燕山地区2015年初中毕业考试
数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
11．x ≠2 12．a (b +1)(b -1) ； 13．90； 14．答案不唯一：y =-
1
，y =x 2，y =x +2，… x
15．48； 16．2；2．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分
⎧AB =CD , ⎪
在△BAE 和△DCF 中，⎨∠A =∠C ，
⎪AE ＝CF ，⎩
∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分 ∴BE ＝DF ． ………………………5分
18．解:原式＝3+3-3⨯
＝4．
+1 ………………………4分 3
………………………5分
19．解：解不等式①，得 x
解不等式②，得
x ≥-1， ………………………4分
∴原不等式组的解集为-1≤x
20．解：x (2x -1) -(x +1)(x -1)
＝2x 2-x -(x 2-1) ………………………2分 ＝2x -x -x +1
＝x -x +1． ………………………3分 ∵x -x -2=0，即x -x =2． ………………………4分 ∴原式＝(x -x ) +1＝2＋1＝3． ………………………5分 21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分
依题意得
2
2
2
22
2
12123
-=，
………………………2分 x 2x 5
解方程得 x ＝10. ………………………3分 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分 答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分 22．解:(1) Δ＝(2k -3) -4⨯1⨯(k -3k )
2
2
22
………………………1分
＝4k -12k +9-4k +12k ＝9>0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分
(2) 解法一： 把x =0代入方程x 2-(2k -3) x +k 2-3k =0中，
得 k -3k =0，
解得 k =0，或k
=3． ………………………3分
2
当k =0时，原方程化为x +3x =0，
2
解得 x 1=-3，x 2=0； ………………………4分
2
当k =3时，原方程化为x -3x =0，
解得 x 1=3，x 2=0．
综上，原方程的另一个根x =-3，或x =3． ………………………5分 解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得
x 1，2=
(2k -3) ±(2k -3) ±3
， =
2⨯12
∴原方程的根为x 1=k ，x 2=k -3． ………………………3分 当x 1=k =0时，x 2=k -3=-3； ………………………4分 当x 2=k -3=0时，x 1=k =3．
综上，原方程的另一个根x =-3，或x =3． ………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．
∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分 （2）解法一：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，
D E
11A C O ∴OD ＝OB ＝BD ＝3，OA ＝OC ＝AC ＝4， 22
F 11B ∴S △DOC ＝OD ⋅OC ＝⨯3⨯4＝6． ………………………3分
22
在Rt △OBC 中，
BC ＝2+OC 2＝5，sin ∠OCB ＝作FH ⊥OC 于点H ，
在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝∴FH ＝
OB 3
＝． BC 5
3FH
＝， 5FC
312
CF ＝． ………………………4分 55111224
∴S △OCF ＝OC ⋅FH ＝⨯4⨯＝．
2255
∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋
2454＝． ………………………5分 55
解法二：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，
D E
11
∴OD ＝OB ＝BD ＝3，
OA ＝OC ＝AC ＝4，
22
∴S △DCB ＝
A
B F
C
11
DB ⋅OC ＝⨯6⨯4＝
12． ………………………3分 22
在Rt △OBC 中，
BC ＝OB 2+OC 2＝5，sin ∠OCB ＝作OG ⊥BC 于点G ，
∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC − CF＝5− 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝∴OG ＝
OB 3
＝． BC 5
OG 3
＝， OC 5
312OC ＝． ………………………4分 5511126
∴S △OBF ＝BF ⋅OG ＝⨯1⨯＝．
5225
(亿件∴S 四边形OFCD ＝S △DCB −S △OBF
＝12−
654
＝． 55
…………5分
24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；
补全条形统计图如图；
（2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分
年)
…………2分
答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．
（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，
∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，
∴∠EDO ＝90°． ………………………1分 ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，
∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，
∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，
12⨯12144
＝． ………………………5分 1313
∴CD ＝BD ＝AB 2-AD 2＝12． ∴CE ＝
26．（1）1
（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分
∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，
五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴交于点C (0，3) ， 2
∴c =3； ………………………1分 ∵抛物线y =∴-
12
x +bx +c 的对称轴为x =2， 2
=2， 12⨯2
解得b =-2， ………………………2分
12
∴抛物线C 1的解析式为y =x -2x +3． ………………………3分
2
12
（2）由题意，抛物线C 2的解析式为y =x +k ． ………………………4分
212
当抛物线经过点A (2，0) 时，⨯2+k ＝0，
2
解得k =-2． ………………………5分
b
∵O (0，0) ，B (2，2) ， ∴直线OB 的解析式为y =x ．
⎧y =x , ⎪由⎨， 12
y =x +k ⎪2⎩
得x -2x +2k =0，（*） 当Δ＝(-2) 2-4⨯1⨯2k ＝0，即k =
2
1
时， ………………………6分 2
抛物线C 2与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为x -2x +1=0， 解得x =1，
即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是-2
2
28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，
∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，
∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，
1
． ………………………7分 2
图1－1
∴∠1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，
∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1，
∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，
∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分 解法二：如图1－2， 过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°
即∠4＋∠5＝90°．
又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4．
在△AHE 和△BHF 中， ⎧∠1=∠2，
⎪
⎨AH =BH ，
⎪∠4=∠3，⎩
图1－2
∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ． ∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， ∴∠BEH ＝45°． ………………………4分
29．解：（1）令，解得， 3
图2
∴函数y =-2x +1的图象上有一个和谐点(
11
，) ； ………………………2分 33
＝x ，即x -x +1＝0， 令x +1
∵根的判别式Δ＝(-1) 2-4⨯1⨯1＝－3
22
＝0无实数根， ∴方程x -x +1
∴函数y =x 2+1的图象上不存在和谐点． 3分
2
（2）令ax +4x +c ＝x ，即ax +3x +c ＝0，2
由题意，Δ＝3-4ac ＝0，即4ac =9，
22
又方程的根为
-33
=， 2a 2
解得a =-1，c =-
2
9
．4分 4
3
，即y =-x 2+4x -3， 4
∴函数y =ax +4x +c -
如图，该函数图象顶点为(2，1) ，与y 轴交点为(0，－3) ， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3) ． ………………………5分
由于函数图象在对称轴x =2左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当0≤x ≤m 时，函数y =-x +4x -3的最小值为－3，最大值为1， ∴2≤m ≤4． ………………………6分 （3）－
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．
2
5
燕山地区2015年初中毕业考试
数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
11．x ≠2 12．a (b +1)(b -1) ； 13．90； 14．答案不唯一：y =-
1
，y =x 2，y =x +2，… x
15．48； 16．2；2．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分
⎧AB =CD , ⎪
在△BAE 和△DCF 中，⎨∠A =∠C ，
⎪AE ＝CF ，⎩
∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分 ∴BE ＝DF ． ………………………5分
18．解:原式＝3+3-3⨯
＝4．
+1 ………………………4分 3
………………………5分
19．解：解不等式①，得 x
解不等式②，得
x ≥-1， ………………………4分
∴原不等式组的解集为-1≤x
20．解：x (2x -1) -(x +1)(x -1)
＝2x 2-x -(x 2-1) ………………………2分 ＝2x -x -x +1
＝x -x +1． ………………………3分 ∵x -x -2=0，即x -x =2． ………………………4分 ∴原式＝(x -x ) +1＝2＋1＝3． ………………………5分 21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分
依题意得
2
2
2
22
2
12123
-=，
………………………2分 x 2x 5
解方程得 x ＝10. ………………………3分 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分 答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分 22．解:(1) Δ＝(2k -3) -4⨯1⨯(k -3k )
2
2
22
………………………1分
＝4k -12k +9-4k +12k ＝9>0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分
(2) 解法一： 把x =0代入方程x 2-(2k -3) x +k 2-3k =0中，
得 k -3k =0，
解得 k =0，或k
=3． ………………………3分
2
当k =0时，原方程化为x +3x =0，
2
解得 x 1=-3，x 2=0； ………………………4分
2
当k =3时，原方程化为x -3x =0，
解得 x 1=3，x 2=0．
综上，原方程的另一个根x =-3，或x =3． ………………………5分 解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得
x 1，2=
(2k -3) ±(2k -3) ±3
， =
2⨯12
∴原方程的根为x 1=k ，x 2=k -3． ………………………3分 当x 1=k =0时，x 2=k -3=-3； ………………………4分 当x 2=k -3=0时，x 1=k =3．
综上，原方程的另一个根x =-3，或x =3． ………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．
∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分 （2）解法一：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，
D E
11A C O ∴OD ＝OB ＝BD ＝3，OA ＝OC ＝AC ＝4， 22
F 11B ∴S △DOC ＝OD ⋅OC ＝⨯3⨯4＝6． ………………………3分
22
在Rt △OBC 中，
BC ＝2+OC 2＝5，sin ∠OCB ＝作FH ⊥OC 于点H ，
在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝∴FH ＝
OB 3
＝． BC 5
3FH
＝， 5FC
312
CF ＝． ………………………4分 55111224
∴S △OCF ＝OC ⋅FH ＝⨯4⨯＝．
2255
∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋
2454＝． ………………………5分 55
解法二：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，
D E
11
∴OD ＝OB ＝BD ＝3，
OA ＝OC ＝AC ＝4，
22
∴S △DCB ＝
A
B F
C
11
DB ⋅OC ＝⨯6⨯4＝
12． ………………………3分 22
在Rt △OBC 中，
BC ＝OB 2+OC 2＝5，sin ∠OCB ＝作OG ⊥BC 于点G ，
∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC − CF＝5− 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝∴OG ＝
OB 3
＝． BC 5
OG 3
＝， OC 5
312OC ＝． ………………………4分 5511126
∴S △OBF ＝BF ⋅OG ＝⨯1⨯＝．
5225
(亿件∴S 四边形OFCD ＝S △DCB −S △OBF
＝12−
654
＝． 55
…………5分
24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；
补全条形统计图如图；
（2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分
年)
…………2分
答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．
（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，
∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，
∴∠EDO ＝90°． ………………………1分 ∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，
∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，
∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，
12⨯12144
＝． ………………………5分 1313
∴CD ＝BD ＝AB 2-AD 2＝12． ∴CE ＝
26．（1）1
（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分
∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，
五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线y =
12
x +bx +c 与y 轴交于点C (0，3) ， 2
∴c =3； ………………………1分 ∵抛物线y =∴-
12
x +bx +c 的对称轴为x =2， 2
=2， 12⨯2
解得b =-2， ………………………2分
12
∴抛物线C 1的解析式为y =x -2x +3． ………………………3分
2
12
（2）由题意，抛物线C 2的解析式为y =x +k ． ………………………4分
212
当抛物线经过点A (2，0) 时，⨯2+k ＝0，
2
解得k =-2． ………………………5分
b
∵O (0，0) ，B (2，2) ， ∴直线OB 的解析式为y =x ．
⎧y =x , ⎪由⎨， 12
y =x +k ⎪2⎩
得x -2x +2k =0，（*） 当Δ＝(-2) 2-4⨯1⨯2k ＝0，即k =
2
1
时， ………………………6分 2
抛物线C 2与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为x -2x +1=0， 解得x =1，
即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是-2
2
28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，
∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，
∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，
1
． ………………………7分 2
图1－1
∴∠1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，
∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1，
∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，
∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分 解法二：如图1－2， 过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°
即∠4＋∠5＝90°．
又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4．
在△AHE 和△BHF 中， ⎧∠1=∠2，
⎪
⎨AH =BH ，
⎪∠4=∠3，⎩
图1－2
∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ． ∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， ∴∠BEH ＝45°． ………………………4分
29．解：（1）令，解得， 3
图2
∴函数y =-2x +1的图象上有一个和谐点(
11
，) ； ………………………2分 33
＝x ，即x -x +1＝0， 令x +1
∵根的判别式Δ＝(-1) 2-4⨯1⨯1＝－3
22
＝0无实数根， ∴方程x -x +1
∴函数y =x 2+1的图象上不存在和谐点． 3分
2
（2）令ax +4x +c ＝x ，即ax +3x +c ＝0，2
由题意，Δ＝3-4ac ＝0，即4ac =9，
22
又方程的根为
-33
=， 2a 2
解得a =-1，c =-
2
9
．4分 4
3
，即y =-x 2+4x -3， 4
∴函数y =ax +4x +c -
如图，该函数图象顶点为(2，1) ，与y 轴交点为(0，－3) ， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3) ． ………………………5分
由于函数图象在对称轴x =2左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当0≤x ≤m 时，函数y =-x +4x -3的最小值为－3，最大值为1， ∴2≤m ≤4． ………………………6分 （3）－
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．
2
5