第14卷第1期高等数学研究
V01.14.No.1
20l1年1月
STUDIESINC()乙LEGE
MATHEMATICS
Jan..20U
推广的积分第二中值定理的再改进
文传军,姚俊
(常州工学院理学院,江苏常州213002)
摘要
研究推广的积分第一中值定理成立的条件。弱化该定理成立应满足的基本要求,并进而得到被积函
数连续性替代条件的相关推论.
关键词
推广的积分第一中值定理;零集;介值性;可积
中图分类号
()172
文献标识码
A
文章编号
l008—1399(2011)Ol—0042一03
积分中值定理是微积分中的重要内容,在积分则称厂(z)在[口,6]上具有介值性.
理论中有着重要作用,是微积分基本理论的基础,受例1
设函数
到众多学者的关注和研究.
…
f—z,一1≤z≤O,
文[1]运用不动点理论证明了在一个加强条件,‘工’2{z一1,o<二≤●1
下积分中值定理中间值的唯一性.文[2]得到了第虽然,(z)在[一1,1]上不连续,但对于任意常裂乞:
一类不连续点函数积分中值定理的推广形式.文[3]一l=,(O)<C<厂(一1)一1,
证明了在Lebesgue积分意义下的多重积分中值定总存在e∈(一l,1),使得
理.文[4]对文[2—3]做了进一步推广,文[5]弱化积厂(£)=C,
分中值定理结论,约束积分中间值于开区间.文[6]所以,(z)在[一1,1]上具有介值性.
给出一个推广的积分第一中值定理的中间点渐进性引理1‘93
设厂(z)在[n,6]上可积,则厂(z)在公式.文[7]对中间值取于开区间的中值定理进行
[口,6]上的不连续点的集合为零集.
了证明和应用.
引理2[93
设厂(z)在E一[口,6]上可积,
本文在上述研究的基础上,对推广的积分第一厂(z)≥0,
中值定理[8]进行再讨论,得到定理成立的弱化条I厂(z)如=o,
件,并给出相关推论.
那么,
1
定义与引理
,(z)=0
a.e.
E.
定义l
设A为直线上一点集,若对任意£>O,
类似于引理2,有引理3.存在一列开区间
引理3
设,(z)在E=[n,6]上可积,
J^=(A^,m)(忌=1,2,…),
,(z)≥0
a.e.
E,
使得
l,(z)如=o,
ACUJI,
那么,
^=l
,(z)=O
a.e.
E.
∑(胁一A^)<e,
I=1
证明
不妨设
则称A为零集.
A=(zl,(z)<O,z∈E),定义2
设C为介于厂(n)和,(6)之间的任一
B={zI,(z)>O,z∈E).
实数,若存在e∈(口,6),使得
因为
厂(e)=C,
,(z)≥O
a.e.
E,
收稿日期:2010一04—30}修改日期:2010—09一04.
所以,A为零集,即
作者简介t文传军(1976一),男,重庆万州人,博士.讲师,主要从事模
m(A)=O,
式识别研究.Emaillwencj@口u.cn.
从而
姚俊(1979一),男,江苏泰州人,讲师,硕士,主要从事统计理论及其应用研究.Emailiyaoj@czu.cn.
I厂(z)如=o.
万方数据
第14卷第l期文传军.姚俊:推广的积分第一中值定理的再改进
43
当z∈E\(AUB)时,有
厂(z)=O,
胁圳z=从z)如+
,B厂(z)dz十L。伽厂(。)如=。,
所以,
l厂(z)出=o,
由引理2知
m(B)一O.
即B为零集,所以
、,(z)一O
a.e.
E.
引理4(达布定理)‘1叩
设厂(z)在[n,6]上可
导,则厂(z)在[4,6]上存在介值性.
定理A(推广的积分第一中值定理)【阳设
厂(z),g(z)在[口,6]上连续,且g(z)在k,6]上不
变号,则存在e∈(口,6),使得
卜
伟
J
l,(z)g(z)dz=,(e)l
g(z)dz.
4
J口
2
定理及推论
定理1
设厂(z)在■,6]上连续,g(z)在[口,6]
上可积,且
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[口,6],
则存在e∈(n,6),使得
r6
r6
g(工)妇.
J
l,(z)g(z)dz=厂(e)In
J
4
证明
由于连续函数可积,可积函数的乘积仍
可积,所以,(工)・g(z)在[口,6]上可积.不妨假设
,(z)≥o
a.e.
[口,6],
则存在零集A(c[口,6]),当z∈[n,6]\A时,
g(z)≥O.
又,(z)在k,阳上连续,设优,M分别为厂(z)在k,阳上的最小值和最大值,则当工∈[口,6]\A时,
m≤厂(z)≤M,
m・g(z)≤,(z)g(z)≤M・g(z).
因为有
I
g(工)@一
J【n.阳
,。g(z)dz+J-[。棚、^g(z)dz=
J【口’6]\^g(z)如,
所以有
Ig(z)dz≥o,
万方数据
mrg(z)如≤r厂(z)g(z)出≤耐69(。如.
●口
J口
J
a
分情况进行讨论:
一
(i)如果
Ig(z)出=o,
或者
m—M.
则e在(口,6)内任取一点即可.
(1i)如果
lg(z)如>o
并且
m<M.
在此情形下,若
r6’
优<生育——一<M,I厂(z)g(z)dz
Ig(z)如
J
a
则根据,(z)在[口,6]上的连续性和介值性可知,存
在}∈(口,6),使得
即有
心,=譬
怕
n
.1,(z)g(z)dz=,(e)lg(z)如.
,n
J
4
而若
m=生育——一<M,I,(z)g(z)出
I
g(工)如
那么
l[厂(z)一,72]g(z)如=o.
因为
,(z)一m≥o(垒∈[n,6]),
[,(z)一m]g(z)一o
a.e.
[口,6],由引理3可知
[,(z)一m]g(z)一o
a.e.
[口,6].
又因为
I
g(z)dz>o,
故存在e∈(口,6),使得
g(})>O,
厂(搴)一扰,
所以
那么
则有
44高等数学研究2011年1月
g(z)dz=
试证明至少存在・点}∈(一l,1),使得
J
I,(z)g(z)dz=优l
n
J口
∞
弘
rb
l厂(z)g(z)dz’=,(搴)I
g(z)dz.
,(e)lg(z)如.
J
O
Jt
J口
证明虽然函数g(z)不满足定理A的条件,
而若
在[一1,1]上的取值是异号的,但它是满足定理1的
r6
m<坐丽———一=M,I厂(z)g(z)dz
条件,所以总存在点车∈(一1,1),使得
,
rb仆
g(z)如
l,(工)g(z)dz=,(e)l
g(z)dz.
J“
J口
J
4
则类似可证结论成立.口
3
结论
定理l和定理A相比较,并不要求g(z)在k,6]上不变号,而只需要求变号的点集为零集,从而扩大
本文对推广的积分第一中值定理进行了讨论,
了适用范围.
将g(z)在[n,6]上不变号弱化为变号的点集为零因为在定理1的证明过程中,对于,(z)而言,主
集,使推广的积分第一中值定理的应用范围更广.同要利用了连续函数闭区间的有界性和介值性,而可积
时利用函数的介值性和可积性以及达布定理,得到函数是有界的,因此也可将,(z)为连续函数的条件两个对应的推论,进一步丰富了定理的适用范畴.
弱化,只要求,(z)是具有介值性的可积函数.
参考文献
,推论1
设厂(z)在[口,6]上可积且有介值性,
[1]肖翔,刘瑞娟,张子厚.不动点定理在积分第一中值定理中
g(z)在[n,6]上可积,且
的应用[J].上海工程技术大学学报,2008,22(2):180-181.
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[比,6],
[2]李衍禧.对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积
则存在e∈(n,6),使得
分中值定理”一文的洼记[J].数学的实践与认识,
Cb
弛2007。37(8):183-185.
JⅡ
I,(z)g(z)dz=,(搴)I
g(z)dz.
J“
[3]范江华,杨斌妮.多重积分的积分中值定理[J].数学的
推论2
设厂(z)是在[n,6]上有原函数的可积
实践与认识.2007。37(12):197—200.
函数,g(z)在[口,6]上可积,且
[4]李衍禧.关于多重积分中值定理的改进[J].潍坊学院
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[口,6],
学报。2009。9(2);70一71.
则存在e∈(n,6),使得
[5]赵纬经,王贵君.改进的第一积分中值定理及其应用D].新
广6
广6
疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):llo-113.
}厂(z)g(z)dz=厂(e)f
g(z)dz.
J口
J
[6]刘文武.积分中值定理中间点渐进性的一个注记[J].
n
证明
因厂(z)在[口,6]上有原函数,由引理4,
吉首大学学报:自然科学版,2007,28(4):24・26.
则,(z)在[口,6]上存在介值性,再利用推论l即可
[7]王哈珥.积分中值定理的改进[j].高等数学研究.
得证.
2009.12(6):59—60.
[8]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版
例2
设函数,(z)在[一1,1]上连续,点集社,199l:295.
E={1/M,2/M,…,1),
[9]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M]-
其中M为某一正整数(M>1),而
高等教育出版社。1983:113一116.
,、
z∈[一1,1]\E,
[10]潘继斌.达布(Darboux)定理及其应用[J].湖北师范
g‘z’。l一1,
f1,
z∈E,
学院学报:自然科学版.2000,20(1):78.80.
ImproVementoftheExtendedFirstIntegraI
MeanValueTheorem
WENChuan_jun,
YA0Jun
(School
ofScience.ChangzhouInstituteofTechnology.Changzhou213002.PRC)
Abstracl:
Thetenableconditionoftheextendedfirstintegralmeanvaluethcoremisstudiedinthispaper.
Thepremiseconditionofthistheoremisweakened,andinferences
are
obtained
aboutthereplacementoffunctioncontinuityproperty.
Keywords:
extendedfirstmeanvaluetheorem,zeroset,inte丌nediatevalueproperty,integrality
万方数据
推广的积分第一中值定理的再改进
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
文传军, 姚俊, WEN Chuan-jun, YAO Jun常州工学院,理学院,江苏,常州213002高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(10条)
1.潘继斌 达布(Darboux)定理及其应用[期刊论文]-湖北师范学院学报(自然科学版) 2000(01)2.程其襄;张奠宙;魏国强 实变函数与泛函分析基础 19833.华东师范大学数学系 数学分析 1994
4.王晗玥 积分中值定理的改进[期刊论文]-高等数学研究 2009(06)
5.刘文武 积分中值定理中间点渐进性的一个注记[期刊论文]-吉首大学学报(自然科学版) 2007(04)6.赵纬经;王贵君 改进的第一积分中值定理及其应用[期刊论文]-新疆师范大学学报(自然科学版) 2007(02)7.李衍禧 关于多重积分中值定理的改进[期刊论文]-潍坊学院学报 2009(02)8.范江华;杨斌妮 多重积分的积分中值定理[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(12)
9.李衍禧 对
10.肖翔;刘瑞娟;张子厚 不动点定理在积分第一中值定理中的应用[期刊论文]-上海工程技术大学学报 2008(02)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101018.aspx
第14卷第1期高等数学研究
V01.14.No.1
20l1年1月
STUDIESINC()乙LEGE
MATHEMATICS
Jan..20U
推广的积分第二中值定理的再改进
文传军,姚俊
(常州工学院理学院,江苏常州213002)
摘要
研究推广的积分第一中值定理成立的条件。弱化该定理成立应满足的基本要求,并进而得到被积函
数连续性替代条件的相关推论.
关键词
推广的积分第一中值定理;零集;介值性;可积
中图分类号
()172
文献标识码
A
文章编号
l008—1399(2011)Ol—0042一03
积分中值定理是微积分中的重要内容,在积分则称厂(z)在[口,6]上具有介值性.
理论中有着重要作用,是微积分基本理论的基础,受例1
设函数
到众多学者的关注和研究.
…
f—z,一1≤z≤O,
文[1]运用不动点理论证明了在一个加强条件,‘工’2{z一1,o<二≤●1
下积分中值定理中间值的唯一性.文[2]得到了第虽然,(z)在[一1,1]上不连续,但对于任意常裂乞:
一类不连续点函数积分中值定理的推广形式.文[3]一l=,(O)<C<厂(一1)一1,
证明了在Lebesgue积分意义下的多重积分中值定总存在e∈(一l,1),使得
理.文[4]对文[2—3]做了进一步推广,文[5]弱化积厂(£)=C,
分中值定理结论,约束积分中间值于开区间.文[6]所以,(z)在[一1,1]上具有介值性.
给出一个推广的积分第一中值定理的中间点渐进性引理1‘93
设厂(z)在[n,6]上可积,则厂(z)在公式.文[7]对中间值取于开区间的中值定理进行
[口,6]上的不连续点的集合为零集.
了证明和应用.
引理2[93
设厂(z)在E一[口,6]上可积,
本文在上述研究的基础上,对推广的积分第一厂(z)≥0,
中值定理[8]进行再讨论,得到定理成立的弱化条I厂(z)如=o,
件,并给出相关推论.
那么,
1
定义与引理
,(z)=0
a.e.
E.
定义l
设A为直线上一点集,若对任意£>O,
类似于引理2,有引理3.存在一列开区间
引理3
设,(z)在E=[n,6]上可积,
J^=(A^,m)(忌=1,2,…),
,(z)≥0
a.e.
E,
使得
l,(z)如=o,
ACUJI,
那么,
^=l
,(z)=O
a.e.
E.
∑(胁一A^)<e,
I=1
证明
不妨设
则称A为零集.
A=(zl,(z)<O,z∈E),定义2
设C为介于厂(n)和,(6)之间的任一
B={zI,(z)>O,z∈E).
实数,若存在e∈(口,6),使得
因为
厂(e)=C,
,(z)≥O
a.e.
E,
收稿日期:2010一04—30}修改日期:2010—09一04.
所以,A为零集,即
作者简介t文传军(1976一),男,重庆万州人,博士.讲师,主要从事模
m(A)=O,
式识别研究.Emaillwencj@口u.cn.
从而
姚俊(1979一),男,江苏泰州人,讲师,硕士,主要从事统计理论及其应用研究.Emailiyaoj@czu.cn.
I厂(z)如=o.
万方数据
第14卷第l期文传军.姚俊:推广的积分第一中值定理的再改进
43
当z∈E\(AUB)时,有
厂(z)=O,
胁圳z=从z)如+
,B厂(z)dz十L。伽厂(。)如=。,
所以,
l厂(z)出=o,
由引理2知
m(B)一O.
即B为零集,所以
、,(z)一O
a.e.
E.
引理4(达布定理)‘1叩
设厂(z)在[n,6]上可
导,则厂(z)在[4,6]上存在介值性.
定理A(推广的积分第一中值定理)【阳设
厂(z),g(z)在[口,6]上连续,且g(z)在k,6]上不
变号,则存在e∈(口,6),使得
卜
伟
J
l,(z)g(z)dz=,(e)l
g(z)dz.
4
J口
2
定理及推论
定理1
设厂(z)在■,6]上连续,g(z)在[口,6]
上可积,且
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[口,6],
则存在e∈(n,6),使得
r6
r6
g(工)妇.
J
l,(z)g(z)dz=厂(e)In
J
4
证明
由于连续函数可积,可积函数的乘积仍
可积,所以,(工)・g(z)在[口,6]上可积.不妨假设
,(z)≥o
a.e.
[口,6],
则存在零集A(c[口,6]),当z∈[n,6]\A时,
g(z)≥O.
又,(z)在k,阳上连续,设优,M分别为厂(z)在k,阳上的最小值和最大值,则当工∈[口,6]\A时,
m≤厂(z)≤M,
m・g(z)≤,(z)g(z)≤M・g(z).
因为有
I
g(工)@一
J【n.阳
,。g(z)dz+J-[。棚、^g(z)dz=
J【口’6]\^g(z)如,
所以有
Ig(z)dz≥o,
万方数据
mrg(z)如≤r厂(z)g(z)出≤耐69(。如.
●口
J口
J
a
分情况进行讨论:
一
(i)如果
Ig(z)出=o,
或者
m—M.
则e在(口,6)内任取一点即可.
(1i)如果
lg(z)如>o
并且
m<M.
在此情形下,若
r6’
优<生育——一<M,I厂(z)g(z)dz
Ig(z)如
J
a
则根据,(z)在[口,6]上的连续性和介值性可知,存
在}∈(口,6),使得
即有
心,=譬
怕
n
.1,(z)g(z)dz=,(e)lg(z)如.
,n
J
4
而若
m=生育——一<M,I,(z)g(z)出
I
g(工)如
那么
l[厂(z)一,72]g(z)如=o.
因为
,(z)一m≥o(垒∈[n,6]),
[,(z)一m]g(z)一o
a.e.
[口,6],由引理3可知
[,(z)一m]g(z)一o
a.e.
[口,6].
又因为
I
g(z)dz>o,
故存在e∈(口,6),使得
g(})>O,
厂(搴)一扰,
所以
那么
则有
44高等数学研究2011年1月
g(z)dz=
试证明至少存在・点}∈(一l,1),使得
J
I,(z)g(z)dz=优l
n
J口
∞
弘
rb
l厂(z)g(z)dz’=,(搴)I
g(z)dz.
,(e)lg(z)如.
J
O
Jt
J口
证明虽然函数g(z)不满足定理A的条件,
而若
在[一1,1]上的取值是异号的,但它是满足定理1的
r6
m<坐丽———一=M,I厂(z)g(z)dz
条件,所以总存在点车∈(一1,1),使得
,
rb仆
g(z)如
l,(工)g(z)dz=,(e)l
g(z)dz.
J“
J口
J
4
则类似可证结论成立.口
3
结论
定理l和定理A相比较,并不要求g(z)在k,6]上不变号,而只需要求变号的点集为零集,从而扩大
本文对推广的积分第一中值定理进行了讨论,
了适用范围.
将g(z)在[n,6]上不变号弱化为变号的点集为零因为在定理1的证明过程中,对于,(z)而言,主
集,使推广的积分第一中值定理的应用范围更广.同要利用了连续函数闭区间的有界性和介值性,而可积
时利用函数的介值性和可积性以及达布定理,得到函数是有界的,因此也可将,(z)为连续函数的条件两个对应的推论,进一步丰富了定理的适用范畴.
弱化,只要求,(z)是具有介值性的可积函数.
参考文献
,推论1
设厂(z)在[口,6]上可积且有介值性,
[1]肖翔,刘瑞娟,张子厚.不动点定理在积分第一中值定理中
g(z)在[n,6]上可积,且
的应用[J].上海工程技术大学学报,2008,22(2):180-181.
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[比,6],
[2]李衍禧.对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积
则存在e∈(n,6),使得
分中值定理”一文的洼记[J].数学的实践与认识,
Cb
弛2007。37(8):183-185.
JⅡ
I,(z)g(z)dz=,(搴)I
g(z)dz.
J“
[3]范江华,杨斌妮.多重积分的积分中值定理[J].数学的
推论2
设厂(z)是在[n,6]上有原函数的可积
实践与认识.2007。37(12):197—200.
函数,g(z)在[口,6]上可积,且
[4]李衍禧.关于多重积分中值定理的改进[J].潍坊学院
g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.
[口,6],
学报。2009。9(2);70一71.
则存在e∈(n,6),使得
[5]赵纬经,王贵君.改进的第一积分中值定理及其应用D].新
广6
广6
疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):llo-113.
}厂(z)g(z)dz=厂(e)f
g(z)dz.
J口
J
[6]刘文武.积分中值定理中间点渐进性的一个注记[J].
n
证明
因厂(z)在[口,6]上有原函数,由引理4,
吉首大学学报:自然科学版,2007,28(4):24・26.
则,(z)在[口,6]上存在介值性,再利用推论l即可
[7]王哈珥.积分中值定理的改进[j].高等数学研究.
得证.
2009.12(6):59—60.
[8]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版
例2
设函数,(z)在[一1,1]上连续,点集社,199l:295.
E={1/M,2/M,…,1),
[9]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M]-
其中M为某一正整数(M>1),而
高等教育出版社。1983:113一116.
,、
z∈[一1,1]\E,
[10]潘继斌.达布(Darboux)定理及其应用[J].湖北师范
g‘z’。l一1,
f1,
z∈E,
学院学报:自然科学版.2000,20(1):78.80.
ImproVementoftheExtendedFirstIntegraI
MeanValueTheorem
WENChuan_jun,
YA0Jun
(School
ofScience.ChangzhouInstituteofTechnology.Changzhou213002.PRC)
Abstracl:
Thetenableconditionoftheextendedfirstintegralmeanvaluethcoremisstudiedinthispaper.
Thepremiseconditionofthistheoremisweakened,andinferences
are
obtained
aboutthereplacementoffunctioncontinuityproperty.
Keywords:
extendedfirstmeanvaluetheorem,zeroset,inte丌nediatevalueproperty,integrality
万方数据
推广的积分第一中值定理的再改进
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
文传军, 姚俊, WEN Chuan-jun, YAO Jun常州工学院,理学院,江苏,常州213002高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(10条)
1.潘继斌 达布(Darboux)定理及其应用[期刊论文]-湖北师范学院学报(自然科学版) 2000(01)2.程其襄;张奠宙;魏国强 实变函数与泛函分析基础 19833.华东师范大学数学系 数学分析 1994
4.王晗玥 积分中值定理的改进[期刊论文]-高等数学研究 2009(06)
5.刘文武 积分中值定理中间点渐进性的一个注记[期刊论文]-吉首大学学报(自然科学版) 2007(04)6.赵纬经;王贵君 改进的第一积分中值定理及其应用[期刊论文]-新疆师范大学学报(自然科学版) 2007(02)7.李衍禧 关于多重积分中值定理的改进[期刊论文]-潍坊学院学报 2009(02)8.范江华;杨斌妮 多重积分的积分中值定理[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(12)
9.李衍禧 对
10.肖翔;刘瑞娟;张子厚 不动点定理在积分第一中值定理中的应用[期刊论文]-上海工程技术大学学报 2008(02)
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101018.aspx