圆心及半径
1、(x-1)2+（y-3)2= -5
2、(x-1)2+（y-3)2=k
变式：下列方程圆的方程吗？
例2：试写出的圆心在C(1,3)，半径是3圆的方程
变1：求圆心仍在（1，3），且和直线3x-4y-7=0
相切的圆的方程
变2：直线x+y=4和x-y=-2均过圆心，半径为3的圆的
方程是什么？
变3：求圆心在（－2，3）又过点（1，7）的圆的方程
例3：判断下列点与圆的位置关系
判断点P(-4,1),Q(0,0),M(1,2)与圆(x-3) 2 + (y＋4) 2=25
位置关系
变：r 为何值时，直线L ：y=k(x-1)+3与
圆(x-2) 2 + (y＋1) 2=r2恒有交点
例4、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m ， 拱高为4m 。求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x 轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心
坐标是（0，b ）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P （0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
解得：b= ****** r2=******
所以圆的方程是： x2+(y+******)2=******
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m 建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子
的长度。
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船
能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
x2+(y+******)2=******
令x ＝2或－2即可
Y ＝******
变三：假设集装箱的最大宽度为a 米，那么船要通过该桥，船限高为多少米？
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2=r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2=r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；
对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆
的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
课堂小结：
作业：课本P102 T1，T3
思考题：已知：一个圆的直径端点是
、
证明：圆的方程是
教学目标 知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、
* 4.1.1《圆的标准方程》 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直
线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 复习引
入 A M r x O y 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本
要素是圆心和半径． x O y A (a,b) M r (x, y) 引入新课 如图，在直角坐标系中，圆心（点）
A 的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距
离． 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 符合上述
条件的圆的集合： 圆的方程 x O y A (a,b) M r (x, y) 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)
之间的距离能用什么公式表示？ 圆的方程 根据两点间距离公式： 则点M 、A 间的距离为：
即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的
标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若点M(x,
y) 的坐标适合方程，这就说明点 M 与圆心的距离是 r ，即点M 在圆心为A (a, b)，半径为
r 的圆上． 把这个方程称为圆心为A(a, b) ，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标
准方程（standard equation of circle）. 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x
＝0，y ＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是
什么？ 得： 整理得： 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的
圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆
上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点
的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这
个圆上． 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断
点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心
是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 典型例题 A x y o M1 M2 怎
样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系
A x y o M1 M2 M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带
入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆
上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆
的位置关系 A x y o M1 M2 M3 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ． 例2 的三个顶点的坐标分别
A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) ，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的
三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解：设所求圆的方程是
（1） 因为A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于
是 典型例题 所以， 的外接圆的方
程 ． 典型例题 解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解：
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) ，求它的外接圆的方
程． 例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2) ，且圆心C 在直线上l ：
x － y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方程． 分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心
的位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A(1, 1) 和B(2, －2) ，由于圆心C 与A, B 两点的
距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上．又圆心C 在直线l 上，因此圆心C
是直线l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|． 解：因为A(1, 1) 和B(2, －2) ，所
以线段AB 的中点D 的坐标 直线AB 的斜率: 典型例题 因此线段AB 的垂直平分线 的
方程是 即 圆心C 的坐标是方程组 的解． 典型例题 例3 已知圆心为C 的圆
经过点A(1, 1)和B(2, －2) ，且圆心C 在直线上l ：x － y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方
程． 解： * 【数学】4.1.1《圆的标准方程》课件（新人教A 版必修2）
圆心及半径
1、(x-1)2+（y-3)2= -5
2、(x-1)2+（y-3)2=k
变式：下列方程圆的方程吗？
例2：试写出的圆心在C(1,3)，半径是3圆的方程
变1：求圆心仍在（1，3），且和直线3x-4y-7=0
相切的圆的方程
变2：直线x+y=4和x-y=-2均过圆心，半径为3的圆的
方程是什么？
变3：求圆心在（－2，3）又过点（1，7）的圆的方程
例3：判断下列点与圆的位置关系
判断点P(-4,1),Q(0,0),M(1,2)与圆(x-3) 2 + (y＋4) 2=25
位置关系
变：r 为何值时，直线L ：y=k(x-1)+3与
圆(x-2) 2 + (y＋1) 2=r2恒有交点
例4、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m ， 拱高为4m 。求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x 轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心
坐标是（0，b ）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P （0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
解得：b= ****** r2=******
所以圆的方程是： x2+(y+******)2=******
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m 建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子
的长度。
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船
能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
x2+(y+******)2=******
令x ＝2或－2即可
Y ＝******
变三：假设集装箱的最大宽度为a 米，那么船要通过该桥，船限高为多少米？
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2=r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：
x2 + y2=r2
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；
对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆
的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。
课堂小结：
作业：课本P102 T1，T3
思考题：已知：一个圆的直径端点是
、
证明：圆的方程是
教学目标 知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、
* 4.1.1《圆的标准方程》 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直
线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 复习引
入 A M r x O y 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本
要素是圆心和半径． x O y A (a,b) M r (x, y) 引入新课 如图，在直角坐标系中，圆心（点）
A 的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距
离． 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？ 符合上述
条件的圆的集合： 圆的方程 x O y A (a,b) M r (x, y) 圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)
之间的距离能用什么公式表示？ 圆的方程 根据两点间距离公式： 则点M 、A 间的距离为：
即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 圆的
标准方程 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若点M(x,
y) 的坐标适合方程，这就说明点 M 与圆心的距离是 r ，即点M 在圆心为A (a, b)，半径为
r 的圆上． 把这个方程称为圆心为A(a, b) ，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标
准方程（standard equation of circle）. 特殊位置的圆方程 因为圆心是原点O(0, 0)，将x
＝0，y ＝0和半径 r 带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是
什么？ 得： 整理得： 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的
圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆
上． 解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点
的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上； 典型例题 把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这
个圆上． 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断
点 ， 是否在这个圆上． 解：圆心
是 ，半径长等于5的圆的标准方程是： 典型例题 A x y o M1 M2 怎
样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆的位置关系
A x y o M1 M2 M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带
入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆
上． 怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？ 点与圆
的位置关系 A x y o M1 M2 M3 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ． 例2 的三个顶点的坐标分别
A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) ，求它的外接圆的方程． 分析：不在同一条直线上的
三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解：设所求圆的方程是
（1） 因为A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于
是 典型例题 所以， 的外接圆的方
程 ． 典型例题 解此方程组，得： 分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆． 解：
例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3) ，C(2, －8) ，求它的外接圆的方
程． 例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2) ，且圆心C 在直线上l ：
x － y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方程． 分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心
的位置与半径大小．圆心为C 的圆经过点A(1, 1) 和B(2, －2) ，由于圆心C 与A, B 两点的
距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上．又圆心C 在直线l 上，因此圆心C
是直线l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|． 解：因为A(1, 1) 和B(2, －2) ，所
以线段AB 的中点D 的坐标 直线AB 的斜率: 典型例题 因此线段AB 的垂直平分线 的
方程是 即 圆心C 的坐标是方程组 的解． 典型例题 例3 已知圆心为C 的圆
经过点A(1, 1)和B(2, －2) ，且圆心C 在直线上l ：x － y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方
程． 解： * 【数学】4.1.1《圆的标准方程》课件（新人教A 版必修2）