自考“高等数学一”复习指导
本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科
除外）专业的考生。
总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综
合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和
运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容
一、函数、极限和连续
（一）函数
1. 知识范围
（1）函数的概念
函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数
（2）函数的性质
单调性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函数
反函数的定义 反函数的图像
（4）基本初等函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
（5）函数的四则运算与复合运算
（6）初等函数
2. 要求
（1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限
1. 知识范围
（1）数列极限的概念
数列 数列极限的定义
（2）数列极限的性质
唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理
（3）函数极限的概念
函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义
（4）函数极限的性质
唯一性 四则运算法则 夹通定理
（5）无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶
（6）两个重要极限
2. 要求
（1）理解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1. 知识范围
（1）函数连续的概念
函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类
（2）函数在一点处连续的性质
连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性
（3）闭区间上连续函数的性质
有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理（包括零点定理）
（4）初等函数的连续性
2. 要求
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。
（2）会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。
一、单项选择题
1 下列集合中为空集的「」
A ｛ ｝B ｛0 ｝
C 0D ｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝
「答案」选D
「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集
2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，
则A ∩B=「」
A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x
C ｛x ｜-2
「答案」选B
「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x3 或x
3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」
A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9}
C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8}
「答案」选A
「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8} 4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」
A M ∪N={0，1}
B M ∩N={0，1}
C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6}
D M ∩N ∩R= （空集）
「答案」选D
「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R= .
5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」
A 充分但不是必要条件
B 必要但不是充分条件
C 充分必要条件
D 既不是充分条件又不是必要条件
「答案」选B
「解析」若A=B ，则任取x ∈A 有x ∈B ，于是x ∈A ∩B ，从而A A ∩B 又A ∩B A ，故A ∩B=A
反之不成立 例A={1，2}，B={1，2 ，3}，显然A ∩B=A ，但A ≠B 6 设有集合E={x|-1
A B {-1 ，0 ，1}
C {0，1 ，10}D {-1 ，0 ，1 ，10}
「答案」选C
「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合，故E ∩F={0，1 ，10} 7 函数f （x ）=1 lg|x-5|的定义域是「」
A （- ∞，5 ）∪（5 ，+ ∞）
B （- ∞，6 ）∪（6 ，+ ∞）
C （- ∞，4 ）∪（4 ，+ ∞）
D （- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）
「答案」选D
「解析」由对数的真数大于0 ，分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| >0 |x-5| ≠1 ，得x >5 或x
x ≠4 或x ≠6
于是得到该函数的定义域为（- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞） 8 设f （x ）在区间［0 ，1 ］上有定义，则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」
A ［0 ，1 ］B -1 4，5 4
C -1 4，1 4D 1 4 ，3 4
「答案」选D
「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1
0 ≤x-1 4 ≤1 ，得-1 4≤x ≤3 4
1 4 ≤x ≤5 4
，其公共部分即为该函数的定义域，于是得该函数的定义域为1 4 ，3 4 9 设f （x ）的定义域是［0 ，4 ］，则f （x2）的定义域是「」
A ［0 ，16］B ［0 ，2 ］
C ［-2，2 ］D ［-16 ，16］
「答案」选C
「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ，|x| ≤2 ，-2≤x ≤2 于是f （x2）的定义域为［-2，2］
10 函数f （x ）=lnx x-2的定义域是「」
A （- ∞，0 ）B （2 ，+ ∞）
C （0 ，2 ）D （- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）
「答案」选D
「解析」由条件知x x-2 >0 且x ≠2 ，得x >2 或x
11 函数f （x ）=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」
A ［1 ，5 ］B ［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］
C ［1 ，3 ）D （3 ，5 ］
「答案」选B
「解析」由-1≤x-3 2 ≤1
x2-x-6≠0 ，得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ，x ≠-2，因此所给函数的定义域为［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］
12 已知f （1 x ）=x+x2+1 ，（x >0 ），则f （x ）= 「」
A x+x2+1 xB 1+x2+1 x
C x+x2+1 x2+1D 1+x2+1 x2+1
「答案」选B
「解析」令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x
「另解」因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，
故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2
=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x
13 设函数f （x ）=1， |x|≤1
-1， |x|>1 ，则f1 f（x ）= 「」
A 1B -1
C f （x ）D 1 f （x ）
「答案」选A
「解析」因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=1
14 设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f ［g （x ）］= 「」
A ±1B 1
C 1 xD |x| x2
「答案」选B
「解析」f ［g （x ）］=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=1
15 设f （x ）= 2｜x ｜≤2
1｜x ｜>2，则f （f （x ））= 「」
A 2B 1C f （x ）D （f （x ））2
「答案」选A
「解析」由假设f （f （x ））= 2｜f （x ）｜≤2
1 ｜f （x ）｜>2，
对任意x ∈（－∞，＋∞），｜f （x ）｜≤2 ，故有f （f （x ））=2. 16 设f （1-2x ）=1- 2 x，则f （x ）= 「」
A 1+4 1-xB 1-4 1-x
C 1-2 1-2xD 1+2 1-2x
「答案」选B
「解析」令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x ）=1- 2 x得
f （t ）=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ，故f （x ）=1- 4 1-x
17 设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= 「」
A 1-cosxB -cosx
C 1+cosxD 1-sinx
「答案」选A
「解析」f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以
f （x ）=2-2x2.
从而f （cosx2）=2-2cos 2x 2＝2-（1+cosx）=1-cosx.
18 设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f ［f （2 ）］= 「」
A 3 B 0
C 1 D 2
「答案」选D
「解析」因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 ×0+3=3 ，
故f ［f （2 ）］=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 ×1+3=2
「另解」因为f （x+2 ）=x2-2x+3= ［（x+2 ）-2］2-2 ［（x+2 ）-2］+3， 故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3
从而f ［f （2 ）］=f（3 ）=32-6 ×3+11=2
19 设g （x ）=lnx+1，f ［g （x ）］=x，则f （1 ）= 「」
A 1 B e
C -1 D -e
「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f ［g （1 ）］=1
20 下列各组函数中，表示相同函数的是「」
A y=lnx2与y=2lnx
B y=x 与y=x2
C y=1 与y=sin2x+cos2x
D y=x 与y=cos （arccosx ）
「答案」选C
「解析」A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同 只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同
21 函数y=log4x+log42 的反函数是「」
A y=42x-1B y=4x-1
C y=2x-1D y=4x-1
「答案」选A
「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，
故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.
22 设－12
A y=1－10x ，（－∞，0）
B y=- 1－10x ，（－∞，0）
C y=1－10x ，（lg34，0）
D y=- 1－10x ，（lg34，0）
「答案」选D
27 将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」
A 4-x ， x≥0
x ， x
x ， x
C 4-x ， x≥0
1-x x
4+x x
「答案」选B
「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2
2-（2-x ），x
f （x ）=4-x，x ≥2
x ，x
28 下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」
A y=2x2 ， x>0
2x+1， x
C y=xD y=sinx
「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中
函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数 29 函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」
A （0 ）B ［-1，1 ］
C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］
「答案」选D
「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，
当x
x2-4 0
A y=x 0 ≤x ≤4
x+4 0
B y=－x 0 ≤x ≤4
x+4 -4
C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4
－x+4 -4≤x
D y=x 0 ≤x ≤4
- 4+x -4 ≤x
「答案」选B
「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；
当0
故所求反函数为y=－x ， 0≤x ≤4 ，
x+4 ， -4
31 设f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」
A y=|f（x ）|B y=-|f （x ）|
C y=-f （-x ）D y=f （x2）
「答案」选D
「解析」由偶函数定义，D 中函数定义域（- ∞，+ ∞）关于原点对称，且y =f［（-x ）
2 ］=f（x2）=y（x ），故y=f （x2）是偶函数
32 函数f （x ）=loga （x+1+x2）（a >0 ，a ≠1 ）是「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数
「答案」选A
「解析」因该函数定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，且
f （-x ）=loga-x+1+（-x ）2=loga1+x2-x
=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2
=-log3x+1+x2=-f （x ）
故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数
33 设函数f （x ）=x（ex-1） ex+1 ，则该函数是「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 单调函数 -x ）（
「答案」选B
「解析」因为f （x ）的定义域是（- ∞，＋∞），且
f （-x ）=-x （e-x-1 ） e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1） ex+1=f （x ）。 所以f （x ）为偶函数。
34 设函数f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义且为奇函数，若当x ∈（－∞，0）时，f （x ）=x（x-1 ），则当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）= 「」
A -x （x+1 ）B x （x-1 ）
C x （-x+1）D x （x+1 ）
「答案」选A
「解析」因为f （x ）为奇函数，故当x >0 时，
f （x ）=-f （-x ）=-［-x （-x-1）］=-x （x+1 ）。
35 设函数f （x ）、g （x ）在（－∞，＋∞）上有定义，若f （x ）为奇函数，g （x ）
为偶函数，则g ［f （x ）］为「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 有界函数
「答案」选B
「解析」因为g ［f （-x ）］=g［-f （x ）］=g［f （x ）］，故g ［f （x ）］为偶函数。
36 函数f （x ）=x（1+cos2x ）的图形对称于「」
A ox轴B 直线y=x
C 坐标原点D oy轴
「答案」选C
「解析」因f （x ）的定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，又f （-x ）=-x （1+cos2（-x ））=-x （1+cos2x ）=-f （x ），故f （x ）=x（1+cos2x ）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称
37 函数y=|sinx|的周期是「」
A πB π2 C 2πD 4π
「答案」选A
「解析」因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期（最小正周期）为π
38 下列函数中为周期函数的是「」
A y=sinx2B y=arcsin2x
C y=x ｜sinx ｜D y=tan （3x-2）
「答案」选D
「解析」因为tan ［3 （x+π3）－2］=tan（3x+ π-2）=tan［（3x-2）+ π］ =tan（3x-2），所以y=tan （3x-2）是以π3为周期的周期函数。
39 设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= 「」
A 1B -1C 2D -2
「答案」选A
「解析」因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.
40 已知偶函数f （x ）在［0，4］上是单调增函数，那么f （- π）和f （log 128） 的大小关系是「」
A f （- π）
C f （- π）>f （log 128）D 不能确定
「答案」选C
「解析」因为f （x ）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x ）在［－4，0］上是单调减函数 又log 128=log12（12）－3=-3 >－π，所以f （- π）>f （log 128）。
41 在R 上，下列函数中为有界函数的是y=「」
A exB 1+sinx
C lnxD tanx
「答案」选B
「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x ∈R ，有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数
基础训练题
单项选择题
1 设A={x|-3 ≤x ≤3}，B={x|0≤x ≤5}，则
A A BB A B
C （A ∩B ） BD （A ∩B ） B 「」
2 下列集合为空集的是
A {x|x+5=5}B {x|x∈R 且x2+10=0}
C {x|x≥3 且x ≤3}D {x||x+5|≤0}「」
3 若集合M={0，1 ，2}，则下列写法中正确的是
A {1} ∈MB 1 M
C 1 MD {1} M 「」
4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是
A -3≤x ≤1
B x
C （-3，1 ）
D {x|x
5 函数f （x ）= （x+1 ）2x+1 2x2-x-1的定义域是
A x ≠-1 2B x >-1 2
C x ≠-1 2且x ≠1D x >-1 2且x ≠1 「」
6 若0 ≤a ≤1 2 及函数y=f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是
A ［-a ，1-a ］B ［-a ，1+a ］
C ［a ，1-a ］D ［a ，1+a ］
7 设函数f （x+a ）的定义域为［0 ，a ］，则f （x ）的定义域为
A ［a ，2a ］B ［-a ，0 ］
C ［-2a ，-a ］D ［0 ，a ］「」
8 函数f （x ）=x｜x ｜≤1
sinx 1
A ［－4，4］B ［－1，1］
C ［1，4］D ［－2，2］「」
9 设g （x ）=sinx ，则g-sin π 2=
A -1B 1
C sin1D -sin1 「」
10 设f （x ）是定义在实数域上的一个函数，且f （x-1 ）=x2+x+1 ，则f1 x-1=
A 1 （x-1 ）2+3 x-1+3B 1 （x-1 ）2+1 x-1+1
C 1 x2+x+1D 1 x2+1 x+1「」
11 设f1 x=x x-1，则f （2x ）=
A 2 1-xB 1 1-2x
C 2 （x-1 ） 2xD 2 （x-1 ） x 「」
12 设f （x-2 ）=x2+1 ，则f （x+1 ）=
A x2+2x+2B x2-2x+2
C x2+6x+10D x2-6x+10「」
13 函数y=4-x2的值域是
A ［0 ，1 ］B （0 ，1 ］
C （0 ，+ ∞）D （- ∞，+ ∞）「」
14 下列函数中与y=x 为同一函数的是y=
A x2B lnex
C elnxD （x ）2 「」
15 函数y=sin1 x是其定义域内的
A 周期函数B 单调函数
C 有界函数D 无界函数「」
16 下列函数中在（0 ，+ ∞）内为单调减少的是
A y=logxa ，0
C y=arctanxD y=lnx 「」
17 下列函数中为奇函数的是
A y=ex-1 ex+1B y=x2+sinx
C y=cos3xD y=ln（x2+x4 ）「」
18 函数y=1-x 1+x 的反函数是
A y=x-1 x+1B y=1+x 1-x
C y=1-x 1+xD y=-x 1+x「」
二、一元函数微分学
（一）导数与微分
1. 知识范围
（1）导数概念
导数的定义 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系
（2）求导法则与导数的基本公式
导数的四则运算 反函数的导数 导数的基本公式
（3）求导方法
复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数
（4）高阶导数
高阶导数的定义 高阶导数的计算
（5）微分
微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2. 要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的 阶导数。
（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（二）微分中值定理及导数的应用
1. 知识范围
（1）微分中值定理
罗尔（Rolle ）定理 拉格朗日（Lagrange ）中值定理
（2）洛必达（L„Hospital）法则
（3）函数增减性的判定法
（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值
（5）曲线的凹凸性、拐点
（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2. 要求
（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。
（2）熟练掌握用洛必达法则求各种型未定式的极限的方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的
应用问题。
（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
（7）会作出简单函数的图形。
三、一元函数积分学
（一）不定积分
1. 知识范围
（1）不定积分
原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质
（2）基本积分公式
（3）换元积分法
第一换元法（凑微分法） 第二换元法
（4）分部积分法
（5）一些简单有理函数的积分
2. 要求
（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）会求简单有理函数的不定积分。
（二）定积分
1. 知识范围
（1）定积分的概念
定积分的定义及其几何意义 可积条件
（2）定积分的性质
（3）定积分的计算
变上限积分 牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 换元积分法 分部积分法
（4）无穷区间的广义积分
（5）定积分的应用
平面图形的面积 旋转体体积 物体沿直线运动时变力所作的功
2. 要求
（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。
会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。
四、向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
1. 知识范围
（1）向量的概念
向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦
（2）向量的线性运算
向量的加法 向量的减法 向量的数乘
（3）向量的数量积
二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件
（4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件
2. 要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
（2）熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
（3）熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。
（二）平面与直线
1. 知识范围
（1）常见的平面方程
点法式方程 一般式方程
（2）两平面的位置关系（平行、垂直和斜交）
（3）点到平面的距离
（4）空间直线方程
标准式方程（又称对称式方程或点向式方程）一般式方程 参数式方程
（5）两直线的位置关系（平行、垂直）
（6）直线与平面的位置关系（平行、垂直和直线在平面上）
2. 要求
（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。
（2）会求点到平面的距离。
（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。
（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。
（三）简单的二次曲面
1. 知识范围
球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面
2. 要求
了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。
自考“高等数学一”复习指导
本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科
除外）专业的考生。
总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综
合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和
运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容
一、函数、极限和连续
（一）函数
1. 知识范围
（1）函数的概念
函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数
（2）函数的性质
单调性 奇偶性 有界性 周期性
（3）反函数
反函数的定义 反函数的图像
（4）基本初等函数
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
（5）函数的四则运算与复合运算
（6）初等函数
2. 要求
（1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限
1. 知识范围
（1）数列极限的概念
数列 数列极限的定义
（2）数列极限的性质
唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理
（3）函数极限的概念
函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义
（4）函数极限的性质
唯一性 四则运算法则 夹通定理
（5）无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶
（6）两个重要极限
2. 要求
（1）理解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1. 知识范围
（1）函数连续的概念
函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类
（2）函数在一点处连续的性质
连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性
（3）闭区间上连续函数的性质
有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理（包括零点定理）
（4）初等函数的连续性
2. 要求
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。
（2）会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。
一、单项选择题
1 下列集合中为空集的「」
A ｛ ｝B ｛0 ｝
C 0D ｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝
「答案」选D
「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集
2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，
则A ∩B=「」
A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x
C ｛x ｜-2
「答案」选B
「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x3 或x
3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」
A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9}
C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8}
「答案」选A
「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8} 4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」
A M ∪N={0，1}
B M ∩N={0，1}
C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6}
D M ∩N ∩R= （空集）
「答案」选D
「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R= .
5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」
A 充分但不是必要条件
B 必要但不是充分条件
C 充分必要条件
D 既不是充分条件又不是必要条件
「答案」选B
「解析」若A=B ，则任取x ∈A 有x ∈B ，于是x ∈A ∩B ，从而A A ∩B 又A ∩B A ，故A ∩B=A
反之不成立 例A={1，2}，B={1，2 ，3}，显然A ∩B=A ，但A ≠B 6 设有集合E={x|-1
A B {-1 ，0 ，1}
C {0，1 ，10}D {-1 ，0 ，1 ，10}
「答案」选C
「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合，故E ∩F={0，1 ，10} 7 函数f （x ）=1 lg|x-5|的定义域是「」
A （- ∞，5 ）∪（5 ，+ ∞）
B （- ∞，6 ）∪（6 ，+ ∞）
C （- ∞，4 ）∪（4 ，+ ∞）
D （- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）
「答案」选D
「解析」由对数的真数大于0 ，分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| >0 |x-5| ≠1 ，得x >5 或x
x ≠4 或x ≠6
于是得到该函数的定义域为（- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞） 8 设f （x ）在区间［0 ，1 ］上有定义，则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」
A ［0 ，1 ］B -1 4，5 4
C -1 4，1 4D 1 4 ，3 4
「答案」选D
「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1
0 ≤x-1 4 ≤1 ，得-1 4≤x ≤3 4
1 4 ≤x ≤5 4
，其公共部分即为该函数的定义域，于是得该函数的定义域为1 4 ，3 4 9 设f （x ）的定义域是［0 ，4 ］，则f （x2）的定义域是「」
A ［0 ，16］B ［0 ，2 ］
C ［-2，2 ］D ［-16 ，16］
「答案」选C
「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ，|x| ≤2 ，-2≤x ≤2 于是f （x2）的定义域为［-2，2］
10 函数f （x ）=lnx x-2的定义域是「」
A （- ∞，0 ）B （2 ，+ ∞）
C （0 ，2 ）D （- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）
「答案」选D
「解析」由条件知x x-2 >0 且x ≠2 ，得x >2 或x
11 函数f （x ）=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」
A ［1 ，5 ］B ［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］
C ［1 ，3 ）D （3 ，5 ］
「答案」选B
「解析」由-1≤x-3 2 ≤1
x2-x-6≠0 ，得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ，x ≠-2，因此所给函数的定义域为［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］
12 已知f （1 x ）=x+x2+1 ，（x >0 ），则f （x ）= 「」
A x+x2+1 xB 1+x2+1 x
C x+x2+1 x2+1D 1+x2+1 x2+1
「答案」选B
「解析」令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x
「另解」因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，
故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2
=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x
13 设函数f （x ）=1， |x|≤1
-1， |x|>1 ，则f1 f（x ）= 「」
A 1B -1
C f （x ）D 1 f （x ）
「答案」选A
「解析」因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=1
14 设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f ［g （x ）］= 「」
A ±1B 1
C 1 xD |x| x2
「答案」选B
「解析」f ［g （x ）］=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=1
15 设f （x ）= 2｜x ｜≤2
1｜x ｜>2，则f （f （x ））= 「」
A 2B 1C f （x ）D （f （x ））2
「答案」选A
「解析」由假设f （f （x ））= 2｜f （x ）｜≤2
1 ｜f （x ）｜>2，
对任意x ∈（－∞，＋∞），｜f （x ）｜≤2 ，故有f （f （x ））=2. 16 设f （1-2x ）=1- 2 x，则f （x ）= 「」
A 1+4 1-xB 1-4 1-x
C 1-2 1-2xD 1+2 1-2x
「答案」选B
「解析」令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x ）=1- 2 x得
f （t ）=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ，故f （x ）=1- 4 1-x
17 设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= 「」
A 1-cosxB -cosx
C 1+cosxD 1-sinx
「答案」选A
「解析」f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以
f （x ）=2-2x2.
从而f （cosx2）=2-2cos 2x 2＝2-（1+cosx）=1-cosx.
18 设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f ［f （2 ）］= 「」
A 3 B 0
C 1 D 2
「答案」选D
「解析」因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 ×0+3=3 ，
故f ［f （2 ）］=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 ×1+3=2
「另解」因为f （x+2 ）=x2-2x+3= ［（x+2 ）-2］2-2 ［（x+2 ）-2］+3， 故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3
从而f ［f （2 ）］=f（3 ）=32-6 ×3+11=2
19 设g （x ）=lnx+1，f ［g （x ）］=x，则f （1 ）= 「」
A 1 B e
C -1 D -e
「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f ［g （1 ）］=1
20 下列各组函数中，表示相同函数的是「」
A y=lnx2与y=2lnx
B y=x 与y=x2
C y=1 与y=sin2x+cos2x
D y=x 与y=cos （arccosx ）
「答案」选C
「解析」A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同 只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同
21 函数y=log4x+log42 的反函数是「」
A y=42x-1B y=4x-1
C y=2x-1D y=4x-1
「答案」选A
「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，
故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.
22 设－12
A y=1－10x ，（－∞，0）
B y=- 1－10x ，（－∞，0）
C y=1－10x ，（lg34，0）
D y=- 1－10x ，（lg34，0）
「答案」选D
27 将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」
A 4-x ， x≥0
x ， x
x ， x
C 4-x ， x≥0
1-x x
4+x x
「答案」选B
「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2
2-（2-x ），x
f （x ）=4-x，x ≥2
x ，x
28 下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」
A y=2x2 ， x>0
2x+1， x
C y=xD y=sinx
「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中
函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数 29 函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」
A （0 ）B ［-1，1 ］
C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］
「答案」选D
「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，
当x
x2-4 0
A y=x 0 ≤x ≤4
x+4 0
B y=－x 0 ≤x ≤4
x+4 -4
C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4
－x+4 -4≤x
D y=x 0 ≤x ≤4
- 4+x -4 ≤x
「答案」选B
「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；
当0
故所求反函数为y=－x ， 0≤x ≤4 ，
x+4 ， -4
31 设f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」
A y=|f（x ）|B y=-|f （x ）|
C y=-f （-x ）D y=f （x2）
「答案」选D
「解析」由偶函数定义，D 中函数定义域（- ∞，+ ∞）关于原点对称，且y =f［（-x ）
2 ］=f（x2）=y（x ），故y=f （x2）是偶函数
32 函数f （x ）=loga （x+1+x2）（a >0 ，a ≠1 ）是「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数
「答案」选A
「解析」因该函数定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，且
f （-x ）=loga-x+1+（-x ）2=loga1+x2-x
=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2
=-log3x+1+x2=-f （x ）
故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数
33 设函数f （x ）=x（ex-1） ex+1 ，则该函数是「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 单调函数 -x ）（
「答案」选B
「解析」因为f （x ）的定义域是（- ∞，＋∞），且
f （-x ）=-x （e-x-1 ） e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1） ex+1=f （x ）。 所以f （x ）为偶函数。
34 设函数f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义且为奇函数，若当x ∈（－∞，0）时，f （x ）=x（x-1 ），则当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）= 「」
A -x （x+1 ）B x （x-1 ）
C x （-x+1）D x （x+1 ）
「答案」选A
「解析」因为f （x ）为奇函数，故当x >0 时，
f （x ）=-f （-x ）=-［-x （-x-1）］=-x （x+1 ）。
35 设函数f （x ）、g （x ）在（－∞，＋∞）上有定义，若f （x ）为奇函数，g （x ）
为偶函数，则g ［f （x ）］为「」
A 奇函数B 偶函数
C 非奇非偶函数D 有界函数
「答案」选B
「解析」因为g ［f （-x ）］=g［-f （x ）］=g［f （x ）］，故g ［f （x ）］为偶函数。
36 函数f （x ）=x（1+cos2x ）的图形对称于「」
A ox轴B 直线y=x
C 坐标原点D oy轴
「答案」选C
「解析」因f （x ）的定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，又f （-x ）=-x （1+cos2（-x ））=-x （1+cos2x ）=-f （x ），故f （x ）=x（1+cos2x ）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称
37 函数y=|sinx|的周期是「」
A πB π2 C 2πD 4π
「答案」选A
「解析」因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期（最小正周期）为π
38 下列函数中为周期函数的是「」
A y=sinx2B y=arcsin2x
C y=x ｜sinx ｜D y=tan （3x-2）
「答案」选D
「解析」因为tan ［3 （x+π3）－2］=tan（3x+ π-2）=tan［（3x-2）+ π］ =tan（3x-2），所以y=tan （3x-2）是以π3为周期的周期函数。
39 设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= 「」
A 1B -1C 2D -2
「答案」选A
「解析」因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.
40 已知偶函数f （x ）在［0，4］上是单调增函数，那么f （- π）和f （log 128） 的大小关系是「」
A f （- π）
C f （- π）>f （log 128）D 不能确定
「答案」选C
「解析」因为f （x ）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x ）在［－4，0］上是单调减函数 又log 128=log12（12）－3=-3 >－π，所以f （- π）>f （log 128）。
41 在R 上，下列函数中为有界函数的是y=「」
A exB 1+sinx
C lnxD tanx
「答案」选B
「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x ∈R ，有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数
基础训练题
单项选择题
1 设A={x|-3 ≤x ≤3}，B={x|0≤x ≤5}，则
A A BB A B
C （A ∩B ） BD （A ∩B ） B 「」
2 下列集合为空集的是
A {x|x+5=5}B {x|x∈R 且x2+10=0}
C {x|x≥3 且x ≤3}D {x||x+5|≤0}「」
3 若集合M={0，1 ，2}，则下列写法中正确的是
A {1} ∈MB 1 M
C 1 MD {1} M 「」
4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是
A -3≤x ≤1
B x
C （-3，1 ）
D {x|x
5 函数f （x ）= （x+1 ）2x+1 2x2-x-1的定义域是
A x ≠-1 2B x >-1 2
C x ≠-1 2且x ≠1D x >-1 2且x ≠1 「」
6 若0 ≤a ≤1 2 及函数y=f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是
A ［-a ，1-a ］B ［-a ，1+a ］
C ［a ，1-a ］D ［a ，1+a ］
7 设函数f （x+a ）的定义域为［0 ，a ］，则f （x ）的定义域为
A ［a ，2a ］B ［-a ，0 ］
C ［-2a ，-a ］D ［0 ，a ］「」
8 函数f （x ）=x｜x ｜≤1
sinx 1
A ［－4，4］B ［－1，1］
C ［1，4］D ［－2，2］「」
9 设g （x ）=sinx ，则g-sin π 2=
A -1B 1
C sin1D -sin1 「」
10 设f （x ）是定义在实数域上的一个函数，且f （x-1 ）=x2+x+1 ，则f1 x-1=
A 1 （x-1 ）2+3 x-1+3B 1 （x-1 ）2+1 x-1+1
C 1 x2+x+1D 1 x2+1 x+1「」
11 设f1 x=x x-1，则f （2x ）=
A 2 1-xB 1 1-2x
C 2 （x-1 ） 2xD 2 （x-1 ） x 「」
12 设f （x-2 ）=x2+1 ，则f （x+1 ）=
A x2+2x+2B x2-2x+2
C x2+6x+10D x2-6x+10「」
13 函数y=4-x2的值域是
A ［0 ，1 ］B （0 ，1 ］
C （0 ，+ ∞）D （- ∞，+ ∞）「」
14 下列函数中与y=x 为同一函数的是y=
A x2B lnex
C elnxD （x ）2 「」
15 函数y=sin1 x是其定义域内的
A 周期函数B 单调函数
C 有界函数D 无界函数「」
16 下列函数中在（0 ，+ ∞）内为单调减少的是
A y=logxa ，0
C y=arctanxD y=lnx 「」
17 下列函数中为奇函数的是
A y=ex-1 ex+1B y=x2+sinx
C y=cos3xD y=ln（x2+x4 ）「」
18 函数y=1-x 1+x 的反函数是
A y=x-1 x+1B y=1+x 1-x
C y=1-x 1+xD y=-x 1+x「」
二、一元函数微分学
（一）导数与微分
1. 知识范围
（1）导数概念
导数的定义 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系
（2）求导法则与导数的基本公式
导数的四则运算 反函数的导数 导数的基本公式
（3）求导方法
复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数
（4）高阶导数
高阶导数的定义 高阶导数的计算
（5）微分
微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2. 要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的 阶导数。
（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（二）微分中值定理及导数的应用
1. 知识范围
（1）微分中值定理
罗尔（Rolle ）定理 拉格朗日（Lagrange ）中值定理
（2）洛必达（L„Hospital）法则
（3）函数增减性的判定法
（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值
（5）曲线的凹凸性、拐点
（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2. 要求
（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。
（2）熟练掌握用洛必达法则求各种型未定式的极限的方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的
应用问题。
（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
（7）会作出简单函数的图形。
三、一元函数积分学
（一）不定积分
1. 知识范围
（1）不定积分
原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质
（2）基本积分公式
（3）换元积分法
第一换元法（凑微分法） 第二换元法
（4）分部积分法
（5）一些简单有理函数的积分
2. 要求
（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）会求简单有理函数的不定积分。
（二）定积分
1. 知识范围
（1）定积分的概念
定积分的定义及其几何意义 可积条件
（2）定积分的性质
（3）定积分的计算
变上限积分 牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 换元积分法 分部积分法
（4）无穷区间的广义积分
（5）定积分的应用
平面图形的面积 旋转体体积 物体沿直线运动时变力所作的功
2. 要求
（1）理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。
会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。
四、向量代数与空间解析几何
（一）向量代数
1. 知识范围
（1）向量的概念
向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦
（2）向量的线性运算
向量的加法 向量的减法 向量的数乘
（3）向量的数量积
二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件
（4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件
2. 要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
（2）熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
（3）熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。
（二）平面与直线
1. 知识范围
（1）常见的平面方程
点法式方程 一般式方程
（2）两平面的位置关系（平行、垂直和斜交）
（3）点到平面的距离
（4）空间直线方程
标准式方程（又称对称式方程或点向式方程）一般式方程 参数式方程
（5）两直线的位置关系（平行、垂直）
（6）直线与平面的位置关系（平行、垂直和直线在平面上）
2. 要求
（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。
（2）会求点到平面的距离。
（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。
（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。
（三）简单的二次曲面
1. 知识范围
球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面
2. 要求
了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。