初高中衔接教材第4讲集合(附答案)

第4讲 集合

1．集合的有关概念

回顾过去

在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的几何，有理数的集合，不等式x73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），…．．

1.1 集合的概念

那么集合的定义是什么？看下面的例子：

（1）1～20以内所有的素数； （2）高一30班所有学生；

（3）我们从2001～2010年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形 （5）方程x23x20的所有实数根； （6）四大洋． 分析：（1）中，我们把1～20以内的每个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，（2）中把高一30班每一个学生作为元素，这些元素的全体也组成了一个集合．

思考：上面的（3）～（6）能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集． 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；

“1～20以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合

以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法” ．

以上三个集合我们还可以表示成：{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山} 、 {2,3,5,7,11,13,17,19}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合A、B、C、P、Q……等等，例如集合A{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}，B{2,3,5,7,11,13,17,19}．同时，我们用小写拉丁字母a、b、c、……表示集合中的元素．

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A．某班个子较高的同学 C．我国著名数学家

B．相当大的实数 D．倒数等于它本身的数

练习1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【例2】用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集； （3）方程x22x150的解．

1.2元素与集合的关系

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个在不在这个集合中就确定了．例如“1～20以内所有的素数”构成一个集合，2、3、5在这个集合中，但是4、6、23就不在这个集合中．

一般地，如果a 是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA．

【例3】用符号“”或“”填空 （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国______A，美国______A，印度______A，英国______A．

（2）若xx的解集记为A，则1______A；

（3）若xx60的解集记为B，则1______B；

（4）所有满足1x10的整数x组成的集合记为C，则8____B，9.1____B．

1.3 集合中元素的特性

对于任何一个元素a和任意一个集合A，元素a要么在集合A中，要么不在A中，只有这两种关系．这是集合元素的第一个特性：确定性．

一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现．例如，若A{a,b}，则ab，这是集合元素的第二个特性：互异性．

集合中的元素没有一定的顺序．例如集合A{a,b,c}，集合A也可以写成A{b,c,a}，A{b,a,c}等等．这体现了集合元素的第三个特性：无序性． 1.4 特定集合及其记法

非负整数集（也叫自然数集），记作N，即 N{0,1,2,3,}

正整数集，记作N*或N，即 N*N{1,2,3,} 整数集，记作Z，即Z{2,1,0,1,2,} 有理数集，记作Q

实数集，记作R 1.5 集合的表示 （1）列举法

把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合． 例如，“1~20以内所有的素数”组成的集合，可以表示成{2,3,5,7,11,13,17,19} 50～100内的所有整数组成的集合{50,51,52,,99,100} 所有正奇数组成的集合{1,3,5,7,}

这里要注意，a 与{a}不同，a 表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素．

（2）描述法

思考：你能用描述法表示不等式x73的解集吗？

22

不能，因为这个集合的元素是列举不完的，但我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述这个集合．

不等式x73的解集中，所有元素的共同特点是：xR，且x73，即x10．所以我们可以把这个集合表示成：{xR|x10}．

又如，任何奇数都可以表示成x2k1(kZ)，所以所有奇数组成的集合我们可以记为 {xZ|x2k1,kZ}．

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体格式为：{xA|p(x)}． 【例4】用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x220的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合．

（3） 图示法

①数轴表示，例如，不等式x73的解集为{xR|x10}，可以表示为

②坐标平面表示法（用点和图形来表示）

211

3

513

717

19

③用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“1～20以内所有的素数”，如上图． 【例5】若a{1,1,a}，求a的值．

练习1．已知集合A{a3,2a1}，若3A，求a的值．

练习2．已知集合A包含三个元素，1,0,m，若mA，求m的值．

2

2

2. 集合间的基本关系

2.1 子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时称集合A是集合B的子集．

记作AB，或BA，读作：A包含于B，或B包含A． 用符号语言表示为：任意xAxB，则AB．

例如：{0,2,4,6,8}{偶数}，{梯形}{四边形} 用Venn图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）：

B

A

图（1） 图（2）

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含A时，则记作AB或BA． 例如：{三角形}{梯形}

有几个方面要注意的

（1）AB有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一个集合． （2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间． （3）子集的传递性：AB，且BC，那么AC．

（4）集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么AB．对于集合A，B，若有AB，BA，则有AB，如上面图（2）．

2.2 真子集

对于两个集合A，B，如果AB，但AB，我们就说集合A是集合B的真子集，

记作AB，或BA，读作A真包含于B，或B真包含A． 2.3 空集

把不含任何元素的集合叫做空集，记作．

规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，均有：A．

注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A，均有：A． 2.4 有限集合元素的个数

集合{a}的所有子集为：、{a}，共有2个子集；

集合{a,b}的所有子集为：、{a}、{b}、{a,b}，共有4个子集；

集合{a,b,c}的所有子集为：、{a}、{b}、{c}、{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个子集；

结论：含有n个元素的集合{a1,a2,a3,...,an}的所有子集个数是2n，所有真子集的个数2n1，非空真子集的个数为2n2．

【例1】 写出集合{1,2}及{1,2,3}的子集

练习1．已知集合{1,2}A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A

【例2】设a,bR,集合1,ab,a0,

b

,b,则b2010a2009=（ ） a

A．1 B．1 C．2 D． 2

ab0,b

【解析】:∵a,bR,集合 1,ab,a0,,b,又∵a0,∴

b1a

∴a1，则b

2010

a2009=2,故选C

练习2． 已知集合A{1,a,b}，B{a,a2,ab}，且A与B相等，求实数a，b的值

【例3】 已知集合A{x|x2x60}，B{x|ax10}，若BA，求实数a的值

练习3．已知集合A{4，1,m}，B{4,5}，若BA，求实数a的值

【例4】设集合Ax3xx0,Bxm1x2m1,若BA,求实数m的取值范围．

解：化简得，A{x|2x5}

①若B,得m12m1,解得m2,符合BA



2





m12m1

②若B,得m12即2m3时,有BA

2m15

综合①②,当m3时, BA

点评:考虑集合之间的包含关系时容易遗漏空集．

练习4．若A{x|1x6}，B{x|m1x2m1}，若BA，求实数m的取值范围．

A 组

1．若集合Ma,b,c中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

2．定义集合运算，Ａ＊Ｂ＝zzxy,xA,yB ，设A1,2，B0,2，则 集合Ａ＊Ｂ的所有元素之和是（ ）

A．0 B． ２ C．３ D．６ 3．已知集合Ａ＝2,3,4，B2,4,6,8，Ｃ(x,y)xA,yB,且log





x

yN，则Ｃ

中元素的个数是（ ）

A．9 B． 8 C．3 D．4 4．满足1,0,1M1,0,1,2,3,4的集合Ｍ的个数是（ ）

A．4 B． 6 C．7 D．8

5．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xxx0关系的韦恩（Venn）图是

2

A． B． C． D．

6．设集合Ａ＝1,2,a，Ｂ＝1,aa，若AＢ，则实数a的值为

2



7．若集合Axaxx10,aR至多有一个元素，则a的取值范围是 8. 集合Ax|axa3,Bx|x1或x5，若AB，求实数a的取值范围．



2



3.集合的基本运算 3.1交集与并集

由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，

记作A

B，即A

B{x|xA或xB}．

用Venn图表示为图（1）．

A

B

A

B

图（1）A

B 图（2）A

B

由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作A

B，即A

B{x|xA且xB}．

用Venn图表示为图（2）． 性质（1）A

（2）A

AA,A,ABBAA,AA,ABB

A A

（3）如果用 card A来表示有限集合A中的元素的个数,那么对于任意两个有限集A,B,有:card(AB)card(A)card(B)card(AB)

【例1】 设集合A{4,5,6,8}，B{3,5，7,8}，求A

【例2】设集合A{x|1x2}，B{x|1x3}，求AB，A解：方法1：AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x3}

AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x2} 方法2：用数轴表示

B．

B，AB

图（1）A

练习1．设集合A{x|3x1}，B{x|1x4}，求A

B，A

B．

B 图（2）A

B

3.2 全集与补集

如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

对于集合A而言，由全集U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作CUA，即CUA{x|xU,且xA}．

用Venn图（韦恩图）表示为：

UCUA

A

【例3】设U{x|x是小于9的正整数}，A{1,2,3}，B{3,4,5,6}，求CUA，CUB．

【例4】设A{x|2x10}，求CRA．

【例5】 设U{2,3,a22a3}，Aa1,2}，CUA{5}，求实数a的值．

【例6 】设集合A{x|x20}，B{x|x3}，求CRA，CRB，CRACR(A

B)，CR(A

B)．

B，ACRB，

摩根定律：(CUA)

(CUB)CU(A

B)，(CUA)

(CUB)CU(A

B)

A(CUA)U，A(CUA)

练习2．设U{1,2,3,4,5,6,7,8}，A{3,4,5}，B{4,6,7}，求CUA，CUB， (CUA)

(CUB)，(CUA)

(CUB)，CU(A

B)，CU(A

B)

A 组

1．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则M

N（ ）

1 A．0，

，0，1 B．11，2 C．0，

，0，1，2 D．1

U

2．已知全集U{1，2，3，4，5}，集合A{1,3}，B{3,4,5}，则集合

A．{3} B．{4,5}

C．{3,4,5}

(AB)（ ）

D．{1，2，4，5}

x1

1}，则AB= ． x2

4．若AxRx3，BxRx0，则AB．

3．设集合A{x|0x2}，B{x|5．已知集合Ax|x1，Bx|xa，且A

B 组

1．设全集U1,3,5,6,8,A1,6,B5,6,8,则(CUA)B( )

A．6 B． 5,8 C． 6,8 D． 3,5,6,8 2．设全集UZ,A1,0,1,2,Bxxx,则ACUB为( )

2

BR，则实数a的取值范围是_____．



A．1,2 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2

2

3．若集合Ayyx,1x1,Byy2x,0x1,则AB=____________





4．定义集合运算:ABzzxy(xy),xA,yB,设集合A0,1,B2,3,则集合AB的所有元素之和为( )

A．0 B． 6 C．12 D．18 5．若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A． AC B． CA C． AC D． A

6．已知全集U1,2,3,4,5,集合Axx23x20,Bxx2a,aA,则集合







CU(AB)中元素的个数为7．若Unn是小于9的正整数,AnUn是奇数,BnUn是3的倍数 则CU(AB)

8．已知集合Axxa,Bxx2,且A(CRB)R,则实数a的取值范围是





必修1 第一章 集合测试

1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A．学校篮球水平较高的学生 C．2007年所有的欧盟国家

B．校园中长的高大的树木

D．中国经济发达的城市

（ ）

xy2{2．方程组xy0的解构成的集合是

A．{(1,1)} B．{1,1} C．（1，1） D．{1}

3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ） A． a B． {a，c} C． {a，e} D．{a，b，c，d} 4．下列图形中，表示MN的是 （ ）

A

B

C

D

M

N

N

M

M

N

M

N

5．下列表述正确的是 （ ） A．{0} B． {0} C． {0} D． {0} 6．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参

加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A．A∩B B．AB C．A∪B D．AB 7．集合A={xx2k,kZ} ,B={xx2k1,kZ} ,C={xx4k1,kZ} 又aA,bB,则有 （ ） A．（a+b） A B． (a+b) B C．(a+b)  C D． (a+b)  A、B、C任一个8．集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若AB={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A． 1 B． 3 C． 4 D． 5

9．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是

A． 8

（ ）

B． 7 C． 6 D． 5

10．全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那

么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

A． AB B． AB C． CUACUB D． CUACUB

11．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则M

1 A．0，

N ( )

，0，1 C．0，0，1，2 1，2 D．1， B．1

12． 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是

A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定 （ ）

二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)

13．用描述法表示被3除余1的集合．

14．用适当的符号填空：

（1） {xx210}； （2）{1，2，；

（3）{1} {xx2x}； （4）{xx22x}．

15．含有三个实数的集合既可表示成{a,b,1}，又可表示成{a2,ab,0}，则a

a2003b2004．

16．已知集合U{x|3x3}，M{x|1x1}，CUN{x|0x2}那么集合N ，M(CUN)MN．

三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17． 已知集合A{xx240}，集合B{xax20}，若BA，求实数a的取值集合．

18． 已知集合A{xx7}，集合B{xa1x2a5}，若满足 AB{x3x7}，求实数a的值．

19． 已知方程x2axb0．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；

（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值

20． 已知集合A{x1x3}，B{yx2y,xA}，C{yy2xa,xA}，若满足

CB，求实数a的取值范围．

第四讲 集合练习答案

2. 集合间的基本关系

1．D 2．D 3．D 4．C

5． B 因为 N{1,0} ｛—1，0，1｝=M，

6．a1或a0

7．aa0或a

1 4

3．集合的基本运算答案

A组

1．B 2．D 3． x|0x1 解:得A=x|0x2 B=x|2x1 ∴A∩B=x|0x1．

4．（0，3）因为Ax|3x3,Bx|x0,所以AB(0,3)

5． a≤1 解:因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，则有a≤1．

B组

1．B 2．A 3．D 4．D解析: AB0,6,12,故AB的所有元素之和为18

5．A 提示：由ABBC知，ABB,ABCABC，

6．2 7．2,4,8 8．CRBxx1或x2 ,∵A(CRB)R,∴a2



必修1 第一章 集合测试参考答案：

一、1~5 CABCB 6~10 CBBCC 11~12 BB

二、13 {xx3n1,nZ},

14 （1）（2）{1，2，3}N； （3）{1}{xx2x}；（4）0{xx22x}； {xx210}；

15 16 N{x|3x0或2x3}；M(CUN){x|0x1}；

MN{x|3x1或2x3}．

三、17 ．{0．-1,1}； 18． a2； 19． (1) a2-4b=0 (2) a=-4, b=3 20． 2a3．

第4讲 集合

1．集合的有关概念

回顾过去

在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的几何，有理数的集合，不等式x73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），…．．

1.1 集合的概念

那么集合的定义是什么？看下面的例子：

（1）1～20以内所有的素数； （2）高一30班所有学生；

（3）我们从2001～2010年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形 （5）方程x23x20的所有实数根； （6）四大洋． 分析：（1）中，我们把1～20以内的每个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，（2）中把高一30班每一个学生作为元素，这些元素的全体也组成了一个集合．

思考：上面的（3）～（6）能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集． 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合；

“1～20以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合

以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法” ．

以上三个集合我们还可以表示成：{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山} 、 {2,3,5,7,11,13,17,19}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

像这样把集合一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 为简便起见，集合通常用大写字母表示，如集合A、B、C、P、Q……等等，例如集合A{泰山、衡山、华山、恒山、嵩山}，B{2,3,5,7,11,13,17,19}．同时，我们用小写拉丁字母a、b、c、……表示集合中的元素．

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A．某班个子较高的同学 C．我国著名数学家

B．相当大的实数 D．倒数等于它本身的数

练习1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【例2】用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数集；（2）自然数中不大于10的质数集； （3）方程x22x150的解．

1.2元素与集合的关系

给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个在不在这个集合中就确定了．例如“1～20以内所有的素数”构成一个集合，2、3、5在这个集合中，但是4、6、23就不在这个集合中．

一般地，如果a 是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；如果a 不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA．

【例3】用符号“”或“”填空 （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国______A，美国______A，印度______A，英国______A．

（2）若xx的解集记为A，则1______A；

（3）若xx60的解集记为B，则1______B；

（4）所有满足1x10的整数x组成的集合记为C，则8____B，9.1____B．

1.3 集合中元素的特性

对于任何一个元素a和任意一个集合A，元素a要么在集合A中，要么不在A中，只有这两种关系．这是集合元素的第一个特性：确定性．

一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现．例如，若A{a,b}，则ab，这是集合元素的第二个特性：互异性．

集合中的元素没有一定的顺序．例如集合A{a,b,c}，集合A也可以写成A{b,c,a}，A{b,a,c}等等．这体现了集合元素的第三个特性：无序性． 1.4 特定集合及其记法

非负整数集（也叫自然数集），记作N，即 N{0,1,2,3,}

正整数集，记作N*或N，即 N*N{1,2,3,} 整数集，记作Z，即Z{2,1,0,1,2,} 有理数集，记作Q

实数集，记作R 1.5 集合的表示 （1）列举法

把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合． 例如，“1~20以内所有的素数”组成的集合，可以表示成{2,3,5,7,11,13,17,19} 50～100内的所有整数组成的集合{50,51,52,,99,100} 所有正奇数组成的集合{1,3,5,7,}

这里要注意，a 与{a}不同，a 表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素．

（2）描述法

思考：你能用描述法表示不等式x73的解集吗？

22

不能，因为这个集合的元素是列举不完的，但我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述这个集合．

不等式x73的解集中，所有元素的共同特点是：xR，且x73，即x10．所以我们可以把这个集合表示成：{xR|x10}．

又如，任何奇数都可以表示成x2k1(kZ)，所以所有奇数组成的集合我们可以记为 {xZ|x2k1,kZ}．

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体格式为：{xA|p(x)}． 【例4】用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x220的所有根组成的集合；（2）大于10小于20的所有整数组成的集合．

（3） 图示法

①数轴表示，例如，不等式x73的解集为{xR|x10}，可以表示为

②坐标平面表示法（用点和图形来表示）

211

3

513

717

19

③用韦恩图（Venn图）表示，例如集合“1～20以内所有的素数”，如上图． 【例5】若a{1,1,a}，求a的值．

练习1．已知集合A{a3,2a1}，若3A，求a的值．

练习2．已知集合A包含三个元素，1,0,m，若mA，求m的值．

2

2

2. 集合间的基本关系

2.1 子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或者说集合B包含集合A，这时称集合A是集合B的子集．

记作AB，或BA，读作：A包含于B，或B包含A． 用符号语言表示为：任意xAxB，则AB．

例如：{0,2,4,6,8}{偶数}，{梯形}{四边形} 用Venn图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）：

B

A

图（1） 图（2）

当集合A不包含于集合B，或集合B不包含A时，则记作AB或BA． 例如：{三角形}{梯形}

有几个方面要注意的

（1）AB有两种可能：①A是B的一部分；②A与B是同一个集合． （2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间． （3）子集的传递性：AB，且BC，那么AC．

（4）集合相等，如果集合A与集合B中的元素是一样的，那么AB．对于集合A，B，若有AB，BA，则有AB，如上面图（2）．

2.2 真子集

对于两个集合A，B，如果AB，但AB，我们就说集合A是集合B的真子集，

记作AB，或BA，读作A真包含于B，或B真包含A． 2.3 空集

把不含任何元素的集合叫做空集，记作．

规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A，均有：A．

注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A，均有：A． 2.4 有限集合元素的个数

集合{a}的所有子集为：、{a}，共有2个子集；

集合{a,b}的所有子集为：、{a}、{b}、{a,b}，共有4个子集；

集合{a,b,c}的所有子集为：、{a}、{b}、{c}、{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个子集；

结论：含有n个元素的集合{a1,a2,a3,...,an}的所有子集个数是2n，所有真子集的个数2n1，非空真子集的个数为2n2．

【例1】 写出集合{1,2}及{1,2,3}的子集

练习1．已知集合{1,2}A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A

【例2】设a,bR,集合1,ab,a0,

b

,b,则b2010a2009=（ ） a

A．1 B．1 C．2 D． 2

ab0,b

【解析】:∵a,bR,集合 1,ab,a0,,b,又∵a0,∴

b1a

∴a1，则b

2010

a2009=2,故选C

练习2． 已知集合A{1,a,b}，B{a,a2,ab}，且A与B相等，求实数a，b的值

【例3】 已知集合A{x|x2x60}，B{x|ax10}，若BA，求实数a的值

练习3．已知集合A{4，1,m}，B{4,5}，若BA，求实数a的值

【例4】设集合Ax3xx0,Bxm1x2m1,若BA,求实数m的取值范围．

解：化简得，A{x|2x5}

①若B,得m12m1,解得m2,符合BA



2





m12m1

②若B,得m12即2m3时,有BA

2m15

综合①②,当m3时, BA

点评:考虑集合之间的包含关系时容易遗漏空集．

练习4．若A{x|1x6}，B{x|m1x2m1}，若BA，求实数m的取值范围．

A 组

1．若集合Ma,b,c中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

2．定义集合运算，Ａ＊Ｂ＝zzxy,xA,yB ，设A1,2，B0,2，则 集合Ａ＊Ｂ的所有元素之和是（ ）

A．0 B． ２ C．３ D．６ 3．已知集合Ａ＝2,3,4，B2,4,6,8，Ｃ(x,y)xA,yB,且log





x

yN，则Ｃ

中元素的个数是（ ）

A．9 B． 8 C．3 D．4 4．满足1,0,1M1,0,1,2,3,4的集合Ｍ的个数是（ ）

A．4 B． 6 C．7 D．8

5．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xxx0关系的韦恩（Venn）图是

2

A． B． C． D．

6．设集合Ａ＝1,2,a，Ｂ＝1,aa，若AＢ，则实数a的值为

2



7．若集合Axaxx10,aR至多有一个元素，则a的取值范围是 8. 集合Ax|axa3,Bx|x1或x5，若AB，求实数a的取值范围．



2



3.集合的基本运算 3.1交集与并集

由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，

记作A

B，即A

B{x|xA或xB}．

用Venn图表示为图（1）．

A

B

A

B

图（1）A

B 图（2）A

B

由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集， 记作A

B，即A

B{x|xA且xB}．

用Venn图表示为图（2）． 性质（1）A

（2）A

AA,A,ABBAA,AA,ABB

A A

（3）如果用 card A来表示有限集合A中的元素的个数,那么对于任意两个有限集A,B,有:card(AB)card(A)card(B)card(AB)

【例1】 设集合A{4,5,6,8}，B{3,5，7,8}，求A

【例2】设集合A{x|1x2}，B{x|1x3}，求AB，A解：方法1：AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x3}

AB{x|1x2}{x|1x3}{x|1x2} 方法2：用数轴表示

B．

B，AB

图（1）A

练习1．设集合A{x|3x1}，B{x|1x4}，求A

B，A

B．

B 图（2）A

B

3.2 全集与补集

如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．

对于集合A而言，由全集U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记作CUA，即CUA{x|xU,且xA}．

用Venn图（韦恩图）表示为：

UCUA

A

【例3】设U{x|x是小于9的正整数}，A{1,2,3}，B{3,4,5,6}，求CUA，CUB．

【例4】设A{x|2x10}，求CRA．

【例5】 设U{2,3,a22a3}，Aa1,2}，CUA{5}，求实数a的值．

【例6 】设集合A{x|x20}，B{x|x3}，求CRA，CRB，CRACR(A

B)，CR(A

B)．

B，ACRB，

摩根定律：(CUA)

(CUB)CU(A

B)，(CUA)

(CUB)CU(A

B)

A(CUA)U，A(CUA)

练习2．设U{1,2,3,4,5,6,7,8}，A{3,4,5}，B{4,6,7}，求CUA，CUB， (CUA)

(CUB)，(CUA)

(CUB)，CU(A

B)，CU(A

B)

A 组

1．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则M

N（ ）

1 A．0，

，0，1 B．11，2 C．0，

，0，1，2 D．1

U

2．已知全集U{1，2，3，4，5}，集合A{1,3}，B{3,4,5}，则集合

A．{3} B．{4,5}

C．{3,4,5}

(AB)（ ）

D．{1，2，4，5}

x1

1}，则AB= ． x2

4．若AxRx3，BxRx0，则AB．

3．设集合A{x|0x2}，B{x|5．已知集合Ax|x1，Bx|xa，且A

B 组

1．设全集U1,3,5,6,8,A1,6,B5,6,8,则(CUA)B( )

A．6 B． 5,8 C． 6,8 D． 3,5,6,8 2．设全集UZ,A1,0,1,2,Bxxx,则ACUB为( )

2

BR，则实数a的取值范围是_____．



A．1,2 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2

2

3．若集合Ayyx,1x1,Byy2x,0x1,则AB=____________





4．定义集合运算:ABzzxy(xy),xA,yB,设集合A0,1,B2,3,则集合AB的所有元素之和为( )

A．0 B． 6 C．12 D．18 5．若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A． AC B． CA C． AC D． A

6．已知全集U1,2,3,4,5,集合Axx23x20,Bxx2a,aA,则集合







CU(AB)中元素的个数为7．若Unn是小于9的正整数,AnUn是奇数,BnUn是3的倍数 则CU(AB)

8．已知集合Axxa,Bxx2,且A(CRB)R,则实数a的取值范围是





必修1 第一章 集合测试

1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A．学校篮球水平较高的学生 C．2007年所有的欧盟国家

B．校园中长的高大的树木

D．中国经济发达的城市

（ ）

xy2{2．方程组xy0的解构成的集合是

A．{(1,1)} B．{1,1} C．（1，1） D．{1}

3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 （ ） A． a B． {a，c} C． {a，e} D．{a，b，c，d} 4．下列图形中，表示MN的是 （ ）

A

B

C

D

M

N

N

M

M

N

M

N

5．下列表述正确的是 （ ） A．{0} B． {0} C． {0} D． {0} 6．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参

加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A．A∩B B．AB C．A∪B D．AB 7．集合A={xx2k,kZ} ,B={xx2k1,kZ} ,C={xx4k1,kZ} 又aA,bB,则有 （ ） A．（a+b） A B． (a+b) B C．(a+b)  C D． (a+b)  A、B、C任一个8．集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若AB={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A． 1 B． 3 C． 4 D． 5

9．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是

A． 8

（ ）

B． 7 C． 6 D． 5

10．全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那

么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

A． AB B． AB C． CUACUB D． CUACUB

11．设集合M{mZ|3m2}，N{nZ|1≤n≤3}，则M

1 A．0，

N ( )

，0，1 C．0，0，1，2 1，2 D．1， B．1

12． 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是

A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定 （ ）

二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)

13．用描述法表示被3除余1的集合．

14．用适当的符号填空：

（1） {xx210}； （2）{1，2，；

（3）{1} {xx2x}； （4）{xx22x}．

15．含有三个实数的集合既可表示成{a,b,1}，又可表示成{a2,ab,0}，则a

a2003b2004．

16．已知集合U{x|3x3}，M{x|1x1}，CUN{x|0x2}那么集合N ，M(CUN)MN．

三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17． 已知集合A{xx240}，集合B{xax20}，若BA，求实数a的取值集合．

18． 已知集合A{xx7}，集合B{xa1x2a5}，若满足 AB{x3x7}，求实数a的值．

19． 已知方程x2axb0．

（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；

（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值

20． 已知集合A{x1x3}，B{yx2y,xA}，C{yy2xa,xA}，若满足

CB，求实数a的取值范围．

第四讲 集合练习答案

2. 集合间的基本关系

1．D 2．D 3．D 4．C

5． B 因为 N{1,0} ｛—1，0，1｝=M，

6．a1或a0

7．aa0或a

1 4

3．集合的基本运算答案

A组

1．B 2．D 3． x|0x1 解:得A=x|0x2 B=x|2x1 ∴A∩B=x|0x1．

4．（0，3）因为Ax|3x3,Bx|x0,所以AB(0,3)

5． a≤1 解:因为A∪B=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，则有a≤1．

B组

1．B 2．A 3．D 4．D解析: AB0,6,12,故AB的所有元素之和为18

5．A 提示：由ABBC知，ABB,ABCABC，

6．2 7．2,4,8 8．CRBxx1或x2 ,∵A(CRB)R,∴a2



必修1 第一章 集合测试参考答案：

一、1~5 CABCB 6~10 CBBCC 11~12 BB

二、13 {xx3n1,nZ},

14 （1）（2）{1，2，3}N； （3）{1}{xx2x}；（4）0{xx22x}； {xx210}；

15 16 N{x|3x0或2x3}；M(CUN){x|0x1}；

MN{x|3x1或2x3}．

三、17 ．{0．-1,1}； 18． a2； 19． (1) a2-4b=0 (2) a=-4, b=3 20． 2a3．