意 料 之 外 情 理 之 中
—— 《两位数除以一位数（首位能整除）》教学后的反思
张家港市妙桥小学 215615
唐长峰
用竖式计算两位数除以一位数（首位能整除）的除法，这一内容的难点在于掌握正确的笔算方法。记得我几年前在教学这一内容时，总有部分学生在一开始不能正确进行除法的竖式计算，例如用竖式计算28÷2，总是会有学生出现如 这样的情况，学生将两位数除以一位数与前面所学的表内除法相混淆。
当然学生在经过几次错误之后，学生都能正确的进行竖式计算。那是不是只有在经历过几次错误之后才能回归到正途呢？学生能否在课堂上就能很好的掌握两位数除以一位数的笔算方法呢？经过实践证明，答案是肯定的。学生在一节课的学习中完全能正确的进行两位数除以一位数的竖式计算，在课后的练习中也没有出现以往的现象，这确实有些出乎我的意料，但我后来反思自己的教学过程，觉得这一切完全是在情理之中了。
教学片断：
出示主题图：两个女孩一共买了46支铅笔（图中是4捆铅笔，每捆10枝，还有6支） 师：从图中你知道了什么？
生：我从图上看出两个女孩一共买了46支铅笔。
师：你能提出一个数学问题吗？
生：平均每个女孩买了多少枝铅笔。
师：你会列式吗？
板书除法算式：46÷2
师：那么每个女孩买了多少支铅笔呢？猜猜看。
生1：每个女孩买了20枝铅笔。
生2：每个女孩买了23支铅笔。
生3：每个女孩买了30枝铅笔。
（这时下面有学生表示不同意见）
生3：每个女孩不可能买30枝铅笔，如果是30枝的话，铅笔应该一共有60枝了，而图上只有46枝铅笔。（其余同学表示赞同）
师：怎么才能知道每个女孩买了多少支铅笔呢？
生1：把46枝铅笔平均分成两份不就行了吗。
生2：不要分了，看看图不就知道了吗，一个女孩可以得到两捆铅笔和三枝，一共是23枝铅笔。
师：结果对不对呢？请大家拿出自己的小棒来分一分。
（这时有学生说自己的小棒不够46根）
师：小棒不够怎么办呀？
（有几位学生提出几个人合起来不就行了吗，学生的反映还是蛮快的）
师：就请大家小组合作来动手分一分。
（我巡视发现有的小组拿出的都是一根一根的小棒，在数出46根小棒之后，再一根一根的分）
师：我们怎样拿出46根小棒呢？需要一根一根的数吗？
生：只要拿出4捆和6根小棒，这样分起来比较方便。
（经过提示之后，学生都准备了4捆和6根小棒，然后平均分成了两份）
师：在小组里说说你是怎么分的，可以一边说一边小组里的同学演示分小棒的过程。 （我在这里留给学生比较充裕的时间，让他们在小组里边说边分）
师：谁来跟大家介绍一下，你是怎么来分小棒的？
生：（学生在实物投影前进行演示操作）先把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，就是20根，在把6根小棒平均分成两份，每份是3根小棒，这样一份有23根小棒。
师：我们发现分小棒的过程是分几步完成的？
生：两步，先分整捆的，再分单根的。
师：你们能用算式表示出刚才分小棒的过程吗？试试看。
（学生尝试书写算式）
生：40÷2=20 6÷2=3（板书）
师：为什么可以用这两个算式来表示？
生：把4捆小棒平均分成两份，也就是把40根小棒平均分成2份，用算式表示就是40÷2=20，再把6根小棒平均分成2份，就是6÷2=3。
师：说得真不错，那每份一共有多少根（23根），用算式怎样表示？
生： 20+3=23。（板书）
师：刚才我们根据分小棒的过程，把46÷2这一个算式变成了（三个算式），得出最后的结果是23，我们还可以怎样来计算？（列竖式计算）那就请大家列竖式计算46÷2。
（学生尝试列竖式计算，然后板演，共出现了三种情况）
（1） （2）
（3）
（全班有近2/3的学生是第一种算法，有两位学生是第二种算法，其余的学生是第三种算法）
师：请用第一种计算方法的同学说说你是怎么想的？
生：十位上的4除以2等于2，个位上的6除以2等于3，23乘以2等于46，46减46等于0。
师：大家同意他的发言吗？有不同的意见吗？
生：我认为第三种计算方法是正确的。
师：请说说你的想法。
生：先计算4除以2就是把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，就把2写在商的十位上。
师：为什么要写在商的十位上而不是写在个位上呢？
生：因为这个2表示2捆小棒，是20，所以写在商的十位上。然后2乘2得4，写在4的下面，表示4捆小棒已经分完了，再在下面画一条横线。
师：为什么要画一条横线呢？
生：它可以表示整捆的小棒已经分完了，分小棒的第一步结束了
师：整捆的小棒分完了，那下面要写0吗，就像第二种方法那样？
（有的说要写0，有的说不要写0）
生：我认为这里的0不要写。因为写上0的话就表示结束了，但是还有6根小棒没有分呢。
（其他同学赞同他的意见，教师擦去第二种方法中的0）
师：这里怎么会有两个6呢，（教师指着竖式问）它们表示的意思一样吗？
生：上面的一个6是从上面移下来的。
师：为什么要移下来呢？
生：（不好意思的挠着头说）不知道，是妈妈对我说要移下来再算的。
师：你妈妈说的是对的，但她可能说不清楚为什么要移下来，谁能来说说这其中的道理呢？
生：把6移下来，可以表示接下来要把6根小棒平均分了，就是分小棒的第二步，6除以2等于3，商的个位上写3，再计算2乘3得6，再在下面写6。
师：这个6又表示什么呢？
生：表示又分掉了6根小棒，6减6等于0，再画一条横线写上0。
师：这里的0要不要写？（指着竖式最后的0问）
生：要写的，因为小棒已经分完，一根也没有多余的。
师：计算结束，小棒也都分完了，最后写上0。现在你们认为应该怎样计算46除以2呢？ „„
接下来我适时地进行笔算过程的小结，逐渐让学生扔掉“分小棒”这根“拐杖”， 及时沟通算理与算法之间的联系，为学生的后续学习打下较为扎实的基础。
教学后的几点体会：
一、研读教材、领会意图，把握教学的“切入点”。
教材呈现给我们的是购买铅笔的场景图，两个女孩一共买了46枝（分为4捆和6枝）铅笔，平均每个女孩买多少枝？主题图为何采用购买铅笔，而不是购买本子等其他物品呢？其用意显然在于有利于学生操作活动的开展，学生从分铅笔和容易联想到分小棒的活动，而分小棒对于他们来说是再熟悉不过的了，如果是换成购买46本本子，学生教难与分小棒联系起来，自然不利于学生较好的理解算理，教材的目的显然是想引导学生通过实际操作，经历算法的创造形成过程。
我在以往的教学中没能领会教材的编写意图，认为把46枝铅笔平均分成两份对于学生来说是再简单不过的事情了，于是就简单的演示了一下，那学生究竟从中能得到些什么呢？后来的笔算教学我纯粹的用笔算方法来帮助学生掌握，如先把被除数的十位除以除数，把商写在哪一位上，然后再怎样怎样，自以为解释地很清楚了，但学生练习中的问题不断，一开始我还纳闷是怎么了？现在原因自然是不言而喻了。
上好课的前提是对教材的深入细致的研究，把握教学的“切入点”，正所谓“磨刀不误砍柴工”。
二、动手操作，理解算理，让思维成为“有本之木”。
《数学课程标准》指出：要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，
掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”计算教学中的探索算法的过程是最好的经历数学的活动过程，教师不能局限于学生计算方法的掌握，而是要着眼于对计算方法的探索过程。
本课教学中让学生进行分小棒的操作活动，从中知道竖式为什么要这样写，使得抽象的算理变得直观易懂。同时在分析算理的同时突破算法，课堂中学生的回答正体现了这一点，算法的得出可以说是由学生自己归纳总结出来的，这样使学生不仅知其然，更知其所以然。
数学知识是抽象的，通过摆一摆、想一想、说一说，让学生借助分小棒来理解算理、探索算法，从而经历“再创造”过程，这就是让学生在“数学活动中学习数学”。学生只有在实际操作活动中才能逐步感悟、理解“理”和“法”之间的联系，从而使学生的思维成为“有源之水、有本之木”。
三、互动对话、有效交流，促进对知识的主动建构。
《数学课程标准》指出：“动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式„„数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”学生在进行分小棒的操作之后，让学生在小组中充分交流分小棒的方法，然后进行全班的互动交流，通过“说”使学生将“分小棒”的过程进行有效内化，这一过程就是学生理解算理的过程，通过说过程、说算理，使操作、思维、表述构成了一个相辅相成的内化过程。
学生在学习过程中通过交流把日常语言和数学的抽象语言联系起来，学生对于两位数除以一位数的笔算过程，是通过“分小棒”来描述的，这是学生所能理解和接受的“儿童化”的数学语言，相比较生涩、拗口的纯数学语言的叙述更易于理解掌握。
有效的交流使计算活动得到提炼和升华，让全班同学共同分析、讨论思维的正误，形成“学习共同体”，最终使学生在互动交流中理解算理，自主归纳笔算除法的基本方法，促进了学生对数学知识的主动建构。
意 料 之 外 情 理 之 中
—— 《两位数除以一位数（首位能整除）》教学后的反思
张家港市妙桥小学 215615
唐长峰
用竖式计算两位数除以一位数（首位能整除）的除法，这一内容的难点在于掌握正确的笔算方法。记得我几年前在教学这一内容时，总有部分学生在一开始不能正确进行除法的竖式计算，例如用竖式计算28÷2，总是会有学生出现如 这样的情况，学生将两位数除以一位数与前面所学的表内除法相混淆。
当然学生在经过几次错误之后，学生都能正确的进行竖式计算。那是不是只有在经历过几次错误之后才能回归到正途呢？学生能否在课堂上就能很好的掌握两位数除以一位数的笔算方法呢？经过实践证明，答案是肯定的。学生在一节课的学习中完全能正确的进行两位数除以一位数的竖式计算，在课后的练习中也没有出现以往的现象，这确实有些出乎我的意料，但我后来反思自己的教学过程，觉得这一切完全是在情理之中了。
教学片断：
出示主题图：两个女孩一共买了46支铅笔（图中是4捆铅笔，每捆10枝，还有6支） 师：从图中你知道了什么？
生：我从图上看出两个女孩一共买了46支铅笔。
师：你能提出一个数学问题吗？
生：平均每个女孩买了多少枝铅笔。
师：你会列式吗？
板书除法算式：46÷2
师：那么每个女孩买了多少支铅笔呢？猜猜看。
生1：每个女孩买了20枝铅笔。
生2：每个女孩买了23支铅笔。
生3：每个女孩买了30枝铅笔。
（这时下面有学生表示不同意见）
生3：每个女孩不可能买30枝铅笔，如果是30枝的话，铅笔应该一共有60枝了，而图上只有46枝铅笔。（其余同学表示赞同）
师：怎么才能知道每个女孩买了多少支铅笔呢？
生1：把46枝铅笔平均分成两份不就行了吗。
生2：不要分了，看看图不就知道了吗，一个女孩可以得到两捆铅笔和三枝，一共是23枝铅笔。
师：结果对不对呢？请大家拿出自己的小棒来分一分。
（这时有学生说自己的小棒不够46根）
师：小棒不够怎么办呀？
（有几位学生提出几个人合起来不就行了吗，学生的反映还是蛮快的）
师：就请大家小组合作来动手分一分。
（我巡视发现有的小组拿出的都是一根一根的小棒，在数出46根小棒之后，再一根一根的分）
师：我们怎样拿出46根小棒呢？需要一根一根的数吗？
生：只要拿出4捆和6根小棒，这样分起来比较方便。
（经过提示之后，学生都准备了4捆和6根小棒，然后平均分成了两份）
师：在小组里说说你是怎么分的，可以一边说一边小组里的同学演示分小棒的过程。 （我在这里留给学生比较充裕的时间，让他们在小组里边说边分）
师：谁来跟大家介绍一下，你是怎么来分小棒的？
生：（学生在实物投影前进行演示操作）先把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，就是20根，在把6根小棒平均分成两份，每份是3根小棒，这样一份有23根小棒。
师：我们发现分小棒的过程是分几步完成的？
生：两步，先分整捆的，再分单根的。
师：你们能用算式表示出刚才分小棒的过程吗？试试看。
（学生尝试书写算式）
生：40÷2=20 6÷2=3（板书）
师：为什么可以用这两个算式来表示？
生：把4捆小棒平均分成两份，也就是把40根小棒平均分成2份，用算式表示就是40÷2=20，再把6根小棒平均分成2份，就是6÷2=3。
师：说得真不错，那每份一共有多少根（23根），用算式怎样表示？
生： 20+3=23。（板书）
师：刚才我们根据分小棒的过程，把46÷2这一个算式变成了（三个算式），得出最后的结果是23，我们还可以怎样来计算？（列竖式计算）那就请大家列竖式计算46÷2。
（学生尝试列竖式计算，然后板演，共出现了三种情况）
（1） （2）
（3）
（全班有近2/3的学生是第一种算法，有两位学生是第二种算法，其余的学生是第三种算法）
师：请用第一种计算方法的同学说说你是怎么想的？
生：十位上的4除以2等于2，个位上的6除以2等于3，23乘以2等于46，46减46等于0。
师：大家同意他的发言吗？有不同的意见吗？
生：我认为第三种计算方法是正确的。
师：请说说你的想法。
生：先计算4除以2就是把4捆小棒平均分成两份，每份是2捆小棒，就把2写在商的十位上。
师：为什么要写在商的十位上而不是写在个位上呢？
生：因为这个2表示2捆小棒，是20，所以写在商的十位上。然后2乘2得4，写在4的下面，表示4捆小棒已经分完了，再在下面画一条横线。
师：为什么要画一条横线呢？
生：它可以表示整捆的小棒已经分完了，分小棒的第一步结束了
师：整捆的小棒分完了，那下面要写0吗，就像第二种方法那样？
（有的说要写0，有的说不要写0）
生：我认为这里的0不要写。因为写上0的话就表示结束了，但是还有6根小棒没有分呢。
（其他同学赞同他的意见，教师擦去第二种方法中的0）
师：这里怎么会有两个6呢，（教师指着竖式问）它们表示的意思一样吗？
生：上面的一个6是从上面移下来的。
师：为什么要移下来呢？
生：（不好意思的挠着头说）不知道，是妈妈对我说要移下来再算的。
师：你妈妈说的是对的，但她可能说不清楚为什么要移下来，谁能来说说这其中的道理呢？
生：把6移下来，可以表示接下来要把6根小棒平均分了，就是分小棒的第二步，6除以2等于3，商的个位上写3，再计算2乘3得6，再在下面写6。
师：这个6又表示什么呢？
生：表示又分掉了6根小棒，6减6等于0，再画一条横线写上0。
师：这里的0要不要写？（指着竖式最后的0问）
生：要写的，因为小棒已经分完，一根也没有多余的。
师：计算结束，小棒也都分完了，最后写上0。现在你们认为应该怎样计算46除以2呢？ „„
接下来我适时地进行笔算过程的小结，逐渐让学生扔掉“分小棒”这根“拐杖”， 及时沟通算理与算法之间的联系，为学生的后续学习打下较为扎实的基础。
教学后的几点体会：
一、研读教材、领会意图，把握教学的“切入点”。
教材呈现给我们的是购买铅笔的场景图，两个女孩一共买了46枝（分为4捆和6枝）铅笔，平均每个女孩买多少枝？主题图为何采用购买铅笔，而不是购买本子等其他物品呢？其用意显然在于有利于学生操作活动的开展，学生从分铅笔和容易联想到分小棒的活动，而分小棒对于他们来说是再熟悉不过的了，如果是换成购买46本本子，学生教难与分小棒联系起来，自然不利于学生较好的理解算理，教材的目的显然是想引导学生通过实际操作，经历算法的创造形成过程。
我在以往的教学中没能领会教材的编写意图，认为把46枝铅笔平均分成两份对于学生来说是再简单不过的事情了，于是就简单的演示了一下，那学生究竟从中能得到些什么呢？后来的笔算教学我纯粹的用笔算方法来帮助学生掌握，如先把被除数的十位除以除数，把商写在哪一位上，然后再怎样怎样，自以为解释地很清楚了，但学生练习中的问题不断，一开始我还纳闷是怎么了？现在原因自然是不言而喻了。
上好课的前提是对教材的深入细致的研究，把握教学的“切入点”，正所谓“磨刀不误砍柴工”。
二、动手操作，理解算理，让思维成为“有本之木”。
《数学课程标准》指出：要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，
掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”计算教学中的探索算法的过程是最好的经历数学的活动过程，教师不能局限于学生计算方法的掌握，而是要着眼于对计算方法的探索过程。
本课教学中让学生进行分小棒的操作活动，从中知道竖式为什么要这样写，使得抽象的算理变得直观易懂。同时在分析算理的同时突破算法，课堂中学生的回答正体现了这一点，算法的得出可以说是由学生自己归纳总结出来的，这样使学生不仅知其然，更知其所以然。
数学知识是抽象的，通过摆一摆、想一想、说一说，让学生借助分小棒来理解算理、探索算法，从而经历“再创造”过程，这就是让学生在“数学活动中学习数学”。学生只有在实际操作活动中才能逐步感悟、理解“理”和“法”之间的联系，从而使学生的思维成为“有源之水、有本之木”。
三、互动对话、有效交流，促进对知识的主动建构。
《数学课程标准》指出：“动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式„„数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”学生在进行分小棒的操作之后，让学生在小组中充分交流分小棒的方法，然后进行全班的互动交流，通过“说”使学生将“分小棒”的过程进行有效内化，这一过程就是学生理解算理的过程，通过说过程、说算理，使操作、思维、表述构成了一个相辅相成的内化过程。
学生在学习过程中通过交流把日常语言和数学的抽象语言联系起来，学生对于两位数除以一位数的笔算过程，是通过“分小棒”来描述的，这是学生所能理解和接受的“儿童化”的数学语言，相比较生涩、拗口的纯数学语言的叙述更易于理解掌握。
有效的交流使计算活动得到提炼和升华，让全班同学共同分析、讨论思维的正误，形成“学习共同体”，最终使学生在互动交流中理解算理，自主归纳笔算除法的基本方法，促进了学生对数学知识的主动建构。