推广的积分第一中值定理的再改进

第14卷第1期高等数学研究

V01.14.No.1

20l1年1月

STUDIESINC()乙LEGE

MATHEMATICS

Jan..20U

推广的积分第二中值定理的再改进

文传军,姚俊

(常州工学院理学院,江苏常州213002)

摘要

研究推广的积分第一中值定理成立的条件。弱化该定理成立应满足的基本要求,并进而得到被积函

数连续性替代条件的相关推论.

关键词

推广的积分第一中值定理;零集;介值性;可积

中图分类号

()172

文献标识码

文章编号

l008—1399(2011)Ol—0042一03

积分中值定理是微积分中的重要内容,在积分则称厂(z)在[口,6]上具有介值性.

理论中有着重要作用,是微积分基本理论的基础,受例1

设函数

到众多学者的关注和研究.

f—z,一1≤z≤O,

文[1]运用不动点理论证明了在一个加强条件,‘工’2{z一1,o<二≤●1

下积分中值定理中间值的唯一性.文[2]得到了第虽然,(z)在[一1,1]上不连续,但对于任意常裂乞:

一类不连续点函数积分中值定理的推广形式.文[3]一l=,(O)<C<厂(一1)一1,

证明了在Lebesgue积分意义下的多重积分中值定总存在e∈(一l,1),使得

理.文[4]对文[2—3]做了进一步推广,文[5]弱化积厂(£)=C,

分中值定理结论,约束积分中间值于开区间.文[6]所以,(z)在[一1,1]上具有介值性.

给出一个推广的积分第一中值定理的中间点渐进性引理1‘93

设厂(z)在[n,6]上可积,则厂(z)在公式.文[7]对中间值取于开区间的中值定理进行

[口,6]上的不连续点的集合为零集.

了证明和应用.

引理2[93

设厂(z)在E一[口,6]上可积,

本文在上述研究的基础上,对推广的积分第一厂(z)≥0,

中值定理[8]进行再讨论,得到定理成立的弱化条I厂(z)如=o,

件,并给出相关推论.

那么,

定义与引理

,(z)=0

a.e.

E.

定义l

设A为直线上一点集,若对任意£>O,

类似于引理2,有引理3.存在一列开区间

引理3

设,(z)在E=[n,6]上可积,

J^=(A^,m)(忌=1,2,…),

,(z)≥0

a.e.

E,

使得

l,(z)如=o,

ACUJI,

那么,

^=l

,(z)=O

a.e.

E.

∑(胁一A^)<e,

I=1

证明

不妨设

则称A为零集.

A=(zl,(z)<O,z∈E),定义2

设C为介于厂(n)和,(6)之间的任一

B={zI,(z)>O,z∈E).

实数,若存在e∈(口,6),使得

因为

厂(e)=C,

,(z)≥O

a.e.

E,

收稿日期:2010一04—30}修改日期:2010—09一04.

所以,A为零集,即

作者简介t文传军(1976一),男,重庆万州人,博士.讲师,主要从事模

m(A)=O,

式识别研究.Emaillwencj@口u.cn.

从而

姚俊(1979一),男,江苏泰州人,讲师,硕士,主要从事统计理论及其应用研究.Emailiyaoj@czu.cn.

I厂(z)如=o.

万方数据

第14卷第l期文传军.姚俊:推广的积分第一中值定理的再改进

43

当z∈E\(AUB)时,有

厂(z)=O,

胁圳z=从z)如+

,B厂(z)dz十L。伽厂(。)如=。,

所以,

l厂(z)出=o,

由引理2知

m(B)一O.

即B为零集,所以

、,(z)一O

a.e.

E.

引理4(达布定理)‘1叩

设厂(z)在[n,6]上可

导,则厂(z)在[4,6]上存在介值性.

定理A(推广的积分第一中值定理)【阳设

厂(z),g(z)在[口,6]上连续,且g(z)在k,6]上不

变号,则存在e∈(口,6),使得

l,(z)g(z)dz=,(e)l

g(z)dz.

J口

定理及推论

定理1

设厂(z)在■,6]上连续,g(z)在[口,6]

上可积,且

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[口,6],

则存在e∈(n,6),使得

r6

r6

g(工)妇.

l,(z)g(z)dz=厂(e)In

证明

由于连续函数可积,可积函数的乘积仍

可积,所以,(工)・g(z)在[口,6]上可积.不妨假设

,(z)≥o

a.e.

[口,6],

则存在零集A(c[口,6]),当z∈[n,6]\A时,

g(z)≥O.

又,(z)在k,阳上连续,设优,M分别为厂(z)在k,阳上的最小值和最大值,则当工∈[口,6]\A时,

m≤厂(z)≤M,

m・g(z)≤,(z)g(z)≤M・g(z).

因为有

g(工)@一

J【n.阳

,。g(z)dz+J-[。棚、^g(z)dz=

J【口’6]\^g(z)如,

所以有

Ig(z)dz≥o,

万方数据

mrg(z)如≤r厂(z)g(z)出≤耐69(。如.

●口

J口

分情况进行讨论:

(i)如果

Ig(z)出=o,

或者

m—M.

则e在(口,6)内任取一点即可.

(1i)如果

lg(z)如>o

并且

m<M.

在此情形下,若

r6’

优<生育——一<M,I厂(z)g(z)dz

Ig(z)如

则根据,(z)在[口,6]上的连续性和介值性可知,存

在}∈(口,6),使得

即有

心,=譬

.1,(z)g(z)dz=,(e)lg(z)如.

,n

而若

m=生育——一<M,I,(z)g(z)出

g(工)如

那么

l[厂(z)一,72]g(z)如=o.

因为

,(z)一m≥o(垒∈[n,6]),

[,(z)一m]g(z)一o

a.e.

[口,6],由引理3可知

[,(z)一m]g(z)一o

a.e.

[口,6].

又因为

g(z)dz>o,

故存在e∈(口,6),使得

g(})>O,

厂(搴)一扰,

所以

那么

则有

44高等数学研究2011年1月

g(z)dz=

试证明至少存在・点}∈(一l,1),使得

I,(z)g(z)dz=优l

J口

rb

l厂(z)g(z)dz’=,(搴)I

g(z)dz.

,(e)lg(z)如.

Jt

J口

证明虽然函数g(z)不满足定理A的条件,

而若

在[一1,1]上的取值是异号的,但它是满足定理1的

r6

m<坐丽———一=M,I厂(z)g(z)dz

条件,所以总存在点车∈(一1,1),使得

rb仆

g(z)如

l,(工)g(z)dz=,(e)l

g(z)dz.

J“

J口

则类似可证结论成立.口

结论

定理l和定理A相比较,并不要求g(z)在k,6]上不变号,而只需要求变号的点集为零集,从而扩大

本文对推广的积分第一中值定理进行了讨论,

了适用范围.

将g(z)在[n,6]上不变号弱化为变号的点集为零因为在定理1的证明过程中,对于,(z)而言,主

集,使推广的积分第一中值定理的应用范围更广.同要利用了连续函数闭区间的有界性和介值性,而可积

时利用函数的介值性和可积性以及达布定理,得到函数是有界的,因此也可将,(z)为连续函数的条件两个对应的推论,进一步丰富了定理的适用范畴.

弱化,只要求,(z)是具有介值性的可积函数.

参考文献

,推论1

设厂(z)在[口,6]上可积且有介值性,

[1]肖翔,刘瑞娟,张子厚.不动点定理在积分第一中值定理中

g(z)在[n,6]上可积,且

的应用[J].上海工程技术大学学报,2008,22(2):180-181.

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[比,6],

[2]李衍禧.对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积

则存在e∈(n,6),使得

分中值定理”一文的洼记[J].数学的实践与认识,

Cb

弛2007。37(8):183-185.

JⅡ

I,(z)g(z)dz=,(搴)I

g(z)dz.

J“

[3]范江华,杨斌妮.多重积分的积分中值定理[J].数学的

推论2

设厂(z)是在[n,6]上有原函数的可积

实践与认识.2007。37(12):197—200.

函数,g(z)在[口,6]上可积,且

[4]李衍禧.关于多重积分中值定理的改进[J].潍坊学院

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[口,6],

学报。2009。9(2);70一71.

则存在e∈(n,6),使得

[5]赵纬经,王贵君.改进的第一积分中值定理及其应用D].新

广6

广6

疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):llo-113.

}厂(z)g(z)dz=厂(e)f

g(z)dz.

J口

[6]刘文武.积分中值定理中间点渐进性的一个注记[J].

证明

因厂(z)在[口,6]上有原函数,由引理4,

吉首大学学报:自然科学版,2007,28(4):24・26.

则,(z)在[口,6]上存在介值性,再利用推论l即可

[7]王哈珥.积分中值定理的改进[j].高等数学研究.

得证.

2009.12(6):59—60.

[8]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版

例2

设函数,(z)在[一1,1]上连续,点集社,199l:295.

E={1/M,2/M,…,1),

[9]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M]-

其中M为某一正整数(M>1),而

高等教育出版社。1983:113一116.

,、

z∈[一1,1]\E,

[10]潘继斌.达布(Darboux)定理及其应用[J].湖北师范

g‘z’。l一1,

f1,

z∈E,

学院学报:自然科学版.2000,20(1):78.80.

ImproVementoftheExtendedFirstIntegraI

MeanValueTheorem

WENChuan_jun,

YA0Jun

(School

ofScience.ChangzhouInstituteofTechnology.Changzhou213002.PRC)

Abstracl:

Thetenableconditionoftheextendedfirstintegralmeanvaluethcoremisstudiedinthispaper.

Thepremiseconditionofthistheoremisweakened,andinferences

are

obtained

aboutthereplacementoffunctioncontinuityproperty.

Keywords:

extendedfirstmeanvaluetheorem,zeroset,inte丌nediatevalueproperty,integrality

万方数据

推广的积分第一中值定理的再改进

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

文传军, 姚俊, WEN Chuan-jun, YAO Jun常州工学院,理学院,江苏,常州213002高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)

参考文献(10条)

1.潘继斌 达布(Darboux)定理及其应用[期刊论文]-湖北师范学院学报(自然科学版) 2000(01)2.程其襄;张奠宙;魏国强 实变函数与泛函分析基础 19833.华东师范大学数学系 数学分析 1994

4.王晗玥 积分中值定理的改进[期刊论文]-高等数学研究 2009(06)

5.刘文武 积分中值定理中间点渐进性的一个注记[期刊论文]-吉首大学学报(自然科学版) 2007(04)6.赵纬经;王贵君 改进的第一积分中值定理及其应用[期刊论文]-新疆师范大学学报(自然科学版) 2007(02)7.李衍禧 关于多重积分中值定理的改进[期刊论文]-潍坊学院学报 2009(02)8.范江华;杨斌妮 多重积分的积分中值定理[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(12)

9.李衍禧 对

10.肖翔;刘瑞娟;张子厚 不动点定理在积分第一中值定理中的应用[期刊论文]-上海工程技术大学学报 2008(02)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj201101018.aspx

第14卷第1期高等数学研究

V01.14.No.1

20l1年1月

STUDIESINC()乙LEGE

MATHEMATICS

Jan..20U

推广的积分第二中值定理的再改进

文传军,姚俊

(常州工学院理学院,江苏常州213002)

摘要

研究推广的积分第一中值定理成立的条件。弱化该定理成立应满足的基本要求,并进而得到被积函

数连续性替代条件的相关推论.

关键词

推广的积分第一中值定理;零集;介值性;可积

中图分类号

()172

文献标识码

文章编号

l008—1399(2011)Ol—0042一03

积分中值定理是微积分中的重要内容,在积分则称厂(z)在[口,6]上具有介值性.

理论中有着重要作用,是微积分基本理论的基础,受例1

设函数

到众多学者的关注和研究.

f—z,一1≤z≤O,

文[1]运用不动点理论证明了在一个加强条件,‘工’2{z一1,o<二≤●1

下积分中值定理中间值的唯一性.文[2]得到了第虽然,(z)在[一1,1]上不连续,但对于任意常裂乞:

一类不连续点函数积分中值定理的推广形式.文[3]一l=,(O)<C<厂(一1)一1,

证明了在Lebesgue积分意义下的多重积分中值定总存在e∈(一l,1),使得

理.文[4]对文[2—3]做了进一步推广,文[5]弱化积厂(£)=C,

分中值定理结论,约束积分中间值于开区间.文[6]所以,(z)在[一1,1]上具有介值性.

给出一个推广的积分第一中值定理的中间点渐进性引理1‘93

设厂(z)在[n,6]上可积,则厂(z)在公式.文[7]对中间值取于开区间的中值定理进行

[口,6]上的不连续点的集合为零集.

了证明和应用.

引理2[93

设厂(z)在E一[口,6]上可积,

本文在上述研究的基础上,对推广的积分第一厂(z)≥0,

中值定理[8]进行再讨论,得到定理成立的弱化条I厂(z)如=o,

件,并给出相关推论.

那么,

定义与引理

,(z)=0

a.e.

E.

定义l

设A为直线上一点集,若对任意£>O,

类似于引理2,有引理3.存在一列开区间

引理3

设,(z)在E=[n,6]上可积,

J^=(A^,m)(忌=1,2,…),

,(z)≥0

a.e.

E,

使得

l,(z)如=o,

ACUJI,

那么,

^=l

,(z)=O

a.e.

E.

∑(胁一A^)<e,

I=1

证明

不妨设

则称A为零集.

A=(zl,(z)<O,z∈E),定义2

设C为介于厂(n)和,(6)之间的任一

B={zI,(z)>O,z∈E).

实数,若存在e∈(口,6),使得

因为

厂(e)=C,

,(z)≥O

a.e.

E,

收稿日期:2010一04—30}修改日期:2010—09一04.

所以,A为零集,即

作者简介t文传军(1976一),男,重庆万州人,博士.讲师,主要从事模

m(A)=O,

式识别研究.Emaillwencj@口u.cn.

从而

姚俊(1979一),男,江苏泰州人,讲师,硕士,主要从事统计理论及其应用研究.Emailiyaoj@czu.cn.

I厂(z)如=o.

万方数据

第14卷第l期文传军.姚俊:推广的积分第一中值定理的再改进

43

当z∈E\(AUB)时,有

厂(z)=O,

胁圳z=从z)如+

,B厂(z)dz十L。伽厂(。)如=。,

所以,

l厂(z)出=o,

由引理2知

m(B)一O.

即B为零集,所以

、,(z)一O

a.e.

E.

引理4(达布定理)‘1叩

设厂(z)在[n,6]上可

导,则厂(z)在[4,6]上存在介值性.

定理A(推广的积分第一中值定理)【阳设

厂(z),g(z)在[口,6]上连续,且g(z)在k,6]上不

变号,则存在e∈(口,6),使得

l,(z)g(z)dz=,(e)l

g(z)dz.

J口

定理及推论

定理1

设厂(z)在■,6]上连续,g(z)在[口,6]

上可积,且

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[口,6],

则存在e∈(n,6),使得

r6

r6

g(工)妇.

l,(z)g(z)dz=厂(e)In

证明

由于连续函数可积,可积函数的乘积仍

可积,所以,(工)・g(z)在[口,6]上可积.不妨假设

,(z)≥o

a.e.

[口,6],

则存在零集A(c[口,6]),当z∈[n,6]\A时,

g(z)≥O.

又,(z)在k,阳上连续,设优,M分别为厂(z)在k,阳上的最小值和最大值,则当工∈[口,6]\A时,

m≤厂(z)≤M,

m・g(z)≤,(z)g(z)≤M・g(z).

因为有

g(工)@一

J【n.阳

,。g(z)dz+J-[。棚、^g(z)dz=

J【口’6]\^g(z)如,

所以有

Ig(z)dz≥o,

万方数据

mrg(z)如≤r厂(z)g(z)出≤耐69(。如.

●口

J口

分情况进行讨论:

(i)如果

Ig(z)出=o,

或者

m—M.

则e在(口,6)内任取一点即可.

(1i)如果

lg(z)如>o

并且

m<M.

在此情形下,若

r6’

优<生育——一<M,I厂(z)g(z)dz

Ig(z)如

则根据,(z)在[口,6]上的连续性和介值性可知,存

在}∈(口,6),使得

即有

心,=譬

.1,(z)g(z)dz=,(e)lg(z)如.

,n

而若

m=生育——一<M,I,(z)g(z)出

g(工)如

那么

l[厂(z)一,72]g(z)如=o.

因为

,(z)一m≥o(垒∈[n,6]),

[,(z)一m]g(z)一o

a.e.

[口,6],由引理3可知

[,(z)一m]g(z)一o

a.e.

[口,6].

又因为

g(z)dz>o,

故存在e∈(口,6),使得

g(})>O,

厂(搴)一扰,

所以

那么

则有

44高等数学研究2011年1月

g(z)dz=

试证明至少存在・点}∈(一l,1),使得

I,(z)g(z)dz=优l

J口

rb

l厂(z)g(z)dz’=,(搴)I

g(z)dz.

,(e)lg(z)如.

Jt

J口

证明虽然函数g(z)不满足定理A的条件,

而若

在[一1,1]上的取值是异号的,但它是满足定理1的

r6

m<坐丽———一=M,I厂(z)g(z)dz

条件,所以总存在点车∈(一1,1),使得

rb仆

g(z)如

l,(工)g(z)dz=,(e)l

g(z)dz.

J“

J口

则类似可证结论成立.口

结论

定理l和定理A相比较,并不要求g(z)在k,6]上不变号,而只需要求变号的点集为零集,从而扩大

本文对推广的积分第一中值定理进行了讨论,

了适用范围.

将g(z)在[n,6]上不变号弱化为变号的点集为零因为在定理1的证明过程中,对于,(z)而言,主

集,使推广的积分第一中值定理的应用范围更广.同要利用了连续函数闭区间的有界性和介值性,而可积

时利用函数的介值性和可积性以及达布定理,得到函数是有界的,因此也可将,(z)为连续函数的条件两个对应的推论,进一步丰富了定理的适用范畴.

弱化,只要求,(z)是具有介值性的可积函数.

参考文献

,推论1

设厂(z)在[口,6]上可积且有介值性,

[1]肖翔,刘瑞娟,张子厚.不动点定理在积分第一中值定理中

g(z)在[n,6]上可积,且

的应用[J].上海工程技术大学学报,2008,22(2):180-181.

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[比,6],

[2]李衍禧.对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积

则存在e∈(n,6),使得

分中值定理”一文的洼记[J].数学的实践与认识,

Cb

弛2007。37(8):183-185.

JⅡ

I,(z)g(z)dz=,(搴)I

g(z)dz.

J“

[3]范江华,杨斌妮.多重积分的积分中值定理[J].数学的

推论2

设厂(z)是在[n,6]上有原函数的可积

实践与认识.2007。37(12):197—200.

函数,g(z)在[口,6]上可积,且

[4]李衍禧.关于多重积分中值定理的改进[J].潍坊学院

g(z)≥o(或g(z)≤o)a.e.

[口,6],

学报。2009。9(2);70一71.

则存在e∈(n,6),使得

[5]赵纬经,王贵君.改进的第一积分中值定理及其应用D].新

广6

广6

疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):llo-113.

}厂(z)g(z)dz=厂(e)f

g(z)dz.

J口

[6]刘文武.积分中值定理中间点渐进性的一个注记[J].

证明

因厂(z)在[口,6]上有原函数,由引理4,

吉首大学学报:自然科学版,2007,28(4):24・26.

则,(z)在[口,6]上存在介值性,再利用推论l即可

[7]王哈珥.积分中值定理的改进[j].高等数学研究.

得证.

2009.12(6):59—60.

[8]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版

例2

设函数,(z)在[一1,1]上连续,点集社,199l:295.

E={1/M,2/M,…,1),

[9]程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础[M]-

其中M为某一正整数(M>1),而

高等教育出版社。1983:113一116.

,、

z∈[一1,1]\E,

[10]潘继斌.达布(Darboux)定理及其应用[J].湖北师范

g‘z’。l一1,

f1,

z∈E,

学院学报:自然科学版.2000,20(1):78.80.

ImproVementoftheExtendedFirstIntegraI

MeanValueTheorem

WENChuan_jun,

YA0Jun

(School

ofScience.ChangzhouInstituteofTechnology.Changzhou213002.PRC)

Abstracl:

Thetenableconditionoftheextendedfirstintegralmeanvaluethcoremisstudiedinthispaper.

Thepremiseconditionofthistheoremisweakened,andinferences

are

obtained

aboutthereplacementoffunctioncontinuityproperty.

Keywords:

extendedfirstmeanvaluetheorem,zeroset,inte丌nediatevalueproperty,integrality

万方数据

推广的积分第一中值定理的再改进

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):

文传军, 姚俊, WEN Chuan-jun, YAO Jun常州工学院,理学院,江苏,常州213002高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)

参考文献(10条)

1.潘继斌 达布(Darboux)定理及其应用[期刊论文]-湖北师范学院学报(自然科学版) 2000(01)2.程其襄;张奠宙;魏国强 实变函数与泛函分析基础 19833.华东师范大学数学系 数学分析 1994

4.王晗玥 积分中值定理的改进[期刊论文]-高等数学研究 2009(06)

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