模块01 数字通信概论
1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I (0) =-log 2
3
=0. 415bit 4
1
, 求出现0符号的信息量。 4
3
，0符号出现携带的信息量为： 4
1-2 某4ASK 系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。
1111
（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为, , , ，求每个振幅的信息量和各
2488
种振幅信息的平均信息量。
（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2μs ，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：
1
I (0) =-log 2=1bit
21
I (1) =-log 2=2bit
4
1
I (2) =-log 2=3bit
81
I (3) =-log 2=3bit
8
各种振幅的平均信息量为：
111111
H =-log 2-log 2-log 2=0. 5+0. 5+0. 75=1. 75bit /symbol
224448
1
⨯1. 75=875kb /s （2）R b =R B ⋅H =-6
2⨯10
1-3 某4PSK 数字通信系统用正弦波的四个相位0，π2, π, 3π2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。
（1） 若每秒钟内0，π2, π, 3π2出现的次数分别为500,125,125,250，求此
数字通信系统的码元速率和信息速率。
（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码
元速率和信息速率。
解：（1）R B =500+125+125+250=1000B
[***********]250250H =-log -log 2-log 2-log 2
[***********][***********]11111131
=-log 2-log 2-log 2-log 2=++=1. 75bit /sym bol
[1**********]R b =R B ⋅H =1000⨯1. 75=1. 75kb /s
（2）
R B =250⨯4=1000B
11
H =4(-log 2) =2bit /sym bol
44
R b =R B ⋅H =1000⨯2=2kb /s
1-4 某4PSK 数字通信系统，码t 元速率为1000B ，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：
P =10
e 1000⨯3600
≈2. 78⨯10-6
1-5 某系统经长期测定，它的误码率P e =10-5，系统码元速率为1200B ，问在多
少时间内可能收到360个错误码元。
解：t =360
10-5
⨯1200
=3⨯104秒≈8. 3小时
模块02 信号
2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：
⎧ （1）f (x ) =⎪1
⎨2a , -a ≤x ≤a
⎪⎩0, 其他
⎧2
（2）f (x ) =⎪1⎨⎪2a e -x a x ≥0
⎩
0, 其他解：（1）E (X ) =⎰a x f (x ) dx =⎰a
x
1-a -a 2a =14a [x 2]a -a =0
E (X ) =⎰a 2a 21-a x f (x ) dx =⎰-a x 2a dx =16a [x 3]a a 22-a =3
D (X ) =E (X ) -E (X ) =a 2 22
3
（2）
E (X ) =⎰
+∞
+∞
-
x 2x 2a
dx =⎰∞
1
-
x 2
a
1
xf (x ) dx =⎰
x
1
2a
e =-10-4
de
[e
-
a
4
]∞0=
4x 2
E (X 2) =⎰+∞
0x 212a e -a dx =12a 2! a a
1! (2) 3=
8
（根据积分公式：⎰x 2n e -x 2/a 2
dx =2n ! a 2n +1n ! (2
) ）
D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =a 12a -1
8-16=16
2-2 已知X (t ) 和Y (t ) 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为R X (τ), R Y (τ), P X (ω), P Y (ω) , 试求Z (t ) =X (t ) Y (t ) 的自相关函数和功率谱密度。
解：R Z (τ) =E [Z (t ) Z (t +τ)]=E [X (t ) Y (t ) X (t +τ) Y (t +τ)]=R X (τ) ⋅R Y (τ)
1
[P X (ω) *P Y (ω)] P Z (ω) =2π
2-3 设Z (t ) =X cos ωC t -Y cos ωC t 是一随机过程，若X 和Y 彼此统计独立，且均值都为0，方差均为σ2的高斯随机变量，试求： （1）Z (t ) 的均值和方差。
（2）Z (t ) 的一维概率密度函数。 （3）Z (t ) 的自相关函数。 解：（1）
E [Z (t )]=E [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=E [X ]cos ωc t -E [Y ]cos ωc t =0
2
2
2
D [Z (t )]=D [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=cos ωc t [D [X ]+D [Y ]]=2cos ωc t σ
（2）Z (t ) 为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f (z ) =
12cos(ωc t ) σ
-
z 2
4cos (ωc t ) σ
e
（3）
R [Z (t 1, t 2)]=E [(X cos ωc t 1-Y cos ωc t 1)(X cos ωc t 2-Y cos ωc t 2)]=
=E [X 2cos ωc t 1cos ωc t 2-2XY cos ωc t 1cos ωc t 2+Y 2cos ωc t 1cos ωc t 2] =2σ2cos(ωc t 1) cos(ωc t 2)
2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n 02的白噪声通过如图所示的RC 低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
-j ωt ⎧⎪ke d , f ≤f H
H (f ) =⎨
⎪⎩0, 其它处
所以有:
H (f ) =k 2, f ≤f H
2
输出信号的功率谱密度为:
P Y (f ) =H (f ) P X (f ) =k 2
2
n 0
, f ≤f H
2
输出信号的自相关函数:
R Y (τ) =⎰P Y (f ) e j ωτdf =(k 2n 0/4π) ⎰
-∞
∞
f H
-f H
e j ωτdf =k 2n 0f H (sin2πf H τ/2πf H τ)
模块03 信道
3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。
3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？
答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。
3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz 。
（1）试求信道输出信噪比为20dB 时的信道容量。
（2）若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比。
S
解：（1）由题意知=20dB =100, 由信道容量的公式有：
N S
C =B log 2(1+) =4000log 2(1+100) =2. 663⨯104=26. 63kb /s
N
（2）最小信噪比应为：
33. 6
S
=24-1=336. 794
N
3-4 假设彩色电视图像由5⨯105个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。 （1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。
（2）如果接收端信噪比为30dB, 试求传送彩色图像所需的信道带宽。 解：（1）每个像素的信息量为：
1
=10bit I P =-log 2
64⨯16
每秒25个画面所含的信息量为：25⨯5⨯105⨯10=125Mb /s 此时信道容量至少为：C =125Mb /s
S
（2）由信道容量公式：C =B log 2(1+) 有：
N
C 125
==12. 54MHz B =
S log 21001
log 2(1+)
N
模块05 模拟信号的数字化传输
5-1 一个信号s (t ) =2cos 400πt +6cos 40πt ，用f s =500Hz 的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz 的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？
解：原始信号含有两个频率成分f 1=20Hz , f 2=200Hz ，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz ，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.
5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用f s =8000Hz 对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB ，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？
解：设最小需要L 个量化电平，每个样值最少需要N 比特，则有：
S q
=20lg L N q 即：30=20lg L
L ≈32
2N =L 又由
L =32, N =5
5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f (x ) 如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （
解∆=0. 25，量化电平为
{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。
（2）按4电平进行均匀量化，信号功率S q 、噪声功率N q 如下： S q =⎰x f (x ) dx =⎰x (x +1) dx +⎰x 2(1-x ) dx =
-1
-1
1
2
2
1
1
≈0. 1667 6
N q =⎰
-0. 5
-1
(x +0. 75) 2(x +1) dx +⎰
10. 5
-0. 5
(x +0. 25) 2(x +1) dx +
=0. 0026041+0. 0078225+0. 0078125+0. 00260125≈0. 02084
S q 0. 1667=≈8 N q 0. 02084
5-4已知正弦波信号的最高频率f m =4kHz ，试分别设计一个PCM 系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB 的要求，求系统的信息速率。
解：由信号的最高频率f m =4k H z ，根据抽样定义选取抽样频率为
⎰
0. 5
(x -0. 25) 2(1-x ) dx +⎰(x -0. 75) 2(1-x ) dx
f s =2. 2f m =8. 8k H z
设对抽样值最小采用L 个量化值，有：
S q
=20lg L =30dB , 则L ≈32
N q
每个量化值至少需要N 个二进制码进行编码，则有：
2N =L , 现在L =32，则N =5
这个PCM 系统的信息速率为：
R b =8800⨯5⨯log 22=4. 4Mb /s
5-5 已知语音信号的最高频率f m =3400Hz ，若用PCM 系统传输，要求量化信噪比为30dB ，试求该PCM 系统的带宽。 解：由量化信噪比有：
S q
=20lg L =30
N q 最小量化级L ≈32
每个量化值需N 位 二进制进行编码有：
2N =L , N =5系统带宽：B =N ⨯f m =5⨯3400=17kHz
5-6 设有离散无记忆信源X 为
⎛x ⎫⎛x 1x 2x 3x 4x 5x 6⎫ P (x ) ⎪⎪= 0. 30. 20. 20. 10. 10. 1⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭
（1） 计算该信源的熵；
（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码； （3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。 解：（1）
H (x ) =-∑p (x i ) log 2p (x i ) =-0. 3log 20. 3-0. 4log 20. 2-0. 3log 20. 1≈2. 446
i =16
（2）
x 1码字：11 x 4码字：010 x 2码字：10 x 5码字：001
x 3码字：011 x 6码字：000 （4） 平均码长为：
l =0. 3⨯2+0. 2⨯2+0. 2⨯3+0. 1⨯3⨯3=2. 5
编码效率为： H (x ) 2. 446
η=-=≈97. 84%
2. 5
l
-
模块07 数字信号的基带传输
7-1 设输入码流为{1100101010},试将其编码为（1）双相码，（2）CMI 码和
（3）AMI 码，并画出响应的波形。 解：
7-2 设输入码流为{0100110000}，试将其编码为HDB 3码，并画出其波形图。
解：
7-3 设某基带系统的频率特性是截止频率为1MHz 、幅度为1的理想低通滤波器。
（1）试根据系统无码间串扰的时域条件，求此基带系统无码间串扰的码速率。（2）若信息传输速率3Mb/s，该系统能否实现无码间串扰？ 解：
（1）理想低通滤波器的幅频特性为：
1⎧
1, f ≤⎪
2T S H (f ) =⎨
⎪0, 其它⎩
πt
冲激响应为：h (t ) =Sa ()
T s
滤波器截止频率为：
11
=106Hz ，则=2⨯106 f c =2T s T s
理想低通滤波器实现无码间串扰的最大码元速率为：
1
R B max ==2⨯106Baud
T s
（2）若信息传输速率为：R b =3⨯106b /s
若传送的是二进制码元，则有R B =R b =3⨯106Baud >R BMAX ，系统不能实现无码间串扰。
若传送的是四进制码元，则有R B =
R b
log 24
=1. 5⨯106Baud
统能实现无码间串扰。其它进制类推。
7-4 某给定低通型信道的带宽为3000Hz ，在此信道上进行基带传输，当基带形成滤波器特性分别为理想低通、50%升余弦滚降、100%升余弦滚降时，确定无码间串扰传输的最高码速率及相应的频带利用率。
解：对于升余弦滚降系统，所需带宽与码元传输速率的关系为：
1
W =(1+a ) R B
2
(1) 理想低通时，a =0
最大码元速率为：R B =2W =6000Baud
R B
=2B /Hz W
（2）a =50%升余弦滚降
2W 6000
==4000Baud 最大码元速率为：R B =频带利用率为：η=
1. 51. 5
R 4000
=1. 33B /Hz 频带利用率为：η=B =
W 3000
（3）a =100%生余弦滚降
2W
=3000Baud 最大码元速率为：R B =2
频带利用率为：η=
R B
=1B /Hz W
模块08 数字信号的频带传输
8-1 设发送数字信息为[1**********]0，试分别画出2ASK 、2FSK 、2PSK 和2DPSK 信号的波形。 解：
8-2 在某2FSK 系统中，发送符号“1”的频率f 1=980Hz ，发送符号“0”的频率f 2=2180Hz , 且发送概率相等，码元速率为R B =300B , 信道有效带宽为3000Hz ，信道输出端的信噪比为6dB . (1) 试求2FSK 信号的谱零点带宽。
(2) 若采用非相干解调，试求系统的误码率。 (3) 若采用相干解调，试求系统的误码率。 解：（1）2FSK 信号的谱零点带宽为：
1
B =f 2-f 1+2f s =2180-+2=1200+2R B =1200+600=1800Hz
T s
（2）若采用非相干解调，系统误码率为：
r
1-21-31
P e =e =e =3=0.0249
222e
（3）若采用相干解调，系统误码率为：
1r 131
erfc () =erfc () =erfc (1. 2247) ≈0. 035 22222
（查表知erfc (1. 28) =0. 07026580）
8-3 假设在4KHz 带宽的电话信道中分别采用2ASK 、2FSK 和2PSK 方式传输，发送载波幅度为10V ，电话信道衰减为1dB /km , n 0=1⨯10-8W /Hz ，要求系统 P e =
误码率为10-5。若采用相干解调，试分别求2ASK 、2FSK 和2PSK 能达到的最大通信距离。 解：(1)2ASK系统
接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2ASK =10-8⨯4000=4⨯10-5W , 误码率都保持在10-5时，即相干解调P e =
1r
erfc () =10-5，查表求得r =36. 13，信号功率22
,
信
号
幅
度
为
：
为：
S =36. 13⨯4⨯10-5=144. 5⨯10-5W
a =2S =2⨯144. 5⨯10-5V =5. 38⨯10-2V , 由10V 衰减到5. 38⨯10-2V ，衰减的
10
=45. 3dB , 故2ASK 信号最远传输距离为分贝（dB ）数为20lg -2
5. 38⨯10
45.4km 。
（2）2FSK 系统
接收机上、下之路带通滤波器的带宽为2kHz 。接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2FSK =10-8⨯2000=2⨯10-5W ，误码率都保持在10-5时，即相干解调 P e =
1r
erfc () =10-5, 查表求得r =18. 07，信号功率为： 22
S =18. 07⨯2⨯10-5=36. 14⨯10-5W
信号幅度为：a =2S =2⨯36. 14⨯10-5V =2. 69⨯10-2V
由10V 衰减到2. 69⨯10-2V ，衰减的分贝（dB ）数为
10
20lg =51. 4dB , 故2FSK 信号传输距离为51.4km. -2
2. 69⨯10
(3)2PSK系统
接收机噪声功率为N =n o ⨯B 2PSK =10-8⨯4000W =4⨯10-5W , 误码率都保持
1
在10-5时，即相干解调P e =erfc (r ) =10-5，查表求得r =9，信号功率为：
2
S =9. 035⨯4⨯10-5W =36. 14⨯10-5W , 可见2PSK 信号传输距离与2FSK 的相同，为51.3km.
模块09 数字复用技术 9-1 对于标准PCM30/32路制式基群系统，试计算： （1）每个时隙时间宽度； （2）每帧时间宽度； （3）信息传输速率； （4）每比特时间宽度。 解：（1）每个时隙时间宽度为
125
=3. 9μs t C =32
（2）每帧时间宽度为 T s =1/8000=125μs （3）信息传输速率为
R b =8000⨯32⨯8=2048kb /s
11
或 R b ===2048kb /s
t b 0. 488
（4）每比特时间宽度
3. 9
=0. 488μs t b =8
9-2 有32路模拟话音采用时分复用PCM 方式传输。每路话音信号带宽为4kHz , 采用奈奎斯特速率抽样和每样值8比特编码，PCM 脉冲宽度为τ。占空比为100%。试计算脉冲宽度τ。
解：抽样频率为f s =2f H =8kHz
总码率为：32⨯f s ⨯8=2048kb /s
1
=488ns 占空比为100%，则τ=T s =
2048⨯103
模块10 数字信号的最佳接收 10-1 什么是最佳接收？最佳接收准则是什么？
答：最佳接收就是研究在噪声干扰的情况下如何有效地检测信号，最佳接收理论又称为信号检测理论。
最佳接收准则是最大信噪比接收准则和最小差错概率接收准则。
10-2 简述匹配滤波器的工作原理，并说明匹配滤波器的传输函数和单位冲激响
应与输入信号的关系。
答：线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号信噪比最大的线
性滤波器称为匹配滤波器。
匹配滤波器的传输特性为： H (f ) =kS *(f ) e -j 2πft 0
其中S (f ) 为输入信号的傅里叶变换。 匹配滤波器的冲激响应： h (t ) =ks (t 0-t )
其中s (t ) 为输入信号。
10-3 什么是最小差错概率准则？什么是似然比准则？什么是最大似然比准则？
三者之间有什么相同和不同之处？
答：使输出总的错误概率最小的接收准则称为最小差错概率准则。
P e =P (1) P e 1+P (0) P e 0
似然比准则为：
P (1) f 0(r ) >, 判为1
P (0) f 1(r ) P (1) f 0(r )
P (0) f 1(r )
2其中： ⎧1T s ⎫1
[]f (r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬00 k ⎰0n ⎩0⎭πσn
2⎧1T s ⎫1
[]f 1(r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬1k ⎰0 n 0⎩⎭2πσn
最大似然比准则为：P (1) =P (0) 时
若f 0(r ) > f 1(r ) ，则判为“0” 若f 0(r )
模块12 信道编码
12-1已知八个码组为000000,001110,010101, 011011,100011, 101101, 110110, 111000.
（1）试求该码组的最小码距。
（2）若该码用于检错，能检出几位错码？ （3）若该码用于纠错，能纠正几位错码？
（4）若该码同时用于检错和纠错，能检出、纠正几位错码？ 解：（1）通过计算该码组的最小码距为d 0=3 （2） 因为d 0≥2+1，所以该码组能检出2个错码。 (3) 因为d 0≥2⨯1+2，所以该码组能纠正1位错码。
（4）因为d 0≥1+1+1，所以该码组能检出1位错码、纠正1位错码。
12-2 已知某循环码的监督矩阵为：
⎡1101100⎤
⎥ 1110010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣0111001⎥⎦
（1）试求其生成矩阵。
（2）写出所有可能的码组。 解：（1）有监督矩阵可知此循环码为（7,4）线性分组码。根据生成矩阵和监督矩阵的关系，可求出生成矩阵为：
⎡1000110⎤⎢0100111⎥
⎥ G =⎢
⎢0010011⎥⎢⎥0001101⎣⎦
（2）设所有可能的信息元为M,M 中每一行为一种可能的信息元，共16行即16种所有可能的信息元。M 与生成矩阵G 相乘，可得所有码组A 。矩阵A 中每一行就是一个码组，共有16个可能的码组。
MG =A
⎡0000⎤⎡0⎢0001⎥⎢0⎢⎥⎢⎢0010⎥⎢0⎢⎥⎢0011⎢⎥⎢0⎢0100⎥⎢0⎢⎥⎢0101⎢⎥⎢0⎢0110⎥⎡1000110⎤⎢0⎢⎥⎢⎢⎥
⎢0111⎥⎢0100111⎥⎢0⎢1000⎥⋅∙⎢0010011⎥=⎢1⎢⎥⎢⎥⎢⎢1001⎥⎣0001101⎦⎢1⎢⎥⎢1010⎢⎥⎢1⎢1011⎥⎢1⎢⎥⎢1100⎢⎥⎢1⎢1101⎥⎢1⎢⎥⎢1110⎢⎥⎢1⎢1111⎥⎢1⎣⎦⎣
12-3 已知（7,4）码的生成矩阵为：
⎡1000⎢0100G =⎢
⎢0010⎢
⎣0001
000000⎤001101⎥⎥010011⎥
⎥
011110⎥100111⎥
⎥
101010⎥110100⎥
⎥
111001⎥000110⎥
⎥
001011⎥
⎥
010101⎥011000⎥
⎥
100001⎥101100⎥
⎥
110010⎥ 111111⎥⎦
11011011
1⎤1⎥⎥ 1⎥⎥0⎦
（1）写出所有可能的码组。 （2）试求其监督矩阵。 解：（1）略。（同12-2同理）
（2）根据生成矩阵和监督关系，知监督矩阵为：
⎡1101100⎤
⎥ 1011010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣1110001⎥⎦12-4 设线性码的生成矩阵为：
⎡001011⎤
⎥ 100101 G =⎢⎢⎥
⎢⎣010110⎥⎦
（1） 写出监督矩阵，确定（n,k ）码中的n 和k 。 （2） 写出该（n,k ）码的所有码字。
（3） 确定最小码距d 0，并分析其检纠错能力。 （4）
解：通过分析知该生成矩阵不是典型的生成矩阵，可通过矩阵运算，将其转变成典型生成矩阵，为：
⎡100101⎤
⎥ 010110 G =⎢⎢⎥
⎢⎣001011⎥⎦（1） 该码组为（6,3）线性分组码，监督矩阵为： ⎡110100⎤
⎥ 011010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣101001⎥⎦
（2） 该码组中信息位为3为，所有可能的信息为23=8种，写成矩阵M ，M 为8行3列的矩阵，M 乘以生成矩阵G 得矩阵A ，A 中每行为一码组，所有可能的码组共8个，所以A 为8行6列的矩阵。详细如下： MG =A ⎡000⎤⎡000000⎤⎢001⎥⎢001011⎥⎢⎥⎢⎥⎢010⎥⎢010110⎥⎢⎥⎡100101⎤⎢⎥011011101⎢⎥⎢⎥∙010110=⎢⎥
⎥⎢100101⎥⎢100⎥⎢
001011⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢101110⎥101⎢⎥⎢⎥
⎢110⎥⎢110011⎥⎢⎥⎢⎥⎢111⎦⎥⎢111000⎦⎥⎣⎣
(3)根据线性分组码的封闭性，最小码距等于码组的最小码重。这组码的最小码距为d 0=3，能检测2位错码，能纠正1位错码，能同时检测1位错码和纠正1位错码。
12-5 已知（15，,11）汉明码的生成多项式为g (x ) =x 4+x 3+1，试求其生成矩阵和监督矩阵。 解：
⎡x 14+x 13+x 10⎤⎡[**************]⎤⎢13⎢[**************]⎥129⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥12118⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢11⎢⎥107⎥[**************]x +x +x ⎢⎥⎢⎥1096⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥
G (x ) =⎢x 9+x 8+x 5⎥G =⎢[**************]⎥
⎢x 8+x 7+x 4⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥763⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢652⎥⎢[**************]⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥
54
⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢4⎥⎢⎥3
x +x +[**************]1⎣⎦⎣⎦
可将G 矩阵不是典型的生成矩阵，通过矩阵运算可得生成典型生成矩阵。
⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥G =⎢[**************]⎥
⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎦监督矩阵为：
⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥
⎥ H =⎢
⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎣⎦12-6已知（7,3）循环码的监督关系式为： ⎧a 6+a 3+a 2+a 1=0⎪a +a +a +a =0⎪5210
⎨
a +a +a =051⎪6⎪⎩a 5+a 4+a 0=0
试求其循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由监督关系式有： HA T =0
⎡⎢a 6⎤⎡⎢a ⎥⎢1001110⎤5
⎥⎡0⎤⎢0100111⎥⎢⎢a 4⎥⎢⎢1100010⎥⎢⎥⎥⎢a ⎥3
⎥=⎢0⎥
⎣0
11000
1⎥⎢⎢0⎥⎦⎢a 2⎥⎢a ⎥⎢⎣0⎥⎦⎢1⎥⎣a 0⎥⎦
由矩阵的初等变换可得典型监督矩阵
⎡⎢1011000⎤H =⎢
1110100⎥
⎢⎢1100010⎥⎥ ⎣0110001⎥⎦
根据监督矩阵和生成矩阵的关系可得生成矩阵为：
⎡1001110⎤
G =⎢⎢0100111⎥ ⎢0011101⎥
⎣⎥⎦
12-7 已知（15,5）循环码的生成多项式为g (x ) =x 10+x 8+x 5+x 4+x +1，（1）试求该码的生成矩阵；
（2）写出信息码为 m (x ) =x 4+x +1 时的码多项式。 解：（1）由生成多项式可得生成矩阵为：
⎡⎢x 14+x 12+x 9+x 8+x 5+x 4⎤⎢x 13+x 11+x 8+x 7+x 4+x 3⎥G (x ) =⎢⎢x 12+x 10+x 7⎥+x 6+x 3+x 2
⎥
⎢x 11+x 9+x 6+x 5+x 2+x ⎥⎢⎥⎣x 10+x 8+x 5+x 4+x +1⎥⎦
⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥G =⎢⎢⎢[**************]⎥⎥
⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎥⎦(2)由信息码多项式得信息码元为m=（10011）,mG=A
⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥[10011]
⋅⎢
⎢⎢
[**************]⎥⎥
⎢[**************]⎥
⎢⎥⎣0000101001
10011⎥[⎦
[**************]] 由码组可得码多项式为：
T (x ) =x 14+x 12+x 11+x 10+x 6+x 5+x 2+1
=
http://cs.fjzs.edu.cn/ketang/txyl/txtexts/txxitiwb/txli7.htm
模块01 数字通信概论
1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I (0) =-log 2
3
=0. 415bit 4
1
, 求出现0符号的信息量。 4
3
，0符号出现携带的信息量为： 4
1-2 某4ASK 系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。
1111
（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为, , , ，求每个振幅的信息量和各
2488
种振幅信息的平均信息量。
（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2μs ，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：
1
I (0) =-log 2=1bit
21
I (1) =-log 2=2bit
4
1
I (2) =-log 2=3bit
81
I (3) =-log 2=3bit
8
各种振幅的平均信息量为：
111111
H =-log 2-log 2-log 2=0. 5+0. 5+0. 75=1. 75bit /symbol
224448
1
⨯1. 75=875kb /s （2）R b =R B ⋅H =-6
2⨯10
1-3 某4PSK 数字通信系统用正弦波的四个相位0，π2, π, 3π2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。
（1） 若每秒钟内0，π2, π, 3π2出现的次数分别为500,125,125,250，求此
数字通信系统的码元速率和信息速率。
（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码
元速率和信息速率。
解：（1）R B =500+125+125+250=1000B
[***********]250250H =-log -log 2-log 2-log 2
[***********][***********]11111131
=-log 2-log 2-log 2-log 2=++=1. 75bit /sym bol
[1**********]R b =R B ⋅H =1000⨯1. 75=1. 75kb /s
（2）
R B =250⨯4=1000B
11
H =4(-log 2) =2bit /sym bol
44
R b =R B ⋅H =1000⨯2=2kb /s
1-4 某4PSK 数字通信系统，码t 元速率为1000B ，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：
P =10
e 1000⨯3600
≈2. 78⨯10-6
1-5 某系统经长期测定，它的误码率P e =10-5，系统码元速率为1200B ，问在多
少时间内可能收到360个错误码元。
解：t =360
10-5
⨯1200
=3⨯104秒≈8. 3小时
模块02 信号
2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：
⎧ （1）f (x ) =⎪1
⎨2a , -a ≤x ≤a
⎪⎩0, 其他
⎧2
（2）f (x ) =⎪1⎨⎪2a e -x a x ≥0
⎩
0, 其他解：（1）E (X ) =⎰a x f (x ) dx =⎰a
x
1-a -a 2a =14a [x 2]a -a =0
E (X ) =⎰a 2a 21-a x f (x ) dx =⎰-a x 2a dx =16a [x 3]a a 22-a =3
D (X ) =E (X ) -E (X ) =a 2 22
3
（2）
E (X ) =⎰
+∞
+∞
-
x 2x 2a
dx =⎰∞
1
-
x 2
a
1
xf (x ) dx =⎰
x
1
2a
e =-10-4
de
[e
-
a
4
]∞0=
4x 2
E (X 2) =⎰+∞
0x 212a e -a dx =12a 2! a a
1! (2) 3=
8
（根据积分公式：⎰x 2n e -x 2/a 2
dx =2n ! a 2n +1n ! (2
) ）
D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =a 12a -1
8-16=16
2-2 已知X (t ) 和Y (t ) 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为R X (τ), R Y (τ), P X (ω), P Y (ω) , 试求Z (t ) =X (t ) Y (t ) 的自相关函数和功率谱密度。
解：R Z (τ) =E [Z (t ) Z (t +τ)]=E [X (t ) Y (t ) X (t +τ) Y (t +τ)]=R X (τ) ⋅R Y (τ)
1
[P X (ω) *P Y (ω)] P Z (ω) =2π
2-3 设Z (t ) =X cos ωC t -Y cos ωC t 是一随机过程，若X 和Y 彼此统计独立，且均值都为0，方差均为σ2的高斯随机变量，试求： （1）Z (t ) 的均值和方差。
（2）Z (t ) 的一维概率密度函数。 （3）Z (t ) 的自相关函数。 解：（1）
E [Z (t )]=E [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=E [X ]cos ωc t -E [Y ]cos ωc t =0
2
2
2
D [Z (t )]=D [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=cos ωc t [D [X ]+D [Y ]]=2cos ωc t σ
（2）Z (t ) 为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f (z ) =
12cos(ωc t ) σ
-
z 2
4cos (ωc t ) σ
e
（3）
R [Z (t 1, t 2)]=E [(X cos ωc t 1-Y cos ωc t 1)(X cos ωc t 2-Y cos ωc t 2)]=
=E [X 2cos ωc t 1cos ωc t 2-2XY cos ωc t 1cos ωc t 2+Y 2cos ωc t 1cos ωc t 2] =2σ2cos(ωc t 1) cos(ωc t 2)
2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n 02的白噪声通过如图所示的RC 低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
-j ωt ⎧⎪ke d , f ≤f H
H (f ) =⎨
⎪⎩0, 其它处
所以有:
H (f ) =k 2, f ≤f H
2
输出信号的功率谱密度为:
P Y (f ) =H (f ) P X (f ) =k 2
2
n 0
, f ≤f H
2
输出信号的自相关函数:
R Y (τ) =⎰P Y (f ) e j ωτdf =(k 2n 0/4π) ⎰
-∞
∞
f H
-f H
e j ωτdf =k 2n 0f H (sin2πf H τ/2πf H τ)
模块03 信道
3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。
3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？
答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。
3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz 。
（1）试求信道输出信噪比为20dB 时的信道容量。
（2）若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比。
S
解：（1）由题意知=20dB =100, 由信道容量的公式有：
N S
C =B log 2(1+) =4000log 2(1+100) =2. 663⨯104=26. 63kb /s
N
（2）最小信噪比应为：
33. 6
S
=24-1=336. 794
N
3-4 假设彩色电视图像由5⨯105个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。 （1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。
（2）如果接收端信噪比为30dB, 试求传送彩色图像所需的信道带宽。 解：（1）每个像素的信息量为：
1
=10bit I P =-log 2
64⨯16
每秒25个画面所含的信息量为：25⨯5⨯105⨯10=125Mb /s 此时信道容量至少为：C =125Mb /s
S
（2）由信道容量公式：C =B log 2(1+) 有：
N
C 125
==12. 54MHz B =
S log 21001
log 2(1+)
N
模块05 模拟信号的数字化传输
5-1 一个信号s (t ) =2cos 400πt +6cos 40πt ，用f s =500Hz 的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz 的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？
解：原始信号含有两个频率成分f 1=20Hz , f 2=200Hz ，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz ，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.
5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用f s =8000Hz 对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB ，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？
解：设最小需要L 个量化电平，每个样值最少需要N 比特，则有：
S q
=20lg L N q 即：30=20lg L
L ≈32
2N =L 又由
L =32, N =5
5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f (x ) 如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （
解∆=0. 25，量化电平为
{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。
（2）按4电平进行均匀量化，信号功率S q 、噪声功率N q 如下： S q =⎰x f (x ) dx =⎰x (x +1) dx +⎰x 2(1-x ) dx =
-1
-1
1
2
2
1
1
≈0. 1667 6
N q =⎰
-0. 5
-1
(x +0. 75) 2(x +1) dx +⎰
10. 5
-0. 5
(x +0. 25) 2(x +1) dx +
=0. 0026041+0. 0078225+0. 0078125+0. 00260125≈0. 02084
S q 0. 1667=≈8 N q 0. 02084
5-4已知正弦波信号的最高频率f m =4kHz ，试分别设计一个PCM 系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB 的要求，求系统的信息速率。
解：由信号的最高频率f m =4k H z ，根据抽样定义选取抽样频率为
⎰
0. 5
(x -0. 25) 2(1-x ) dx +⎰(x -0. 75) 2(1-x ) dx
f s =2. 2f m =8. 8k H z
设对抽样值最小采用L 个量化值，有：
S q
=20lg L =30dB , 则L ≈32
N q
每个量化值至少需要N 个二进制码进行编码，则有：
2N =L , 现在L =32，则N =5
这个PCM 系统的信息速率为：
R b =8800⨯5⨯log 22=4. 4Mb /s
5-5 已知语音信号的最高频率f m =3400Hz ，若用PCM 系统传输，要求量化信噪比为30dB ，试求该PCM 系统的带宽。 解：由量化信噪比有：
S q
=20lg L =30
N q 最小量化级L ≈32
每个量化值需N 位 二进制进行编码有：
2N =L , N =5系统带宽：B =N ⨯f m =5⨯3400=17kHz
5-6 设有离散无记忆信源X 为
⎛x ⎫⎛x 1x 2x 3x 4x 5x 6⎫ P (x ) ⎪⎪= 0. 30. 20. 20. 10. 10. 1⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭
（1） 计算该信源的熵；
（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码； （3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。 解：（1）
H (x ) =-∑p (x i ) log 2p (x i ) =-0. 3log 20. 3-0. 4log 20. 2-0. 3log 20. 1≈2. 446
i =16
（2）
x 1码字：11 x 4码字：010 x 2码字：10 x 5码字：001
x 3码字：011 x 6码字：000 （4） 平均码长为：
l =0. 3⨯2+0. 2⨯2+0. 2⨯3+0. 1⨯3⨯3=2. 5
编码效率为： H (x ) 2. 446
η=-=≈97. 84%
2. 5
l
-
模块07 数字信号的基带传输
7-1 设输入码流为{1100101010},试将其编码为（1）双相码，（2）CMI 码和
（3）AMI 码，并画出响应的波形。 解：
7-2 设输入码流为{0100110000}，试将其编码为HDB 3码，并画出其波形图。
解：
7-3 设某基带系统的频率特性是截止频率为1MHz 、幅度为1的理想低通滤波器。
（1）试根据系统无码间串扰的时域条件，求此基带系统无码间串扰的码速率。（2）若信息传输速率3Mb/s，该系统能否实现无码间串扰？ 解：
（1）理想低通滤波器的幅频特性为：
1⎧
1, f ≤⎪
2T S H (f ) =⎨
⎪0, 其它⎩
πt
冲激响应为：h (t ) =Sa ()
T s
滤波器截止频率为：
11
=106Hz ，则=2⨯106 f c =2T s T s
理想低通滤波器实现无码间串扰的最大码元速率为：
1
R B max ==2⨯106Baud
T s
（2）若信息传输速率为：R b =3⨯106b /s
若传送的是二进制码元，则有R B =R b =3⨯106Baud >R BMAX ，系统不能实现无码间串扰。
若传送的是四进制码元，则有R B =
R b
log 24
=1. 5⨯106Baud
统能实现无码间串扰。其它进制类推。
7-4 某给定低通型信道的带宽为3000Hz ，在此信道上进行基带传输，当基带形成滤波器特性分别为理想低通、50%升余弦滚降、100%升余弦滚降时，确定无码间串扰传输的最高码速率及相应的频带利用率。
解：对于升余弦滚降系统，所需带宽与码元传输速率的关系为：
1
W =(1+a ) R B
2
(1) 理想低通时，a =0
最大码元速率为：R B =2W =6000Baud
R B
=2B /Hz W
（2）a =50%升余弦滚降
2W 6000
==4000Baud 最大码元速率为：R B =频带利用率为：η=
1. 51. 5
R 4000
=1. 33B /Hz 频带利用率为：η=B =
W 3000
（3）a =100%生余弦滚降
2W
=3000Baud 最大码元速率为：R B =2
频带利用率为：η=
R B
=1B /Hz W
模块08 数字信号的频带传输
8-1 设发送数字信息为[1**********]0，试分别画出2ASK 、2FSK 、2PSK 和2DPSK 信号的波形。 解：
8-2 在某2FSK 系统中，发送符号“1”的频率f 1=980Hz ，发送符号“0”的频率f 2=2180Hz , 且发送概率相等，码元速率为R B =300B , 信道有效带宽为3000Hz ，信道输出端的信噪比为6dB . (1) 试求2FSK 信号的谱零点带宽。
(2) 若采用非相干解调，试求系统的误码率。 (3) 若采用相干解调，试求系统的误码率。 解：（1）2FSK 信号的谱零点带宽为：
1
B =f 2-f 1+2f s =2180-+2=1200+2R B =1200+600=1800Hz
T s
（2）若采用非相干解调，系统误码率为：
r
1-21-31
P e =e =e =3=0.0249
222e
（3）若采用相干解调，系统误码率为：
1r 131
erfc () =erfc () =erfc (1. 2247) ≈0. 035 22222
（查表知erfc (1. 28) =0. 07026580）
8-3 假设在4KHz 带宽的电话信道中分别采用2ASK 、2FSK 和2PSK 方式传输，发送载波幅度为10V ，电话信道衰减为1dB /km , n 0=1⨯10-8W /Hz ，要求系统 P e =
误码率为10-5。若采用相干解调，试分别求2ASK 、2FSK 和2PSK 能达到的最大通信距离。 解：(1)2ASK系统
接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2ASK =10-8⨯4000=4⨯10-5W , 误码率都保持在10-5时，即相干解调P e =
1r
erfc () =10-5，查表求得r =36. 13，信号功率22
,
信
号
幅
度
为
：
为：
S =36. 13⨯4⨯10-5=144. 5⨯10-5W
a =2S =2⨯144. 5⨯10-5V =5. 38⨯10-2V , 由10V 衰减到5. 38⨯10-2V ，衰减的
10
=45. 3dB , 故2ASK 信号最远传输距离为分贝（dB ）数为20lg -2
5. 38⨯10
45.4km 。
（2）2FSK 系统
接收机上、下之路带通滤波器的带宽为2kHz 。接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2FSK =10-8⨯2000=2⨯10-5W ，误码率都保持在10-5时，即相干解调 P e =
1r
erfc () =10-5, 查表求得r =18. 07，信号功率为： 22
S =18. 07⨯2⨯10-5=36. 14⨯10-5W
信号幅度为：a =2S =2⨯36. 14⨯10-5V =2. 69⨯10-2V
由10V 衰减到2. 69⨯10-2V ，衰减的分贝（dB ）数为
10
20lg =51. 4dB , 故2FSK 信号传输距离为51.4km. -2
2. 69⨯10
(3)2PSK系统
接收机噪声功率为N =n o ⨯B 2PSK =10-8⨯4000W =4⨯10-5W , 误码率都保持
1
在10-5时，即相干解调P e =erfc (r ) =10-5，查表求得r =9，信号功率为：
2
S =9. 035⨯4⨯10-5W =36. 14⨯10-5W , 可见2PSK 信号传输距离与2FSK 的相同，为51.3km.
模块09 数字复用技术 9-1 对于标准PCM30/32路制式基群系统，试计算： （1）每个时隙时间宽度； （2）每帧时间宽度； （3）信息传输速率； （4）每比特时间宽度。 解：（1）每个时隙时间宽度为
125
=3. 9μs t C =32
（2）每帧时间宽度为 T s =1/8000=125μs （3）信息传输速率为
R b =8000⨯32⨯8=2048kb /s
11
或 R b ===2048kb /s
t b 0. 488
（4）每比特时间宽度
3. 9
=0. 488μs t b =8
9-2 有32路模拟话音采用时分复用PCM 方式传输。每路话音信号带宽为4kHz , 采用奈奎斯特速率抽样和每样值8比特编码，PCM 脉冲宽度为τ。占空比为100%。试计算脉冲宽度τ。
解：抽样频率为f s =2f H =8kHz
总码率为：32⨯f s ⨯8=2048kb /s
1
=488ns 占空比为100%，则τ=T s =
2048⨯103
模块10 数字信号的最佳接收 10-1 什么是最佳接收？最佳接收准则是什么？
答：最佳接收就是研究在噪声干扰的情况下如何有效地检测信号，最佳接收理论又称为信号检测理论。
最佳接收准则是最大信噪比接收准则和最小差错概率接收准则。
10-2 简述匹配滤波器的工作原理，并说明匹配滤波器的传输函数和单位冲激响
应与输入信号的关系。
答：线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号信噪比最大的线
性滤波器称为匹配滤波器。
匹配滤波器的传输特性为： H (f ) =kS *(f ) e -j 2πft 0
其中S (f ) 为输入信号的傅里叶变换。 匹配滤波器的冲激响应： h (t ) =ks (t 0-t )
其中s (t ) 为输入信号。
10-3 什么是最小差错概率准则？什么是似然比准则？什么是最大似然比准则？
三者之间有什么相同和不同之处？
答：使输出总的错误概率最小的接收准则称为最小差错概率准则。
P e =P (1) P e 1+P (0) P e 0
似然比准则为：
P (1) f 0(r ) >, 判为1
P (0) f 1(r ) P (1) f 0(r )
P (0) f 1(r )
2其中： ⎧1T s ⎫1
[]f (r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬00 k ⎰0n ⎩0⎭πσn
2⎧1T s ⎫1
[]f 1(r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬1k ⎰0 n 0⎩⎭2πσn
最大似然比准则为：P (1) =P (0) 时
若f 0(r ) > f 1(r ) ，则判为“0” 若f 0(r )
模块12 信道编码
12-1已知八个码组为000000,001110,010101, 011011,100011, 101101, 110110, 111000.
（1）试求该码组的最小码距。
（2）若该码用于检错，能检出几位错码？ （3）若该码用于纠错，能纠正几位错码？
（4）若该码同时用于检错和纠错，能检出、纠正几位错码？ 解：（1）通过计算该码组的最小码距为d 0=3 （2） 因为d 0≥2+1，所以该码组能检出2个错码。 (3) 因为d 0≥2⨯1+2，所以该码组能纠正1位错码。
（4）因为d 0≥1+1+1，所以该码组能检出1位错码、纠正1位错码。
12-2 已知某循环码的监督矩阵为：
⎡1101100⎤
⎥ 1110010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣0111001⎥⎦
（1）试求其生成矩阵。
（2）写出所有可能的码组。 解：（1）有监督矩阵可知此循环码为（7,4）线性分组码。根据生成矩阵和监督矩阵的关系，可求出生成矩阵为：
⎡1000110⎤⎢0100111⎥
⎥ G =⎢
⎢0010011⎥⎢⎥0001101⎣⎦
（2）设所有可能的信息元为M,M 中每一行为一种可能的信息元，共16行即16种所有可能的信息元。M 与生成矩阵G 相乘，可得所有码组A 。矩阵A 中每一行就是一个码组，共有16个可能的码组。
MG =A
⎡0000⎤⎡0⎢0001⎥⎢0⎢⎥⎢⎢0010⎥⎢0⎢⎥⎢0011⎢⎥⎢0⎢0100⎥⎢0⎢⎥⎢0101⎢⎥⎢0⎢0110⎥⎡1000110⎤⎢0⎢⎥⎢⎢⎥
⎢0111⎥⎢0100111⎥⎢0⎢1000⎥⋅∙⎢0010011⎥=⎢1⎢⎥⎢⎥⎢⎢1001⎥⎣0001101⎦⎢1⎢⎥⎢1010⎢⎥⎢1⎢1011⎥⎢1⎢⎥⎢1100⎢⎥⎢1⎢1101⎥⎢1⎢⎥⎢1110⎢⎥⎢1⎢1111⎥⎢1⎣⎦⎣
12-3 已知（7,4）码的生成矩阵为：
⎡1000⎢0100G =⎢
⎢0010⎢
⎣0001
000000⎤001101⎥⎥010011⎥
⎥
011110⎥100111⎥
⎥
101010⎥110100⎥
⎥
111001⎥000110⎥
⎥
001011⎥
⎥
010101⎥011000⎥
⎥
100001⎥101100⎥
⎥
110010⎥ 111111⎥⎦
11011011
1⎤1⎥⎥ 1⎥⎥0⎦
（1）写出所有可能的码组。 （2）试求其监督矩阵。 解：（1）略。（同12-2同理）
（2）根据生成矩阵和监督关系，知监督矩阵为：
⎡1101100⎤
⎥ 1011010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣1110001⎥⎦12-4 设线性码的生成矩阵为：
⎡001011⎤
⎥ 100101 G =⎢⎢⎥
⎢⎣010110⎥⎦
（1） 写出监督矩阵，确定（n,k ）码中的n 和k 。 （2） 写出该（n,k ）码的所有码字。
（3） 确定最小码距d 0，并分析其检纠错能力。 （4）
解：通过分析知该生成矩阵不是典型的生成矩阵，可通过矩阵运算，将其转变成典型生成矩阵，为：
⎡100101⎤
⎥ 010110 G =⎢⎢⎥
⎢⎣001011⎥⎦（1） 该码组为（6,3）线性分组码，监督矩阵为： ⎡110100⎤
⎥ 011010 H =⎢⎢⎥
⎢⎣101001⎥⎦
（2） 该码组中信息位为3为，所有可能的信息为23=8种，写成矩阵M ，M 为8行3列的矩阵，M 乘以生成矩阵G 得矩阵A ，A 中每行为一码组，所有可能的码组共8个，所以A 为8行6列的矩阵。详细如下： MG =A ⎡000⎤⎡000000⎤⎢001⎥⎢001011⎥⎢⎥⎢⎥⎢010⎥⎢010110⎥⎢⎥⎡100101⎤⎢⎥011011101⎢⎥⎢⎥∙010110=⎢⎥
⎥⎢100101⎥⎢100⎥⎢
001011⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢101110⎥101⎢⎥⎢⎥
⎢110⎥⎢110011⎥⎢⎥⎢⎥⎢111⎦⎥⎢111000⎦⎥⎣⎣
(3)根据线性分组码的封闭性，最小码距等于码组的最小码重。这组码的最小码距为d 0=3，能检测2位错码，能纠正1位错码，能同时检测1位错码和纠正1位错码。
12-5 已知（15，,11）汉明码的生成多项式为g (x ) =x 4+x 3+1，试求其生成矩阵和监督矩阵。 解：
⎡x 14+x 13+x 10⎤⎡[**************]⎤⎢13⎢[**************]⎥129⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥12118⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢11⎢⎥107⎥[**************]x +x +x ⎢⎥⎢⎥1096⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥
G (x ) =⎢x 9+x 8+x 5⎥G =⎢[**************]⎥
⎢x 8+x 7+x 4⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥763⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢652⎥⎢[**************]⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥
54
⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢4⎥⎢⎥3
x +x +[**************]1⎣⎦⎣⎦
可将G 矩阵不是典型的生成矩阵，通过矩阵运算可得生成典型生成矩阵。
⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥G =⎢[**************]⎥
⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎦监督矩阵为：
⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥
⎥ H =⎢
⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎣⎦12-6已知（7,3）循环码的监督关系式为： ⎧a 6+a 3+a 2+a 1=0⎪a +a +a +a =0⎪5210
⎨
a +a +a =051⎪6⎪⎩a 5+a 4+a 0=0
试求其循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由监督关系式有： HA T =0
⎡⎢a 6⎤⎡⎢a ⎥⎢1001110⎤5
⎥⎡0⎤⎢0100111⎥⎢⎢a 4⎥⎢⎢1100010⎥⎢⎥⎥⎢a ⎥3
⎥=⎢0⎥
⎣0
11000
1⎥⎢⎢0⎥⎦⎢a 2⎥⎢a ⎥⎢⎣0⎥⎦⎢1⎥⎣a 0⎥⎦
由矩阵的初等变换可得典型监督矩阵
⎡⎢1011000⎤H =⎢
1110100⎥
⎢⎢1100010⎥⎥ ⎣0110001⎥⎦
根据监督矩阵和生成矩阵的关系可得生成矩阵为：
⎡1001110⎤
G =⎢⎢0100111⎥ ⎢0011101⎥
⎣⎥⎦
12-7 已知（15,5）循环码的生成多项式为g (x ) =x 10+x 8+x 5+x 4+x +1，（1）试求该码的生成矩阵；
（2）写出信息码为 m (x ) =x 4+x +1 时的码多项式。 解：（1）由生成多项式可得生成矩阵为：
⎡⎢x 14+x 12+x 9+x 8+x 5+x 4⎤⎢x 13+x 11+x 8+x 7+x 4+x 3⎥G (x ) =⎢⎢x 12+x 10+x 7⎥+x 6+x 3+x 2
⎥
⎢x 11+x 9+x 6+x 5+x 2+x ⎥⎢⎥⎣x 10+x 8+x 5+x 4+x +1⎥⎦
⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥G =⎢⎢⎢[**************]⎥⎥
⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎥⎦(2)由信息码多项式得信息码元为m=（10011）,mG=A
⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥[10011]
⋅⎢
⎢⎢
[**************]⎥⎥
⎢[**************]⎥
⎢⎥⎣0000101001
10011⎥[⎦
[**************]] 由码组可得码多项式为：
T (x ) =x 14+x 12+x 11+x 10+x 6+x 5+x 2+1
=
http://cs.fjzs.edu.cn/ketang/txyl/txtexts/txxitiwb/txli7.htm