求分段函数的值域，最值，单调区间，零点的常用方法
梁关化，2015，11，17
分段函数在高考中常常是以小题出现，但有时却是小题中的难题。如今年北京，天津就是把它作为小题中的难题出。分段函数是一个函数，只是自变量取值不同时对应法则不同而已，但它又可以看成若干个函数组成的一个整体。故它的值域是若干个函数值域的并集，最值是由它们的最值比较而定，单调区间，零点也是它们综合起来而定。解题时，一般是先分段求解，再综合整理。其中常常用到数形结合，分类讨论等数学思想，零点问题常与方程结合，单调区间，最值，必要时还需要用导数解决。下面看题。
1、（2015年北京理科卷）
⎧2x -a ‚x
4x -a x -2a ‚x ≥1. )()⎪⎩(
①若a =1，则f (x )的最小值为
．
②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
⎧2x -1‚x
解析：①若a =1，则f (x )=⎨
4x -1x -2‚x ≥1. ()()⎪⎩1）数形结合法：
由图象得最小值为-1。
2）分段分析法：
当x
（另外，由图象得，单调递增区间为(-∞,1),(, +∞) ，单调递减区间为(1,) ，
3232
有三个零点）
②
1） 数形结合法：
若f (x )恰有2个零点，其图象如下：
1
≤a
2）分段分析方程法： 由图象得
当a ≤0时，两方程（2x -a =0(x 1
时，2
1
≤a
程2x -a =0(x
方程2x -a =0(x
1
故恰有2个零点，则实数a 的取值范围是：[,1) ⋃[2,+∞)
2
⎧⎪2-x , x ≤2,
2、（2015年天津卷理）已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，2
⎪⎩(x -2), x >2,
其中b ∈R ，若函数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）
7⎫⎛7⎫⎛
, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪
4⎭⎝4⎭⎝7⎫
4⎭
⎛7⎫, 2⎪ ⎝4⎭
（C ） 0, ⎪ （D ） 解析：1) 数形结合法。
⎛⎝
g (x ) 的解析式为：
2
⎧⎪b -x , x
⎪⎩b -2+x -2, x ≥0
f(x)，g(x)的图象如下：
由图象得b ∈
⎛7⎫
, 2⎪ ⎝4⎭
2）分段分析方程法：
当x
77时，方程无解；当b =或44
7
其积为正，故2-b>0，或由两根为小于零，则其最大的根要小于0，由此也解得b
0≤x ≤2时，方程f (x ) =g (x ) ⇔b -x =2-x ，当b =2时，方程有无数解；当b ≠2时，
方程无解；当x >2时，方程f (x ) =g (x ) ⇔x 2-5x +8-b =0，当b
7
时，方程无解；4
77
或b ≥2（小根小于或等于2）时，方程有一个解；当
综上所述，若函数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
⎛7⎫, 2⎪ ⎝4⎭
3） 排除法：分别以b =0, b =1, b =2代入相应的方程，从而排除B ，C ，A ，从而选D 。 （注：以上图象是用几何画板软件所画）
求分段函数的值域，最值，单调区间，零点的常用方法
梁关化，2015，11，17
分段函数在高考中常常是以小题出现，但有时却是小题中的难题。如今年北京，天津就是把它作为小题中的难题出。分段函数是一个函数，只是自变量取值不同时对应法则不同而已，但它又可以看成若干个函数组成的一个整体。故它的值域是若干个函数值域的并集，最值是由它们的最值比较而定，单调区间，零点也是它们综合起来而定。解题时，一般是先分段求解，再综合整理。其中常常用到数形结合，分类讨论等数学思想，零点问题常与方程结合，单调区间，最值，必要时还需要用导数解决。下面看题。
1、（2015年北京理科卷）
⎧2x -a ‚x
4x -a x -2a ‚x ≥1. )()⎪⎩(
①若a =1，则f (x )的最小值为
．
②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
⎧2x -1‚x
解析：①若a =1，则f (x )=⎨
4x -1x -2‚x ≥1. ()()⎪⎩1）数形结合法：
由图象得最小值为-1。
2）分段分析法：
当x
（另外，由图象得，单调递增区间为(-∞,1),(, +∞) ，单调递减区间为(1,) ，
3232
有三个零点）
②
1） 数形结合法：
若f (x )恰有2个零点，其图象如下：
1
≤a
2）分段分析方程法： 由图象得
当a ≤0时，两方程（2x -a =0(x 1
时，2
1
≤a
程2x -a =0(x
方程2x -a =0(x
1
故恰有2个零点，则实数a 的取值范围是：[,1) ⋃[2,+∞)
2
⎧⎪2-x , x ≤2,
2、（2015年天津卷理）已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，2
⎪⎩(x -2), x >2,
其中b ∈R ，若函数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）
7⎫⎛7⎫⎛
, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪
4⎭⎝4⎭⎝7⎫
4⎭
⎛7⎫, 2⎪ ⎝4⎭
（C ） 0, ⎪ （D ） 解析：1) 数形结合法。
⎛⎝
g (x ) 的解析式为：
2
⎧⎪b -x , x
⎪⎩b -2+x -2, x ≥0
f(x)，g(x)的图象如下：
由图象得b ∈
⎛7⎫
, 2⎪ ⎝4⎭
2）分段分析方程法：
当x
77时，方程无解；当b =或44
7
其积为正，故2-b>0，或由两根为小于零，则其最大的根要小于0，由此也解得b
0≤x ≤2时，方程f (x ) =g (x ) ⇔b -x =2-x ，当b =2时，方程有无数解；当b ≠2时，
方程无解；当x >2时，方程f (x ) =g (x ) ⇔x 2-5x +8-b =0，当b
7
时，方程无解；4
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或b ≥2（小根小于或等于2）时，方程有一个解；当
综上所述，若函数y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是
⎛7⎫, 2⎪ ⎝4⎭
3） 排除法：分别以b =0, b =1, b =2代入相应的方程，从而排除B ，C ，A ，从而选D 。 （注：以上图象是用几何画板软件所画）