第二课时 四种命题及其关系
一、学习目标：
知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假。
过程与方法:多让学生举命题的例子，并写出四种命题，学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力，培养学生抽象概括能力和思维能力。
情感、态度与价值观:通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
二、重点难点：
重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题的相互关系 难点：命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和你否命题；分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假
三、复习引入
问题1.什么是命题？（在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。）
问题2、命题是由哪几部分构成的？（它由题设（条件） 和结论两部分构成。）
问题3、命题有哪几种？（真命题，假命题）
趣味数学:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，
只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
四、讲授新课
（一）问题情景
观察与思考：下面命题2,3,4与命题1有何关系？
1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.
2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.
3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.
4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
1.
2. 1.如果两个三角形全等,. 3.,
1.
.
4.
１、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们称这两个命题为互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
２、互否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们称这两个命题为互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
３、互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那我们称这两个命题叫做互为逆否命题。 四种命题的形式：
原命题：若p,则q 逆命题：若q,则p
否命题：若┐p,则┐q（为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”，读作“非Ｐ”“非q”）
逆否命题：若┐q, 则┐p
即学即练
例1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)若k>0,则方程x22xk0有实根;
逆命题:若方程x22xk0有实根,则k>0.
否命题:若k≤0,则方程x22xk0没有实根.
逆否命题:若方程x22xk0没有实根,则k≤0.
(2)当c>0时,若a>b,则ac>bc;
逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc.
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b.
一些常用的词语和词语的否定
课堂探究1
如果原命题是真命题，那么 它的逆命题一定是真命题吗？ 例1.等边三角形的三个内角相等. （真命题）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真命题） 例2.若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数. （真命题）
逆命题:若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数. （假命题） 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
课堂探究2
如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行.（真命题）
否命题:同位角不相等,两直线不平行.（真命题）
例2.原命题:若一个数是负数，则它的平方是正数（真命题）
否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数（假命题） 原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
课堂探究3
如果原命题是真命题，那么它 的逆否命题一定是真命题吗？ 例1.原命题:若 a 0 , 则 0 。（真命题） ab
逆否命题:若 ab 0 ，则 a 0 。（真命题）
例2.原命题:若a > b, 则ac2bc2（假命题）
逆否命题:若ac2bc2,则a≤b。（假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
结合以上探究完成下列表格：
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性。
练习.四种命题真假的个数可能为（ ）个。
答：0个、2个、4个。
（二）典例解析
例2 证明：若x2y20，则x=y=0.
证明：原命题的逆否命题为：若x,y中至少有一个不为0，则x2y20 设x0，则x20，又y20 x2y200 故原命题的逆否命题得证，有互逆命题具有相同的真假性知原命题成立。
归纳总结：因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。
方法总结（证明命题的方法）
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论q，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐P）为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。（后面具体讲解）
（三）巩固练习
1.命题“若p,则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ C ）
A.若p,则┐q B.若q，则p C.若┐q，则p D.若┐q，则p
2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（ A ）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
3、判断命题“若x-2不是有理数，则x不是无理数”的真假. 分析：逆否命题：若x是无理数，则x-2是有理数. 假命题
（四）品位高考
1.(2010年广东高考)命题“若函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是（ B ）
A.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数；
B.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数；
C.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数；
D.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数；
2、（2008年山东考文）给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A 3， B 2， C 1 D 0
3．(2010年高考天津卷理科3)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是( B )
A.若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
C.若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(x)是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．（07渝）命题“若 x 1 ，则 1 x 1 ”的逆否命题是（ D ） 2
x 1A.若 x ，则 x 1 或 1 2
B.若 1 x 1 ，则 x21
C.若 x 1 或x 1 ，则 x 12
2D.若x 1 或 x 1 ，则 x1
理解：从集合的角度看，否定即为求补集运算.
5.（2001天津）在空间中，
①若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；
以上两个命题中，逆命题为真命题的是___②_____.
五．课堂总结：
（1）四种命题的概念及其形式；
（2）四种命题间的相互关系及其真假性的关系：
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q互逆否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p
逆互两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有什么关系。
(3)证明命题的方法
第二课时 四种命题及其关系
一、学习目标：
知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假。
过程与方法:多让学生举命题的例子，并写出四种命题，学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力，培养学生抽象概括能力和思维能力。
情感、态度与价值观:通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
二、重点难点：
重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题的相互关系 难点：命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和你否命题；分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假
三、复习引入
问题1.什么是命题？（在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。）
问题2、命题是由哪几部分构成的？（它由题设（条件） 和结论两部分构成。）
问题3、命题有哪几种？（真命题，假命题）
趣味数学:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，
只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
四、讲授新课
（一）问题情景
观察与思考：下面命题2,3,4与命题1有何关系？
1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.
2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.
3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.
4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
1.
2. 1.如果两个三角形全等,. 3.,
1.
.
4.
１、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们称这两个命题为互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
２、互否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们称这两个命题为互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
３、互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那我们称这两个命题叫做互为逆否命题。 四种命题的形式：
原命题：若p,则q 逆命题：若q,则p
否命题：若┐p,则┐q（为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”，读作“非Ｐ”“非q”）
逆否命题：若┐q, 则┐p
即学即练
例1：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)若k>0,则方程x22xk0有实根;
逆命题:若方程x22xk0有实根,则k>0.
否命题:若k≤0,则方程x22xk0没有实根.
逆否命题:若方程x22xk0没有实根,则k≤0.
(2)当c>0时,若a>b,则ac>bc;
逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b.
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc.
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b.
一些常用的词语和词语的否定
课堂探究1
如果原命题是真命题，那么 它的逆命题一定是真命题吗？ 例1.等边三角形的三个内角相等. （真命题）
逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真命题） 例2.若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数. （真命题）
逆命题:若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数. （假命题） 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
课堂探究2
如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行.（真命题）
否命题:同位角不相等,两直线不平行.（真命题）
例2.原命题:若一个数是负数，则它的平方是正数（真命题）
否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数（假命题） 原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
课堂探究3
如果原命题是真命题，那么它 的逆否命题一定是真命题吗？ 例1.原命题:若 a 0 , 则 0 。（真命题） ab
逆否命题:若 ab 0 ，则 a 0 。（真命题）
例2.原命题:若a > b, 则ac2bc2（假命题）
逆否命题:若ac2bc2,则a≤b。（假命题）
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
结合以上探究完成下列表格：
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性。
练习.四种命题真假的个数可能为（ ）个。
答：0个、2个、4个。
（二）典例解析
例2 证明：若x2y20，则x=y=0.
证明：原命题的逆否命题为：若x,y中至少有一个不为0，则x2y20 设x0，则x20，又y20 x2y200 故原命题的逆否命题得证，有互逆命题具有相同的真假性知原命题成立。
归纳总结：因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。
方法总结（证明命题的方法）
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论q，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐P）为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。（后面具体讲解）
（三）巩固练习
1.命题“若p,则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ C ）
A.若p,则┐q B.若q，则p C.若┐q，则p D.若┐q，则p
2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（ A ）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
3、判断命题“若x-2不是有理数，则x不是无理数”的真假. 分析：逆否命题：若x是无理数，则x-2是有理数. 假命题
（四）品位高考
1.(2010年广东高考)命题“若函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是（ B ）
A.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数；
B.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数；
C.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数；
D.若loga20，则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数；
2、（2008年山东考文）给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A 3， B 2， C 1 D 0
3．(2010年高考天津卷理科3)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是( B )
A.若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
C.若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D.若f(x)是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．（07渝）命题“若 x 1 ，则 1 x 1 ”的逆否命题是（ D ） 2
x 1A.若 x ，则 x 1 或 1 2
B.若 1 x 1 ，则 x21
C.若 x 1 或x 1 ，则 x 12
2D.若x 1 或 x 1 ，则 x1
理解：从集合的角度看，否定即为求补集运算.
5.（2001天津）在空间中，
①若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；
以上两个命题中，逆命题为真命题的是___②_____.
五．课堂总结：
（1）四种命题的概念及其形式；
（2）四种命题间的相互关系及其真假性的关系：
原命题
若p则q
互
否
否命题
若┐p则┐q互逆否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p
逆互两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有什么关系。
(3)证明命题的方法