相似三角形压轴经典大题解析
1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，
△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，
【答案】解：（1） MN∥BC ∴△AMN∽△ABC
∴
h6=x
8 ∴h=3x4 （2） △AMN≌△A1MN
∴△A1MN的边MN上的高为h，
①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，
y=S1133
△A1MN=2MN·h=2x·4x=8x2（0
②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4
设△A1EF的边EF上的高为h1， 则h1=2h-6=
3
2
x-6 EF∥MN
∴△A1EF∽△A1MN
△A1MN∽△ABC∴△A1EF∽△ABC
y最大，最大值为多少？
S△A1EFS△ABC
⎛h⎫= 1⎪ ⎝6⎭
⎛3⎫x-6 ⎪32
== 2+⎪⨯24=x-1x
2 6⎪
⎝⎭
2
2
1
S△ABC=⨯6⨯8=24 ∴S△A1EF
2
42
y=S△A1MN-S△A1EF=
所以 y=-
32⎛329⎫
x- x-12x+24⎪=-x2+12x-24 88⎝2⎭
92
x+12x-248
(4
32
x，取x=4，y最大=6 8
综上所述：当0
92
x+12x-24， 8
16
，y最大=8 3 8>6
16
∴当x=时，y最大，y最大=8
3
A
N
B A1
F
C
2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，-2)三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】解：（1） 该抛物线过点C(0，-2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax+bx-2． 将A(4，0)，B(1，0)代入，
2
1⎧
a=-，
⎧16a+4b-2=0，⎪⎪2得⎨解得⎨ a+b-2=0.5⎩⎪b=.
⎪⎩215
∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．
22
（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为-当1
125
m+m-2， 22
15
AM=4-m，PM=-m2+m-2．
22
又 ∠COA=∠PMA=90°，
AMAO2
==时， ∴①当
PMOC1△APM∽△ACO，
即4-m=2 -
⎛125⎫
m+m-2⎪．
2⎝2⎭
解得m1=2，m2=4（舍去），∴P(2，1)． ②当
AMOC115
==时，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-m2+m-2． PMOA222
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）
1)． ∴当1
类似地可求出当m>4时，P(5，-2)． 当m
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，-14)． -2)或(-3，
3．如图，已知直线l1:y=
28
矩x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．
33
形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为
t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的
t的取值范围．
【答案】（1）解：由
28
0)．得x=-4． ∴A点坐标为(-4，x+=0，
33
0)．由-2x+16=0，得x=8． ∴B点坐标为(8，
∴AB=8-(-4)=12．
28⎧
y=x+，⎧x=5，⎪
6)．由⎨解得∴C点的坐标为(5， 33⎨
⎩y=6．⎪⎩y=-2x+16．
∴S△ABC=
11
AB·yC=⨯12⨯6=36．
22
28
⨯8+=8．
33
（2）解：∵点D在l1上且xD=xB=8，∴yD=
8)． ∴D点坐标为(8，
∴-2xE+16=8．∴xE=4．又∵点E在l2上且yE=yD=8，
8)．∴E点坐标为(4，
∴OE=8-4=4，EF=8．
（3）解法一：①当0≤t
（图1）
∴
（图2）
（图3）
BGRGtRG
即=∴RG=2t． =，，
BMCM36
Rt△AFH∽Rt△AMC，
112
∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=36-⨯t⨯2t-(8-t)⨯(8-t)．
223
41644
即S=-t2+t+ ．
333
82t, 当3≤t
(8-t)+=8-
333
∴
1282t880 s=⨯4[(4-t)++8-]=-t+233333
当8≤t
s
12tt2
=(8-)(12-t)=-8t+48 233
4．如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿
B→A，B→C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点
N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
N 3
【答案】解： （1）PM=，
4
（2）t=2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2
（3） PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，
△AMP∽△ABC，∴∴QM=3-
t(a-1)
a
PMAMPMa-tt(a-t)
即， ==， PM=
BNABtaa
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即
(QP+AD)DQ(MP+BN)BM
=
22
⎛t(a-t)⎫⎛t⎫
3-+3(a-1) ⎪ (a-t)+t⎪t
aa⎭⎭化简得t=6a，
=⎝=⎝
226+a
t≤3，∴
6a
≤3，则a≤6，∴3
（4） 3
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM
t6a
代入，解之得a=±
，所以a= ∴(a-t)=3-t，把t=
a6+
a
所以，存在a
，当a=PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．
5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
【答案】 解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.
又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=
3211
×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；
222
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=
1
×
2t=t, 2
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=
6-2tQR6,即=,所以t=, PR53t
所以当t=
6
时, △APR～△PRQ 5
6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的
解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、
N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求
【答案】 解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
M 2
N
B
图7-1
M
BD
的值． AC
A
图7-2
B
N
M
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
A N
图4
B F
M
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．
M C
∴
BEBO
． =
ACAO
又∵OB = kAO，
B
图5
由（2）的方法易得 BE = BD．∴
BD
=k． AC
N
10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；
（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理
由；
相似三角形压轴经典大题解析
1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，
△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，
【答案】解：（1） MN∥BC ∴△AMN∽△ABC
∴
h6=x
8 ∴h=3x4 （2） △AMN≌△A1MN
∴△A1MN的边MN上的高为h，
①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，
y=S1133
△A1MN=2MN·h=2x·4x=8x2（0
②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4
设△A1EF的边EF上的高为h1， 则h1=2h-6=
3
2
x-6 EF∥MN
∴△A1EF∽△A1MN
△A1MN∽△ABC∴△A1EF∽△ABC
y最大，最大值为多少？
S△A1EFS△ABC
⎛h⎫= 1⎪ ⎝6⎭
⎛3⎫x-6 ⎪32
== 2+⎪⨯24=x-1x
2 6⎪
⎝⎭
2
2
1
S△ABC=⨯6⨯8=24 ∴S△A1EF
2
42
y=S△A1MN-S△A1EF=
所以 y=-
32⎛329⎫
x- x-12x+24⎪=-x2+12x-24 88⎝2⎭
92
x+12x-248
(4
32
x，取x=4，y最大=6 8
综上所述：当0
92
x+12x-24， 8
16
，y最大=8 3 8>6
16
∴当x=时，y最大，y最大=8
3
A
N
B A1
F
C
2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，-2)三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】解：（1） 该抛物线过点C(0，-2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax+bx-2． 将A(4，0)，B(1，0)代入，
2
1⎧
a=-，
⎧16a+4b-2=0，⎪⎪2得⎨解得⎨ a+b-2=0.5⎩⎪b=.
⎪⎩215
∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．
22
（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为-当1
125
m+m-2， 22
15
AM=4-m，PM=-m2+m-2．
22
又 ∠COA=∠PMA=90°，
AMAO2
==时， ∴①当
PMOC1△APM∽△ACO，
即4-m=2 -
⎛125⎫
m+m-2⎪．
2⎝2⎭
解得m1=2，m2=4（舍去），∴P(2，1)． ②当
AMOC115
==时，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-m2+m-2． PMOA222
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）
1)． ∴当1
类似地可求出当m>4时，P(5，-2)． 当m
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，-14)． -2)或(-3，
3．如图，已知直线l1:y=
28
矩x+与直线l2:y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点．
33
形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为
t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的
t的取值范围．
【答案】（1）解：由
28
0)．得x=-4． ∴A点坐标为(-4，x+=0，
33
0)．由-2x+16=0，得x=8． ∴B点坐标为(8，
∴AB=8-(-4)=12．
28⎧
y=x+，⎧x=5，⎪
6)．由⎨解得∴C点的坐标为(5， 33⎨
⎩y=6．⎪⎩y=-2x+16．
∴S△ABC=
11
AB·yC=⨯12⨯6=36．
22
28
⨯8+=8．
33
（2）解：∵点D在l1上且xD=xB=8，∴yD=
8)． ∴D点坐标为(8，
∴-2xE+16=8．∴xE=4．又∵点E在l2上且yE=yD=8，
8)．∴E点坐标为(4，
∴OE=8-4=4，EF=8．
（3）解法一：①当0≤t
（图1）
∴
（图2）
（图3）
BGRGtRG
即=∴RG=2t． =，，
BMCM36
Rt△AFH∽Rt△AMC，
112
∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=36-⨯t⨯2t-(8-t)⨯(8-t)．
223
41644
即S=-t2+t+ ．
333
82t, 当3≤t
(8-t)+=8-
333
∴
1282t880 s=⨯4[(4-t)++8-]=-t+233333
当8≤t
s
12tt2
=(8-)(12-t)=-8t+48 233
4．如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a>3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿
B→A，B→C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点
N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
N 3
【答案】解： （1）PM=，
4
（2）t=2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2
（3） PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，
△AMP∽△ABC，∴∴QM=3-
t(a-1)
a
PMAMPMa-tt(a-t)
即， ==， PM=
BNABtaa
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即
(QP+AD)DQ(MP+BN)BM
=
22
⎛t(a-t)⎫⎛t⎫
3-+3(a-1) ⎪ (a-t)+t⎪t
aa⎭⎭化简得t=6a，
=⎝=⎝
226+a
t≤3，∴
6a
≤3，则a≤6，∴3
（4） 3
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM
t6a
代入，解之得a=±
，所以a= ∴(a-t)=3-t，把t=
a6+
a
所以，存在a
，当a=PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．
5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
【答案】 解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.
又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=
3211
×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；
222
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=
1
×
2t=t, 2
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=
6-2tQR6,即=,所以t=, PR53t
所以当t=
6
时, △APR～△PRQ 5
6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的
解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、
N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求
【答案】 解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
M 2
N
B
图7-1
M
BD
的值． AC
A
图7-2
B
N
M
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
A N
图4
B F
M
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．
M C
∴
BEBO
． =
ACAO
又∵OB = kAO，
B
图5
由（2）的方法易得 BE = BD．∴
BD
=k． AC
N
10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？
（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；
（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；
（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理
由；