二次函数压轴题
1、2014济南市模拟题七 28题（2009•潍坊）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点．抛物线y=ax2+bx+c与y 轴交于点D ，与直线y=x交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长；
（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
解：（1）
圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，
0) B (0，-1) 、C (1，、0) D (01)， ∴点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A (-1，、
抛物线与直线y =x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ，
-1) 、N (11)，． ········································································································ 2分 ∴M (-1，
，、M (-1，-1) 、N (11)，的坐标代入 点D 、M 、N 在抛物线上，将D (01)
⎧c =1⎧a =-1
⎪⎪
y =ax 2+bx +c ，得：⎨-1=a -b +c 解之，得：⎨b =1
⎪1=a +b +c ⎪c =1⎩⎩
············································································ 4分 ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+x +1． ·
（2）
1⎫5⎛
y =-x +x +1=- x -⎪+
2⎭4⎝
2
2
∴抛物线的对称轴为x =
1， 2
1． ······················ 6分 ∴OE =，DE ==
2连结BF ，∠BFD =90°，
∴△BFD ∽△EOD ，∴
又DE =
DE OD
=，
DB FD
OD =1，DB =2，
2
，
∴E F =F D -D ∴FD =
5
（3）点P 在抛物线上． ········································································································ 9分 设过D 、C 点的直线为：y =kx +b ，
，、0) D (01)，的坐标代入y =kx +b ，得：k =-1，b =1， 将点C (1
····························································································· 10分 ∴直线DC 为：y =-x +1． ·
过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为y =-1， 将y =-1代入y =-x +1，得：x =2．
-1) ， ··································································································· 11分 ∴P 点的坐标为(2，
22
当x =2时，y =-x +x +1=-2+2+1=-1，
2
所以，P 点在抛物线y =-x +x +1上． ·········································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．
2、济南市模拟六28题（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）设点M （3，m ），求使MN+MD的值最小时m 的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
2014济南市模拟题六 28题，开口相反与此题同 三大考查点：1、饮马路线最短问题，
2、是否存在平行四边形问题 3、抛物线上动点构成最大三角形问题 解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，
， 解得
， 故抛物线为y=﹣x 2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A （﹣1，0）及C （2，3）得
， 解得
故直线AC 为y=x+1；
（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D （1，4）， 故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+
，
当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 则m=﹣×
=
；
（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2） ∵点E 在直线AC 上， 设E （x ，x+1），
①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方， 则F （x ，x+3）， ∵F 在抛物线上， ∴x+3=﹣x 2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去） ∴E （0，1）；
②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方， 则F （x ，x ﹣1） 由F 在抛物线上 ∴x ﹣1=﹣x 2+2x+3 解得x=∴E （
或x=，
）或（
，
） ，
）或（
，
）；
综上，满足条件的点E 为E （0，1）、（
（4）方法一：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图1 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3） ∴PQ=（﹣x 2+2x+3）﹣（x ﹣1） =﹣x 2+x+2
∵S △APC =S△APQ+S △CPQ =PQ•AG =（﹣x 2+x+2）×3 =﹣（x ﹣）2+∴面积的最大值为
．
方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图2， 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3）
又∵S △APC =S△APH +S直角梯形PHGC ﹣S △AGC
=（x+1）（﹣x 2+2x+3）+（﹣x 2+2x+3+3）（2﹣x ）﹣×3×3 =﹣x 2+x+3 =﹣（x ﹣）2+∴△APC 的面积的最大值为
．
3、（济南2014模拟五28）（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线
y=x 2+2x与x 轴相交于O 、B ，顶点为A ，连接OA ． （1）求点A 的坐标和∠AOB 的度数；
（2）若将抛物线y=x 2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m ，其顶点为点C ．连接OC 和AC ，把△AOC 沿OA 翻折得到四边形ACOC ′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C ′是否在抛物线y=x 2+2x上，请说明理由；
（4）若点P 为x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q ，使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵由
y=x 2+2x得，
y=（x ﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点A 的坐标为（﹣2，﹣2）， 令x 2+2x=0，解得x 1=0，x 2=﹣4， ∴点B 的坐标为（﹣4，0），
过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ， ∴∠ADO=90°， ∴点A 的坐标为（﹣2，﹣2），点D 的坐标为（﹣2，0）， ∴OD=AD=2， ∴∠AOB=45°； （2）四边形ACOC ′为菱形．
由题意可知抛物线m 的二次项系数为，且过顶点C 的坐标是（2，﹣4）， ∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣2）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣2，
过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ；过点A 作AF ⊥CE ，垂足为F ，与y 轴交与点H ，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2， ∴OC=同理，AC=2
，OC=AC，
==2，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′， 故四边形ACOC ′为菱形．
（3）如图1，点C ′不在抛物线
y=x 2+2x上． 理由如下： 过点C ′作C ′G ⊥x 轴，垂足为G ，
∵OC 和OC ′关于OA 对称，∠AOB=∠AOH=45°， ∴∠COH=∠C ′OG ， ∵CE ∥OH ， ∴∠OCE=∠C ′OG ，
又∵∠CEO=∠C ′GO=90°，OC=OC′， ∴△CEO ≌△C ′GO ， ∴OG=4，C ′G=2， ∴点C ′的坐标为（﹣4，2）， 把x=﹣4代入抛物线y=x 2+2x得y=0， ∴点C ′不在抛物线
y=x 2+2x上； 4）存在符合条件的点Q ．
∵点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在抛物线m 上， ∴设Q （a ，（a ﹣2）2﹣4）， ∵OC 为该四边形的一条边， ∴OP 为对角线，
∴
=0，解得x 1=6，x 2=4， ∴P （6，4）或（﹣2，4）（舍去），
∴点Q 的坐标为（6，4）．
4、济南市模拟一28题 （2013丽水23）
如图，已知抛物线y =
12
x +bx 与直线y =2x 交于点O （0，0），2
A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。[来源:学#科#网]
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
（3）以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），
求出m ，n 之间的关系式。
二次函数压轴题
1、2014济南市模拟题七 28题（2009•潍坊）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点．抛物线y=ax2+bx+c与y 轴交于点D ，与直线y=x交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长；
（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．
解：（1）
圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，
0) B (0，-1) 、C (1，、0) D (01)， ∴点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A (-1，、
抛物线与直线y =x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ，
-1) 、N (11)，． ········································································································ 2分 ∴M (-1，
，、M (-1，-1) 、N (11)，的坐标代入 点D 、M 、N 在抛物线上，将D (01)
⎧c =1⎧a =-1
⎪⎪
y =ax 2+bx +c ，得：⎨-1=a -b +c 解之，得：⎨b =1
⎪1=a +b +c ⎪c =1⎩⎩
············································································ 4分 ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+x +1． ·
（2）
1⎫5⎛
y =-x +x +1=- x -⎪+
2⎭4⎝
2
2
∴抛物线的对称轴为x =
1， 2
1． ······················ 6分 ∴OE =，DE ==
2连结BF ，∠BFD =90°，
∴△BFD ∽△EOD ，∴
又DE =
DE OD
=，
DB FD
OD =1，DB =2，
2
，
∴E F =F D -D ∴FD =
5
（3）点P 在抛物线上． ········································································································ 9分 设过D 、C 点的直线为：y =kx +b ，
，、0) D (01)，的坐标代入y =kx +b ，得：k =-1，b =1， 将点C (1
····························································································· 10分 ∴直线DC 为：y =-x +1． ·
过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为y =-1， 将y =-1代入y =-x +1，得：x =2．
-1) ， ··································································································· 11分 ∴P 点的坐标为(2，
22
当x =2时，y =-x +x +1=-2+2+1=-1，
2
所以，P 点在抛物线y =-x +x +1上． ·········································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．
2、济南市模拟六28题（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）设点M （3，m ），求使MN+MD的值最小时m 的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
2014济南市模拟题六 28题，开口相反与此题同 三大考查点：1、饮马路线最短问题，
2、是否存在平行四边形问题 3、抛物线上动点构成最大三角形问题 解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，
， 解得
， 故抛物线为y=﹣x 2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A （﹣1，0）及C （2，3）得
， 解得
故直线AC 为y=x+1；
（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D （1，4）， 故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+
，
当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 则m=﹣×
=
；
（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2） ∵点E 在直线AC 上， 设E （x ，x+1），
①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方， 则F （x ，x+3）， ∵F 在抛物线上， ∴x+3=﹣x 2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去） ∴E （0，1）；
②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方， 则F （x ，x ﹣1） 由F 在抛物线上 ∴x ﹣1=﹣x 2+2x+3 解得x=∴E （
或x=，
）或（
，
） ，
）或（
，
）；
综上，满足条件的点E 为E （0，1）、（
（4）方法一：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图1 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3） ∴PQ=（﹣x 2+2x+3）﹣（x ﹣1） =﹣x 2+x+2
∵S △APC =S△APQ+S △CPQ =PQ•AG =（﹣x 2+x+2）×3 =﹣（x ﹣）2+∴面积的最大值为
．
方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图2， 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3）
又∵S △APC =S△APH +S直角梯形PHGC ﹣S △AGC
=（x+1）（﹣x 2+2x+3）+（﹣x 2+2x+3+3）（2﹣x ）﹣×3×3 =﹣x 2+x+3 =﹣（x ﹣）2+∴△APC 的面积的最大值为
．
3、（济南2014模拟五28）（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线
y=x 2+2x与x 轴相交于O 、B ，顶点为A ，连接OA ． （1）求点A 的坐标和∠AOB 的度数；
（2）若将抛物线y=x 2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m ，其顶点为点C ．连接OC 和AC ，把△AOC 沿OA 翻折得到四边形ACOC ′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点C ′是否在抛物线y=x 2+2x上，请说明理由；
（4）若点P 为x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q ，使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵由
y=x 2+2x得，
y=（x ﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点A 的坐标为（﹣2，﹣2）， 令x 2+2x=0，解得x 1=0，x 2=﹣4， ∴点B 的坐标为（﹣4，0），
过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ， ∴∠ADO=90°， ∴点A 的坐标为（﹣2，﹣2），点D 的坐标为（﹣2，0）， ∴OD=AD=2， ∴∠AOB=45°； （2）四边形ACOC ′为菱形．
由题意可知抛物线m 的二次项系数为，且过顶点C 的坐标是（2，﹣4）， ∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣2）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣2，
过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ；过点A 作AF ⊥CE ，垂足为F ，与y 轴交与点H ，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2， ∴OC=同理，AC=2
，OC=AC，
==2，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′， 故四边形ACOC ′为菱形．
（3）如图1，点C ′不在抛物线
y=x 2+2x上． 理由如下： 过点C ′作C ′G ⊥x 轴，垂足为G ，
∵OC 和OC ′关于OA 对称，∠AOB=∠AOH=45°， ∴∠COH=∠C ′OG ， ∵CE ∥OH ， ∴∠OCE=∠C ′OG ，
又∵∠CEO=∠C ′GO=90°，OC=OC′， ∴△CEO ≌△C ′GO ， ∴OG=4，C ′G=2， ∴点C ′的坐标为（﹣4，2）， 把x=﹣4代入抛物线y=x 2+2x得y=0， ∴点C ′不在抛物线
y=x 2+2x上； 4）存在符合条件的点Q ．
∵点P 为x 轴上的一个动点，点Q 在抛物线m 上， ∴设Q （a ，（a ﹣2）2﹣4）， ∵OC 为该四边形的一条边， ∴OP 为对角线，
∴
=0，解得x 1=6，x 2=4， ∴P （6，4）或（﹣2，4）（舍去），
∴点Q 的坐标为（6，4）．
4、济南市模拟一28题 （2013丽水23）
如图，已知抛物线y =
12
x +bx 与直线y =2x 交于点O （0，0），2
A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。[来源:学#科#网]
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
（3）以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），
求出m ，n 之间的关系式。