两角差的余弦公式
——2013年12月18日
【教学目标】
1、知识目标：
使学生掌握两角差与单个角的正、余弦的关系公式，以及推导公式的过程中的方法与条件的对应性和渐进性，学会对公式使用条件的分析方法与技巧，理解函数线、向量作为基础性的工具作用，学会数形结合的数学思想方法。
2、能力目标：培养学生观察、分析能力，进一步发展学生的抽象思维能力，让学生经历由特殊到一般的数学思维的培养过程，增强渐进性分析与处理问题的能力。并进行学法指导，以提高学生的学习能力。
3、情感目标：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的学习氛围中，提高学生学习兴趣，以提高课堂效率。
【教学重点】推导方法与条件的关系和公式的形式和自觉运用。
【教学难点】不同方法的条件性与适应性问题；用诱导公式拓展条件的过程与思想方法。
【教学方法】类比、启示、探究式教学方法。
【教学手段】多媒体(动画) 辅助教学。
【教学过程】
1、导入：
章头图中问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC 约为30米，在地面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从A 观测电视发射塔的视角(∠CAD) 约为450．求这
座电视发射塔的高度．
探导：设电视发射塔高CD ＝x 米，∠CAB ＝α，则sin α=
tan(450+α)=x +30tan α， 3030，在Rt ∆ABD 中，67
30tan(450+α) -30 于是x=tan α
发现问题：如果能由sin α=30求得tan(450+α) 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了． 67 D 0 A B 更一般地说，对于任意角α、β能不能用α、β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来呢?
切入：下面我们来研究如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos(α-β) 的问 题． 探究1： 验证cos(α-β)=cosα- cosαβ 00000 例如，当α=60，β=30时，动手算一算cos(60-30) 的值，再与cos30 的值作比较． 发现：cos(α-β) ≠cos α- cosα，因此，对任意角α、β，cos(α-β)=cosα- cosα不成立． 说明: cos(α-β) 表示的是α-β的余弦值, 而不是，cos 乘以(α-β) ；cos 是函数的符
号，而不是代表一个数的，它相当于函数中的法则f 。
再探索与猜想：验证与猜想: 算出sin600=
=cos300=11,sin300=,cos600=，22233,cos(600-300)=由这些数据, 你能探究出什么结论? 22
cos(α-β)=cos⋅αcos β + sin⋅αsin β；但α、β应符合什么条件？
联想：由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β这个角的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向
量的知识．
探究2：设角α、β为锐角，且α>β的情形：
角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1=β，则∠xOP=α-β，
过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，那么OM 就是角α-β的余弦线．这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM 。
过点P 作PA 垂直于OP 1，垂足为A ．过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B 。过点P 作PC 垂直于AB ，垂足为C 。
那么OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC=∠xOP 1=α。
于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβ⋅cos α+sinβ⋅sin α。
问题：
值得注意的是，以上结果是在α，β，α-β都是锐角，且α>β的情况下得到的．要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广的工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的．同学们可以自己动手试一试．
探究3：再运用向量的知识进行探究．
如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B 。 则=(cosα, sin α), =(cosβ, sin β), 由向量数量积的定义，有OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |cos(α-β) =cos(α-β) 。 由向量数量积的坐标表示，有⋅=(cosα, sin α) ⋅(cosβ, sin β) = cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ。
于是cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ
比较：运用向量工具进行探索的简洁性，说明向量是基础性的重要的工具
问题：依据向量数量积的概念，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π, 即在此条件下，以上
推导才是正确的．
探究4：下面研究当α-β是任意角时，以上推导是否正确的问题．
当α-β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π)，使cos θ=cos(α-β)
若θ∈[0, π), 则OA ⋅OB =cos θ=cos(α-β)
若θ∈[π,2π), 则2π-θ∈(0, π], 且OA ⋅OB =cos(2π-θ) =cos θ=cos(α-β)
于是，对于任意角α、β， 都有cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ
最终结论：对任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间都有关系cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ．称为差角的余弦公式．简记作C α-β.
公式特点分析：有了公式C α-β以后，我们只要知道cos α, cosβ, sinα, sinβ的值，就可以求得cos(α-β) 的值了．
实例：（引导思维，注意条件）
例1：利用差角余弦公式求cos150的值．
解法1： 解法2：
思考：求sin750的值吗?
例2：已知sin α=
课堂练习：
1．利用公式C α-β证明： 45⎛π⎫，α∈ , π⎪，cos β=-，β是第三象限角，求cos(α-β) 的值． 135⎝2⎭ ⎛π⎫ ⑴cos -α⎪=sin α ⑵cos(2π-α)=cosα ⎝2⎭
2．已知cos α=-3⎛π⎫⎛π⎫, α∈ , π⎪, 求cos -α⎪的值． 5⎝2⎭⎝4⎭
3．已知sin θ=15π⎫⎛, θ是第二象限角，求cos θ-⎪的值． 173⎭⎝
23⎛3π⎫⎛3π⎫, α∈ π, ⎪,cos β=, β∈ , 2π⎪, 求cos (β-α) 的值． 34⎝2⎭⎝2⎭4．已知sin α=-小结：
1、导入
2、切入
3、问题与方法
⑴验证 ⇒ cos(600-300)≠cos600- cos300
⑵用函数线 ⇒ 在α，β，α-β都是锐角，且α>β的情况下有: cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
⑶向量数量积 ⇒ 在0α≤-π≤β的情况下有:
cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
⑷用三角函数诱导公式 ⇒对于任意角α、β, 都有
cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
作业：应用: (加强对公式的理解)
1、默想以上推导公式的四个步骤，注意方法与条件的相互制约的关系。
2、探求其他的推导方法。（可查阅资料）
（如距离法）
3、完成作业：习题3.1 A组
No.2,3,4(注意第四题的变形)
板书设计：
两角差的余弦公式
——2013年12月18日
【教学目标】
1、知识目标：
使学生掌握两角差与单个角的正、余弦的关系公式，以及推导公式的过程中的方法与条件的对应性和渐进性，学会对公式使用条件的分析方法与技巧，理解函数线、向量作为基础性的工具作用，学会数形结合的数学思想方法。
2、能力目标：培养学生观察、分析能力，进一步发展学生的抽象思维能力，让学生经历由特殊到一般的数学思维的培养过程，增强渐进性分析与处理问题的能力。并进行学法指导，以提高学生的学习能力。
3、情感目标：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的学习氛围中，提高学生学习兴趣，以提高课堂效率。
【教学重点】推导方法与条件的关系和公式的形式和自觉运用。
【教学难点】不同方法的条件性与适应性问题；用诱导公式拓展条件的过程与思想方法。
【教学方法】类比、启示、探究式教学方法。
【教学手段】多媒体(动画) 辅助教学。
【教学过程】
1、导入：
章头图中问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC 约为30米，在地面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从A 观测电视发射塔的视角(∠CAD) 约为450．求这
座电视发射塔的高度．
探导：设电视发射塔高CD ＝x 米，∠CAB ＝α，则sin α=
tan(450+α)=x +30tan α， 3030，在Rt ∆ABD 中，67
30tan(450+α) -30 于是x=tan α
发现问题：如果能由sin α=30求得tan(450+α) 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了． 67 D 0 A B 更一般地说，对于任意角α、β能不能用α、β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来呢?
切入：下面我们来研究如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos(α-β) 的问 题． 探究1： 验证cos(α-β)=cosα- cosαβ 00000 例如，当α=60，β=30时，动手算一算cos(60-30) 的值，再与cos30 的值作比较． 发现：cos(α-β) ≠cos α- cosα，因此，对任意角α、β，cos(α-β)=cosα- cosα不成立． 说明: cos(α-β) 表示的是α-β的余弦值, 而不是，cos 乘以(α-β) ；cos 是函数的符
号，而不是代表一个数的，它相当于函数中的法则f 。
再探索与猜想：验证与猜想: 算出sin600=
=cos300=11,sin300=,cos600=，22233,cos(600-300)=由这些数据, 你能探究出什么结论? 22
cos(α-β)=cos⋅αcos β + sin⋅αsin β；但α、β应符合什么条件？
联想：由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β这个角的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向
量的知识．
探究2：设角α、β为锐角，且α>β的情形：
角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1=β，则∠xOP=α-β，
过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，那么OM 就是角α-β的余弦线．这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM 。
过点P 作PA 垂直于OP 1，垂足为A ．过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B 。过点P 作PC 垂直于AB ，垂足为C 。
那么OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠PAC=∠xOP 1=α。
于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβ⋅cos α+sinβ⋅sin α。
问题：
值得注意的是，以上结果是在α，β，α-β都是锐角，且α>β的情况下得到的．要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广的工作，并且这项推广工作的过程也是比较繁难的．同学们可以自己动手试一试．
探究3：再运用向量的知识进行探究．
如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B 。 则=(cosα, sin α), =(cosβ, sin β), 由向量数量积的定义，有OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |cos(α-β) =cos(α-β) 。 由向量数量积的坐标表示，有⋅=(cosα, sin α) ⋅(cosβ, sin β) = cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ。
于是cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ
比较：运用向量工具进行探索的简洁性，说明向量是基础性的重要的工具
问题：依据向量数量积的概念，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π, 即在此条件下，以上
推导才是正确的．
探究4：下面研究当α-β是任意角时，以上推导是否正确的问题．
当α-β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π)，使cos θ=cos(α-β)
若θ∈[0, π), 则OA ⋅OB =cos θ=cos(α-β)
若θ∈[π,2π), 则2π-θ∈(0, π], 且OA ⋅OB =cos(2π-θ) =cos θ=cos(α-β)
于是，对于任意角α、β， 都有cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ
最终结论：对任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间都有关系cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sinα⋅ sinβ．称为差角的余弦公式．简记作C α-β.
公式特点分析：有了公式C α-β以后，我们只要知道cos α, cosβ, sinα, sinβ的值，就可以求得cos(α-β) 的值了．
实例：（引导思维，注意条件）
例1：利用差角余弦公式求cos150的值．
解法1： 解法2：
思考：求sin750的值吗?
例2：已知sin α=
课堂练习：
1．利用公式C α-β证明： 45⎛π⎫，α∈ , π⎪，cos β=-，β是第三象限角，求cos(α-β) 的值． 135⎝2⎭ ⎛π⎫ ⑴cos -α⎪=sin α ⑵cos(2π-α)=cosα ⎝2⎭
2．已知cos α=-3⎛π⎫⎛π⎫, α∈ , π⎪, 求cos -α⎪的值． 5⎝2⎭⎝4⎭
3．已知sin θ=15π⎫⎛, θ是第二象限角，求cos θ-⎪的值． 173⎭⎝
23⎛3π⎫⎛3π⎫, α∈ π, ⎪,cos β=, β∈ , 2π⎪, 求cos (β-α) 的值． 34⎝2⎭⎝2⎭4．已知sin α=-小结：
1、导入
2、切入
3、问题与方法
⑴验证 ⇒ cos(600-300)≠cos600- cos300
⑵用函数线 ⇒ 在α，β，α-β都是锐角，且α>β的情况下有: cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
⑶向量数量积 ⇒ 在0α≤-π≤β的情况下有:
cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
⑷用三角函数诱导公式 ⇒对于任意角α、β, 都有
cos(α-β)=cosα ⋅ cosβ + sin⋅α sinβ
作业：应用: (加强对公式的理解)
1、默想以上推导公式的四个步骤，注意方法与条件的相互制约的关系。
2、探求其他的推导方法。（可查阅资料）
（如距离法）
3、完成作业：习题3.1 A组
No.2,3,4(注意第四题的变形)
板书设计：