ) C '(x ) =1，边际利润L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = 14 – 2x =0，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x ) 的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
88
7∆L =⎰(14-2x ) d x =(14x -x 2) 7 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
6．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：C (x )
求：（1）当x =100+0. 25x 2+6x （万元）, =10时的总成本、平均成本和边际成本；
（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C (x ) =100+0. 25x 2+6x
100C (x ) =+0. 25x +6，C '(x ) =0. 5x +6 x
2 所以，C (10) =100+0. 25⨯10+6⨯10=185
100+0. 25⨯10+6=18. 5， C (10) =10
C '(10) =0. 5⨯10+6=11
'100 （2）令 C (x ) =-2+0. 25=0，得x =20（x =-20舍去） x
因为x =20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x =20时，平均成本最小.
7．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q =1000-10p （q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数C (q ) = 60q +2000．
1q ， 10
11q ) q =100q -q 2． 所以 收入函数R (q ) =p ⨯q =(100-1010
12100q -q -(60q +2000) （2）因为利润函数L (q ) =R (q ) -C (q ) =10
12q -2000 = 40q -10
12q -2000) '=40- 0.2q 且 L '(q ) =(40q -10
令L '(q ) = 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L (q ) 在其定义域内的唯一驻点． 因为 q =1000-10p ，即p =100-
8．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数q =2000-4p ，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？
解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )
=250000-400p
R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2
利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令
L '(p ) =2400 – 8p = 0
得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.
（2）最大利润 L (300) =2400⨯300-4⨯3002-250000=11000（元）．
9．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？
=qp =q (14-0. 01q ) =14q -0. 01q 2
利润函数L =R -C =14q -0. 01q 2-20-4q -0. 01q 2=10q -20-0. 02q 2
则L '=10-0. 04q ，令L '=10-0. 04q =0，解出唯一驻点q =250. 解 （1）由已知R
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
（2）最大利润为
L (250) =10⨯250-20-0. 02⨯2502=2500-20-125=0123（元）0
10．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C (q ) =0. 5q 2+36q +9800（元）. 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
解 因为 C (q ) =C (q ) 9800=0. 5q +36+ （q >0） q q
98009800) '=0. 5-2 q q (q ) =(0. 5q +36+
9800 令C '(q ) =0，即0. 5-=0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 2
q 1=140是(q ) 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q 1=140是平均成本函数C (q ) 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 9800=176 （元/件） 140
q 2
11．已知某厂生产q 件产品的成本为C (q ) =250+20q +（万元）．问：要使平均成本最少，10 C (140) =0. 5⨯140+36+
应生产多少件产品？
解 因为 (q ) =C (q ) 250q = +20+q q 10
250q 2501+20+) '=-2+ q 10q 10
2501 令C '(q ) =0，即-2+=0，得q 1=50，q 2=-50（舍去）， q 10 C '(q ) =(
q 1=50是C (q ) 在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1=50是C (q ) 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．
经济数学基础的最后一道题一定在下面11题中出现。
1．投产某产品的固定成本为36(万元) ，且边际成本为C '(x ) =2x + 40(万元/百台) . 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.
1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
662 ∆C =(2x +40) d x =(x +40x ) = 100（万元） 44⎰
C '(x ) d x +c ⎰又 C (x ) =0x 0
令 x '36C (x ) =1-2=0， 解得x =6. x 36x 2+40x +36= =x +40+ x x
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
2．解 因为边际利润
L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) =12-0.02x –2 = 10-0.02x
令L '(x ) = 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为
∆L =⎰(10-0. 02x ) d x =(10x -0. 01x ) [1**********]00 =500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台) ，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x
令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L (x ) 的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x ) 的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又 L =⎰L '(x ) d x =⎰(100-10x ) d x =(100x -5x 2) [1**********]0=-20
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为C '(x )
求最低平均成本.
4．解：因为总成本函数为
=4x -3(万元/百台) ，x 为产量(百台) ，固定成本为18(万元) ，C (x ) =⎰(4x -3) d x =2x 2-3x +c
2当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=2x -3x +18
C (x ) 18=2x -3+ 又平均成本函数为 A (x ) =x x
18令 A '(x ) =2-2=0， 解得x = 3 (百台) x
该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
18=9 (万元/百台) 3
5．设生产某产品的总成本函数为 C (x ) =3+x (万元) ，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为R '(x ) =15-2x （万元/百吨），求： A (3) =2⨯3-3+
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
5．解：(1) 因为边际成本为
令L '(x ) C '(x ) =1，边际利润L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = 14 – 2x =0，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x ) 的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为
88
7∆L =⎰(14-2x ) d x =(14x -x 2) 7 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.
6．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：C (x )
求：（1）当x =100+0. 25x 2+6x （万元）, =10时的总成本、平均成本和边际成本；
（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C (x ) =100+0. 25x 2+6x
100C (x ) =+0. 25x +6，C '(x ) =0. 5x +6 x
2 所以，C (10) =100+0. 25⨯10+6⨯10=185
100+0. 25⨯10+6=18. 5， C (10) =10
C '(10) =0. 5⨯10+6=11
'100 （2）令 C (x ) =-2+0. 25=0，得x =20（x =-20舍去） x
因为x =20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x =20时，平均成本最小.
7．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q =1000-10p （q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数C (q ) = 60q +2000．
1q ， 10
11q ) q =100q -q 2． 所以 收入函数R (q ) =p ⨯q =(100-1010
12100q -q -(60q +2000) （2）因为利润函数L (q ) =R (q ) -C (q ) =10
12q -2000 = 40q -10
12q -2000) '=40- 0.2q 且 L '(q ) =(40q -10
令L '(q ) = 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L (q ) 在其定义域内的唯一驻点． 因为 q =1000-10p ，即p =100-
8．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数q =2000-4p ，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？
解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )
=250000-400p
R (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2
利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令
L '(p ) =2400 – 8p = 0
得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.
（2）最大利润 L (300) =2400⨯300-4⨯3002-250000=11000（元）．
9．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？
=qp =q (14-0. 01q ) =14q -0. 01q 2
利润函数L =R -C =14q -0. 01q 2-20-4q -0. 01q 2=10q -20-0. 02q 2
则L '=10-0. 04q ，令L '=10-0. 04q =0，解出唯一驻点q =250. 解 （1）由已知R
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，
（2）最大利润为
L (250) =10⨯250-20-0. 02⨯2502=2500-20-125=0123（元）0
10．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C (q ) =0. 5q 2+36q +9800（元）. 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
解 因为 C (q ) =C (q ) 9800=0. 5q +36+ （q >0） q q
98009800) '=0. 5-2 q q (q ) =(0. 5q +36+
9800 令C '(q ) =0，即0. 5-=0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 2
q 1=140是(q ) 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q 1=140是平均成本函数C (q ) 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 9800=176 （元/件） 140
q 2
11．已知某厂生产q 件产品的成本为C (q ) =250+20q +（万元）．问：要使平均成本最少，10 C (140) =0. 5⨯140+36+
应生产多少件产品？
解 因为 (q ) =C (q ) 250q = +20+q q 10
250q 2501+20+) '=-2+ q 10q 10
2501 令C '(q ) =0，即-2+=0，得q 1=50，q 2=-50（舍去）， q 10 C '(q ) =(
q 1=50是C (q ) 在其定义域内的唯一驻点．
所以，q 1=50是C (q ) 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．