均值不等式

均值不等式

一、知识要点点拨

a2b21. (1)若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”） 2

ab*2. (1)若a,bR*，则）  (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”222

ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*2

3.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） xx

若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”） xxx

3.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”） ba

若ab0，则ababab） 2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22

15.对勾函数：y＝ax＋b x

函数图象如下：

6.利用均值不等式求最值

已知x，y都是正数，则：

如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；

1如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2。 4

可简记为“积定和最小，和定积最大”．

注意：一定要验证等号成立条件。

二、经典例题剖析

1.利用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二

定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和

转化成定值．“三相等”是利用基本定理求最值时，必须验证等号成立这一条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这是最容易发生错误的地方．

例1. 求下列函数的值域

x 2＋3x＋5x＋1（1）y = （2）y = x＋1 x＋3x＋5

11例2.已知a0,b0，则++2的最小值是（ ） abA.2

B.22 C.4 D.5 （2009重庆卷文）

1a例3.已知不等式(x+y)(+ ≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) xy

A.2 B.4 C.6 D.8 (2006陕西卷)

3xy6023例4.设x，y满足约束条件xy20 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则+abx0,y0

最小值为( ).

25811A. B. C. D. 4 (2009山东卷理) 633

2.条件求最值

在给出一定值要求最值时，一般都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

ab例5.已知a，b为正常数，x，y＝1，求x+y的最小值。 xy

例6.（1）求y=1-x的最大值；

y 2（2）已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y 的最大值. 2 2

3.利用均值不等式证明不等式

利用均值不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足均值不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．

例7.已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

例8.正数a、b、c满足a+b+c=1

(1)求证1-a1b1c8abc；

(2)求证1111118. abc

4.实际问题中的均值定理的应用

解实际应用题要注意以下几点：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值；

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

例9.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

三、大显身手

1.若a,bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

112baA.a2+b2>2ab B.a+b≥2ab > D.≥2 （2011上海卷理） ababab

2.如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么（ ）

A.ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 （2007北京卷理）

3.已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为 (2007上海卷理）

4.当x＞1时，求函数y＝x＋

1 的最小值 x－1

均值不等式

一、知识要点点拨

a2b21. (1)若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”） 2

ab*2. (1)若a,bR*，则）  (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”222

ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*2

3.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） xx

若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”） xxx

3.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”） ba

若ab0，则ababab） 2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”bababa

ab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22

15.对勾函数：y＝ax＋b x

函数图象如下：

6.利用均值不等式求最值

已知x，y都是正数，则：

如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；

1如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2。 4

可简记为“积定和最小，和定积最大”．

注意：一定要验证等号成立条件。

二、经典例题剖析

1.利用均值不等式求最值

利用均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二

定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和

转化成定值．“三相等”是利用基本定理求最值时，必须验证等号成立这一条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这是最容易发生错误的地方．

例1. 求下列函数的值域

x 2＋3x＋5x＋1（1）y = （2）y = x＋1 x＋3x＋5

11例2.已知a0,b0，则++2的最小值是（ ） abA.2

B.22 C.4 D.5 （2009重庆卷文）

1a例3.已知不等式(x+y)(+ ≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) xy

A.2 B.4 C.6 D.8 (2006陕西卷)

3xy6023例4.设x，y满足约束条件xy20 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则+abx0,y0

最小值为( ).

25811A. B. C. D. 4 (2009山东卷理) 633

2.条件求最值

在给出一定值要求最值时，一般都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

ab例5.已知a，b为正常数，x，y＝1，求x+y的最小值。 xy

例6.（1）求y=1-x的最大值；

y 2（2）已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y 的最大值. 2 2

3.利用均值不等式证明不等式

利用均值不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足均值不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的．

例7.已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

例8.正数a、b、c满足a+b+c=1

(1)求证1-a1b1c8abc；

(2)求证1111118. abc

4.实际问题中的均值定理的应用

解实际应用题要注意以下几点：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值；

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

例9.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

三、大显身手

1.若a,bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

112baA.a2+b2>2ab B.a+b≥2ab > D.≥2 （2011上海卷理） ababab

2.如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么（ ）

A.ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B.ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C.ab≤cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D.ab≥cd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 （2007北京卷理）

3.已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为 (2007上海卷理）

4.当x＞1时，求函数y＝x＋

1 的最小值 x－1