向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：a b =|a ||b |cos θ （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos θ=

a b

|a ||b |

（3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的λ∈R ，使b =λa 。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) 平行⇔x 1y 2-x 2y 1=0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a ⊥b ⇔a b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 （6）、向量不等式：|a |+|b |≥|a +b |，|a ||b |≥|a b |

（7）、向量的坐标运算：向量a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a b =x 1x 2+y 1y 2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知α、β是任意角，求证：cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β。 证明：在单位圆上，以x 轴为始边作角α，终边交单位圆于A ，以x 轴为始边作角β，终边交单位圆于B ，有OA =(cosα,sin α), OB =(cosβ,sin β) ，所以有：

OA OB =cos αcos β+sin αsin β

又OA OB =|OA ||OB |cos ∠AOB =cos(α-β) 即cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos(α-β) 或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式

材料二：m , n , a , b , c

,

d

≤证明：设h =

k

=

∴|h |=k |=

由数量积的坐标运算可得：h k

=

又因为|h k |≤|h ||k |，

成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

a b =x 1x 2+y 1y 2，|a ||b |≥|a b |，构造向量解之。

3、利用向量求值

3

，求锐角α, β。 2

3

解析：由条件得(1-cos β)cos α+sin αsin β=-cos β

2

设m =(1-cos β,sin β) ，n =(cosα,sin α) ，

3则m n =

-

cos β，|m |==|n |=1，

2

312

由m n ≤|

m ||n |，得-cos β≤(cosβ-) ≤0，

22

1ππ

则cos β=，即β=，同理α=（因为α、β为锐角）

233

材料三：已知cos α+cos β-cos(α+β) =

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)，C (cosα,sin α) ，α∈(（１）、若|AC |=|BC |，求角α的值；

π3π

2, 2

) 。

2sin 2α+sin 2α

（２）、若AC BC =-1，求的值。

1+tan α

解析：（１）AC =(cosα-3,sin α) ，

BC =(cosα

,sin α-3)

∴|AC |

===π3π5π

) ，∴α=由|AC |=|BC |得sin α=cos α，又α∈(, 224

（２）、由AC BC =-1得(cosα-3)cos α+sin α(sinα-3) =-1

2

∴sin α+cos α=……………………………………（１）

3

2sin 2α+sin 2α2sin 2α+2sin αcos α

=2sin αcos α 又=

sin 1+tan α1+

cos α

4

由（１）式两边平方得1

+2sin αcos α

=

9

552sin 2α+

sin 2α

=- ∴2sin αcos α=-，∴

991

+tan α

|BC |=

4、利用向量求函数值域 =5，求x +y 的最小值。

解析：构造向量

m =，n =(1,1) 由m n ≤

|m

||n |≤

27

≥∴

x +y ≥

227

=x +y 有最小值

2

变式：设x 的最小值。

解析：

=

=

故可设a =

(x -1,1) ，b =(5-x ,3)

∴|a +b |=

=|a |+|b |≥

x -11

=，即x =2时等号成立。 当

5-x 3

所以当x =2时, 取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M (-2,0) ，作直线l 交双曲线x 2-y 2=1于A 、B 不同两点，已知

OP =OA +OB 。

（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使|OP |=|AB |? 若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。 解析：（1）、设直线l 的方程为y =k (x +2) ， 代入x 2-y 2=1得(1-k 2) x 2-4k 2x -4k 2-1=0，

4k 24k 2+1当k ≠±1时，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=，x 1x 2=2 2

1-k k -1

k 4k 24k

y 1+y 2=k (x 1+2) +k (x 2+2) =+4k = 22

1-k 1-k

设P (x , y ) ，由OP =OA +OB ，则

4k 24k

(x , y ) =(x 1+x 2, y 1+y 2) =(, )

1-k 21-k 2

⎧4k 2x =⎪x ⎪

∴⎨1-k ，解之得=k (k ≠0)

y ⎪y =4k

⎪1-k 2⎩

4k x 22

再将=k 代入y =得(x +2) -y =4……………………（1） 2

1

-k y

当k =0时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知P (-4,0) 满足（1）式，故所求轨迹方程为(x +

2) 2-y 2=4，其轨

迹为双曲线；

当k =±

1时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP |=|AB |，所以平行四边形OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是

OA OB =0，即x 1x 2+y 1y 2=0。

当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(-2, ，不满足上式。

(k 2+1)(4k 2+1) 2k 24k 22

-+4k =0 又x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+2)(x 2+) =22

k -1k -1

k 2+1

=0，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。 化简得：2

k -1

2

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x 2y 2

变式：已知双曲线Ｃ：2-2=1(a >0, b >0) ，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x 轴

a b

正半轴上，且满足|OA |、|OB |、|OF |成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l ，垂足为Ｐ，如图所示。 （１） 求证：PA OP =PA FP ；

（２） 若l 与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e 的范围。

a ⎧y =-(x -c ) ⎪a a 2ab ⎪b

解析：（１）直线l 的方程为：y =-(x -c ) ，由⎨解得P (, )

c c c ⎪y =b x

⎪a ⎩

|OA |、|OB |、|OF |成等比数列，

a 2

∴A (,0) ，故PA ⊥x 轴，如图所示。

c

从而PA OP -PA FP =PA OF =0 ∴PA OP =PA FP

a ⎧

a 4⎪y =-(x -c ) 22

(2)、由⎨∴得b x -2(x -c ) 2=a 2b 2， b

b ⎪b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2

⎩

a 422a 4a 42

即(b -2) x +2cx -2(x -c ) =

b b b

a 4c 2

-(2+a 2b 2) x 1x 2=a 4，即b 2>a 2，c 2-a 2>

a 2⇒e 2>2⇒e > 4

a b 2-2

b

2

点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。 随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u =(1, k )或u =(m , n )，要会求出直线的斜率； （2）给出OA +OB 与AB 相交, 等于已知+过AB 的中点;

（3）给出+=0, 等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出AP +AQ =λBP +BQ , 等于已知P , Q 与AB 的中点三点共线;

)

（5） 给出以下情形之一：①

//；②存在实数λ, 使=λAC ；③若存在实数

α, β, 且α+β=1, 使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

OA +λOB

，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即AP =λPB

1+λ

（7） 给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出

（6） 给出=

MA ⋅MB =m

是锐角。

是钝角, 给出MA ⋅MB =m >0, 等于已知∠AMB

⎛⎫ ⎪

（8）

给出λ+=MP , 等于已知MP 是∠AMB 的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出(AB +AD ) ⋅(AB -AD ) =0，等于已知ABCD 是菱

形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形; （11）在∆ABC 中，给出==，等于已知O 是∆ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在∆ABC 中，给出++的重心是三角形三条中线的交点）；

2

2

2

=，等于已知O 是∆ABC 的重心（三角形

=OC ⋅OA ，等于已知O 是∆ABC 的垂

（13）在∆ABC 中，给出OA ⋅OB =OB ⋅OC 心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在∆ABC 中，给出=+

λ(

AB AC

+) (λ∈R +) 等于已知AP 通过|AB ||AC |

∆ABC 的内心；

（15）在∆ABC 中，给出a ⋅+b ⋅+c ⋅=等于已知O 是∆ABC 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在∆ABC 中，给出AD =

1

AB +AC , 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线。 2

()

向量在解析几何中的应用

嵩明县第一中学：吴学伟 2006年12月5日星期二

解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。

一、向量基础知识

（1）、向量的数量积定义：a b =|a ||b |cos θ （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos θ=

a b

|a ||b |

（3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的λ∈R ，使b =λa 。 （4）、两向量平行的充要条件：向量a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) 平行⇔x 1y 2-x 2y 1=0 （5）、两向量垂直的充要条件：向量a ⊥b ⇔a b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 （6）、向量不等式：|a |+|b |≥|a +b |，|a ||b |≥|a b |

（7）、向量的坐标运算：向量a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a b =x 1x 2+y 1y 2 二、向量的应用

1、利用向量证明等式

材料一：已知α、β是任意角，求证：cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β。 证明：在单位圆上，以x 轴为始边作角α，终边交单位圆于A ，以x 轴为始边作角β，终边交单位圆于B ，有OA =(cosα,sin α), OB =(cosβ,sin β) ，所以有：

OA OB =cos αcos β+sin αsin β

又OA OB =|OA ||OB |cos ∠AOB =cos(α-β) 即cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos(α-β) 或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式

材料二：m , n , a , b , c

,

d

≤证明：设h =

k

=

∴|h |=k |=

由数量积的坐标运算可得：h k

=

又因为|h k |≤|h ||k |，

成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

a b =x 1x 2+y 1y 2，|a ||b |≥|a b |，构造向量解之。

3、利用向量求值

3

，求锐角α, β。 2

3

解析：由条件得(1-cos β)cos α+sin αsin β=-cos β

2

设m =(1-cos β,sin β) ，n =(cosα,sin α) ，

3则m n =

-

cos β，|m |==|n |=1，

2

312

由m n ≤|

m ||n |，得-cos β≤(cosβ-) ≤0，

22

1ππ

则cos β=，即β=，同理α=（因为α、β为锐角）

233

材料三：已知cos α+cos β-cos(α+β) =

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)，C (cosα,sin α) ，α∈(（１）、若|AC |=|BC |，求角α的值；

π3π

2, 2

) 。

2sin 2α+sin 2α

（２）、若AC BC =-1，求的值。

1+tan α

解析：（１）AC =(cosα-3,sin α) ，

BC =(cosα

,sin α-3)

∴|AC |

===π3π5π

) ，∴α=由|AC |=|BC |得sin α=cos α，又α∈(, 224

（２）、由AC BC =-1得(cosα-3)cos α+sin α(sinα-3) =-1

2

∴sin α+cos α=……………………………………（１）

3

2sin 2α+sin 2α2sin 2α+2sin αcos α

=2sin αcos α 又=

sin 1+tan α1+

cos α

4

由（１）式两边平方得1

+2sin αcos α

=

9

552sin 2α+

sin 2α

=- ∴2sin αcos α=-，∴

991

+tan α

|BC |=

4、利用向量求函数值域 =5，求x +y 的最小值。

解析：构造向量

m =，n =(1,1) 由m n ≤

|m

||n |≤

27

≥∴

x +y ≥

227

=x +y 有最小值

2

变式：设x 的最小值。

解析：

=

=

故可设a =

(x -1,1) ，b =(5-x ,3)

∴|a +b |=

=|a |+|b |≥

x -11

=，即x =2时等号成立。 当

5-x 3

所以当x =2时, 取最小值点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题

材料六：过点M (-2,0) ，作直线l 交双曲线x 2-y 2=1于A 、B 不同两点，已知

OP =OA +OB 。

（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使|OP |=|AB |? 若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。 解析：（1）、设直线l 的方程为y =k (x +2) ， 代入x 2-y 2=1得(1-k 2) x 2-4k 2x -4k 2-1=0，

4k 24k 2+1当k ≠±1时，设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=，x 1x 2=2 2

1-k k -1

k 4k 24k

y 1+y 2=k (x 1+2) +k (x 2+2) =+4k = 22

1-k 1-k

设P (x , y ) ，由OP =OA +OB ，则

4k 24k

(x , y ) =(x 1+x 2, y 1+y 2) =(, )

1-k 21-k 2

⎧4k 2x =⎪x ⎪

∴⎨1-k ，解之得=k (k ≠0)

y ⎪y =4k

⎪1-k 2⎩

4k x 22

再将=k 代入y =得(x +2) -y =4……………………（1） 2

1

-k y

当k =0时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知P (-4,0) 满足（1）式，故所求轨迹方程为(x +

2) 2-y 2=4，其轨

迹为双曲线；

当k =±

1时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）|OP |=|AB |，所以平行四边形OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是

OA OB =0，即x 1x 2+y 1y 2=0。

当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(-2, ，不满足上式。

(k 2+1)(4k 2+1) 2k 24k 22

-+4k =0 又x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+2)(x 2+) =22

k -1k -1

k 2+1

=0，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。 化简得：2

k -1

2

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

x 2y 2

变式：已知双曲线Ｃ：2-2=1(a >0, b >0) ，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x 轴

a b

正半轴上，且满足|OA |、|OB |、|OF |成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l ，垂足为Ｐ，如图所示。 （１） 求证：PA OP =PA FP ；

（２） 若l 与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e 的范围。

a ⎧y =-(x -c ) ⎪a a 2ab ⎪b

解析：（１）直线l 的方程为：y =-(x -c ) ，由⎨解得P (, )

c c c ⎪y =b x

⎪a ⎩

|OA |、|OB |、|OF |成等比数列，

a 2

∴A (,0) ，故PA ⊥x 轴，如图所示。

c

从而PA OP -PA FP =PA OF =0 ∴PA OP =PA FP

a ⎧

a 4⎪y =-(x -c ) 22

(2)、由⎨∴得b x -2(x -c ) 2=a 2b 2， b

b ⎪b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2

⎩

a 422a 4a 42

即(b -2) x +2cx -2(x -c ) =

b b b

a 4c 2

-(2+a 2b 2) x 1x 2=a 4，即b 2>a 2，c 2-a 2>

a 2⇒e 2>2⇒e > 4

a b 2-2

b

2

点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。 随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量u =(1, k )或u =(m , n )，要会求出直线的斜率； （2）给出OA +OB 与AB 相交, 等于已知+过AB 的中点;

（3）给出+=0, 等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出AP +AQ =λBP +BQ , 等于已知P , Q 与AB 的中点三点共线;

)

（5） 给出以下情形之一：①

//；②存在实数λ, 使=λAC ；③若存在实数

α, β, 且α+β=1, 使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

OA +λOB

，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即AP =λPB

1+λ

（7） 给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出

（6） 给出=

MA ⋅MB =m

是锐角。

是钝角, 给出MA ⋅MB =m >0, 等于已知∠AMB

⎛⎫ ⎪

（8）

给出λ+=MP , 等于已知MP 是∠AMB 的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出(AB +AD ) ⋅(AB -AD ) =0，等于已知ABCD 是菱

形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形; （11）在∆ABC 中，给出==，等于已知O 是∆ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在∆ABC 中，给出++的重心是三角形三条中线的交点）；

2

2

2

=，等于已知O 是∆ABC 的重心（三角形

=OC ⋅OA ，等于已知O 是∆ABC 的垂

（13）在∆ABC 中，给出OA ⋅OB =OB ⋅OC 心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在∆ABC 中，给出=+

λ(

AB AC

+) (λ∈R +) 等于已知AP 通过|AB ||AC |

∆ABC 的内心；

（15）在∆ABC 中，给出a ⋅+b ⋅+c ⋅=等于已知O 是∆ABC 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在∆ABC 中，给出AD =

1

AB +AC , 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线。 2

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