标准差和标准偏差
1）首先给出计算公式
标准差：σ=1）
标准偏差：s=2）
这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？
2）公式由来
标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。
那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 1n
样本均值：=∑Xi ni=1
1n
样本方差：s=∑(Xi-)2 ni=12n
这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差σ2。
对于均值μ，我们容易通过期望获得：
E()=μ
∑(X
但是对于方差，我们知道i=1ni-)22是服从卡分分布χn-1的（这一点请查阅卡分分σ2
布的定义）。因此有下面的公式：
E(s)=2
nσ2nE(2nsn
σ2)=σ2n(n-1)
这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，是μ的无偏估计，而sn则不是σ2的无偏估计。但是我
22们可以通过对样本方差进行重新构造，从而是sn就是σ2的无偏估计。我们定义：
1n
s=(Xi-)2 ∑n-1i=12
这样我们重新来求解方差的期望：
E(s)=
2nσ2n-1E(2(n-1)snσ2)=σ2n-1(n-1)=σ2 这样一来，s2就是σ2的无偏估计，这也就是这个公式的由来。
3）这两个公式的应用。
在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。
看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。
4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。
标准差和标准偏差
1）首先给出计算公式
标准差：σ=1）
标准偏差：s=2）
这下大家就困惑了，这两个公式分别表示什么意义？他们分别在什么情况下用？这两个公式是怎么来的？
2）公式由来
标准差又叫均方差、标准方差，这个大家都不陌生，它是各数据偏离平均数的距离的平均数，是距离均差平方和平均后的方根，用σ表示。。说白了就是表示数据分本离散度的一个值。计算公式也很好理解，从一开始接触我们用的看的都是这个公式。
那么第二个公式，怎么来的呢？其实标准偏差从样本估计中来的。比如我们有一批数据，共10000个点，他们服从正太分布，很容易计算出它的均值和标准差。在这里我们叫做样本均值和样本标准差。表示如下： 1n
样本均值：=∑Xi ni=1
1n
样本方差：s=∑(Xi-)2 ni=12n
这两个公式就是大家常用的公式。那么现在我们认为，我们想用采集到的这10000个样本估计数据的真实分布，想要求出其均值μ和方差σ2。
对于均值μ，我们容易通过期望获得：
E()=μ
∑(X
但是对于方差，我们知道i=1ni-)22是服从卡分分布χn-1的（这一点请查阅卡分分σ2
布的定义）。因此有下面的公式：
E(s)=2
nσ2nE(2nsn
σ2)=σ2n(n-1)
这个公式的第一个等号后面是利用期望的性质，试图构造卡分分布来求解。第二个等号后面是利用卡分分布的均值计算出来的。请自行查阅卡方分布的定义和性质。 这么一来，我们就能看出，是μ的无偏估计，而sn则不是σ2的无偏估计。但是我
22们可以通过对样本方差进行重新构造，从而是sn就是σ2的无偏估计。我们定义：
1n
s=(Xi-)2 ∑n-1i=12
这样我们重新来求解方差的期望：
E(s)=
2nσ2n-1E(2(n-1)snσ2)=σ2n-1(n-1)=σ2 这样一来，s2就是σ2的无偏估计，这也就是这个公式的由来。
3）这两个公式的应用。
在实际中，公式（2）用的更多。因为当样本容量比较小的时候，公式（1）会过小的估计实际标准差；如果样本容量较大，公式（1）和公式（2）很接近。这时候公式（1）叫做渐近无偏估计，当然还是比不上公式（2）的无偏估计喽。
看了上面这段话，你可能还不知道该用哪个。其实是这样的：如果我们想求一批数据的标准差，那么自然就用公式（1）。如果我们是利用现在的样本估计真实的分布，那么就用公式（2）。
4）在EXCEL中，方差是VAR(),标准偏差是STDEV()，函数里解释是基于样本，分母是除的N-1，其实就是公式（2）。还有个VARP()和STDEVP(),基于样本总体，分母是N，也就是说你关注的就是这批数据。