⎡11⎤ y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间⎢-, ⎥上，f （x ）>0恒成立，求a 的
⎣22⎦
2．3 有解与恒成立 撰稿：陈显宏 ： 校对：何红星
●湖北五年高考真题回顾
1．（2010年湖北卷） 设函数f (x ) =
取值范围.
４．（2010四川文数）设f (x ) =1+a x （a >0且a ≠1），g (x ) 是f (x ) 的反函数. （Ⅰ）求g (x ) ；
1-a （Ⅱ）当x ∈[2,6]时，恒有g (x ) >log a
1t
成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）当0＜a ≤
2(x 2-1)(7-x )
x
12a 2
x -x +bx +c , 其中a ＞0. 曲线y =f (x ) 在点32
（2）设曲线y =f (x ) 在点p (0, f (0) 处) 的切线方程为y =1. （1）确定b , c 的值；0,2）. 证明：当x 1≠x 2时，f '(x 1) ≠f '(x 2) ；（3）若(x 1, f (x 及) x (2, f (x ) ) 1) 2处的切线都过点（过点（0,2）可作曲线y =f (x ) 的三条不同切线，求a 的取值范围.
时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n +4的大小，并说明理由.
５.(2009年广东卷文) 已知二次函数y =g (x ) 的导函数的图像与直线y =2x 平行, 且y =g (x ) 在
1
x 3＋bx 2＋cx ＋bc, 其导函数为f +(x).令g(x)＝3
4+
∣f (x) ∣, 记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ) 如果函数f(x)在x ＝1处有极值-，
3
2．（2009年湖北卷）已知关于x 的函数f(x)＝
试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c, 都有M>2；(Ⅲ) 若M ≧K
对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．
3．（2007年湖北卷）已知函数f (x ) =2sin
2
x =－1处取得最小值m －1(m≠0). 设函数f (x ) =
g (x )
(1)若曲线y =f (x ) 上的点P 到点Q(0,2)x ．
的距离的最小值为2, 求m 的值；(2) k (k ∈R ) 如何取值时, 函数y =f (x ) -kx 存在零点, 并求出零点.
6. (2009山东卷文) 已知函数f (x ) =
13
ax +bx 2+x +3, 其中a ≠0 3
⎛π⎫⎡ππ⎤
（I ）求f (x ) 的+x ⎪2x ，x ∈⎢⎥．
⎝4⎭⎣42⎦
（1） 当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取得极值? （2）已知a >0, 且f (x ) 在区间(0,1]上单调递增, 试用a 表示出b 的取值范围. 7. 设函数f (x ) =
⎡ππ⎤
最大值和最小值；（II ）若不等式f (x ) -m
⎣42⎦
●外省三年高考真题回顾
1．（2009重庆卷文）把函数f (x ) =x -3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像C 2．若对任意的u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3
2
13
x -(1-a ) x 2+4ax +24a ，其中常数a>1，(Ⅰ) 讨论f(x)的单调性;(Ⅱ) 若当x≥03
时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．
3
8. （2009天津卷文）设函数f (x ) =-
13
x +x 2+(m 2-1) x , (x ∈R , ) 其中m >0 3
1，f （1））（Ⅰ）当m =1时，曲线y =f (x ) 在点（处的切线斜率；（Ⅱ）求函数的单调区间与极
值；（Ⅲ）已知函数f (x ) 有三个互不相同的零点0，x 1, x 2，且x 1
２．（2010全国卷2文数）已知函数f （x ）=x-3ax +3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间； （Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围．
32
３．（2010天津文数）已知函数f （x ）=ax -x +1(x ∈R ) ，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线
2
3
f (x ) >f (1) 恒成立，求m 的取值范围．
9. （2009
四川卷文）已知函数f (x ) =x +2bx +cx -2的图象在与x 轴交点处的切线方程是
3
2
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。
1
（I ）求函数f (x ) 的解析式；（II ）设函数g (x ) =f (x ) +mx ，若g (x ) 的极值存y =5x -10．
3
在，求实数m 的取值范围以及函数g (x ) 取得极值时对应的自变量x 的值. 10. （2009福建卷文）已知函数f (x ) =
在区间 -，-⎪内是减函数，求a 的取值范围．
3223
2. 已知函数f (x ) =x -3ax -9a x +a . （1）设a =1，求函数f (x )的极值；（2）若a >'
且当x ∈[1,4a ]时，f (x ) ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围.
⎛2⎝31⎫3⎭
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0，（I ）试用含a 的代数式表3
示b ；（Ⅱ）求f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）令a =-1，设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
2
1
，4
g (x ) =(x +a ) f (x ) ．（Ⅰ）求曲线y =g (x ) 有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若
当x =-1时函数y =g (x ) 取得极值，确定y =g (x ) 的单调区间．
●高考命题规律总结
有解与恒成立是高考的重点与热点，当然也是难点，但是，这类题目解决是有规可循，有法可依的，注意分类讨论，合理转化，数形结合，注意细节便可突破难点。 ●易错题目自我检测
mx 3
f (x ) =+ax 2+(1-b 2) x , m , a , b ∈R .
33．已知函数
'（1）求函数f (x ) 的导函数f (x ) ；
1
１．设函数f(x)=x-, 对任意x ∈[1, +∞），f(mx)+mf(x)
x 32
2. 已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．（I ）若函数f (x ) 的图象过原点，
且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的．．．取值范围．
, b =（2）当m =1时，若函数f (x ) 是R 上的增函数，求z =a +b 的最小值；（3）
当a =1
函数f (x ) 在(2,+∞) 上存在单调递增区间，求m 的取值范围．
４．已知函数f (x ) =
2x 2
, g (x ) =ax +5-2a (a >0) ．３．设f (x ) =（1）求f (x ) 在x ∈[0,1]上的值域； x +1
（2）若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1], 使得g (x 0) =f (x 1) 成立, 求a 的取值范围．
●典型例题互动演练
32
１. 已知函数f (x ) =x +ax +x +1，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）设函数f (x )
4x
, x ∈[0, 2]. ，（Ⅰ）求f (x ) 的值域；（Ⅱ）设a ≠0，函数2
3x +3
1
g (x ) =ax 3-a 2x , x ∈[0, 2]．若对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 2∈[0, 2]，使f (x 1) -g (x 2) =0, 求
3
实数a 的取值范围.
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。
●课后限时强化训练
1．f (x ) 为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2, 若对任意x ∈[t , t +2],不等式 f (x +t ) ≥2f(x)恒成立, 则实数t 的取值范围是
A ．[2, +∞) B ．(0, 2] C ．[-2, -1]⋃[0, 2] 2．方程log 1(a -2x ) =2+x 有解，则a 的最小值为
2
7．若函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，且f (x ) 极小值＝f (－
33
) ＝－．（1）求函数f (x ) 的解析39
f (x )
式；（2）求函数f (x ) 在[－1，m ](m ＞－1) 上的最大值；（3）设函数g (x ) g (x )·g (2k
x 1
－x ) ≥k ) 2在(0，2k ) 上恒成立，求实数k 的取值范围．
k
2
8．已知，二次函数f （x ）＝ax ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，（Ⅰ） 若a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. 设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. （Ⅱ）对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式f （x ），使f （x ）=0有两个小于1的不等正根，求a 的最小值．
● 本节规律方法提炼
恒成立问题主要有四法：分离参数法最值，带参最值法，子集法，变换主元法等。有解问题主要分等式和不等式，一般分离参数后数形结合处理即可。
D ．[2, +∞)
A 、2 B 、1 C 、
31 D 、 22
13x +2+⋅x 在R 上有极值，则与的夹33
=≠0，且关于x 的函数
f(x)=角范围为______． 4．已知函数f (x ) =x -
3
12
x +bx +c . （1）若f (x ) 有极值，求b 的取值范围；（2）若f (x ) 在x =12
处取得极值时，当x ∈[-1, 2]时, f (x )
5．已知函数f (x )=x +bx +cx +d 在(-∞,0)上是增函数，在[0,2]是减函数，且方程f (x )=0
3
2
7
． 2
有三个根，它们分别是α, 2, β；（1）求c 的值； （2）求证：f (1)≥2；（3）求α-β的取值范围．
x 3a 2
+x +bx +c 的导函数为f '(x ) ，6．已知常数a 、b 、c 都是实数，函数f (x ) =（Ⅰ）设32
（Ⅱ）如果方程f '(x ) =0的两个实数根a =f '(2), b =f '(1), c =f '(0) ，求函数f (x ) 的解析式；
分别为γ、β，并且1
1
？请说明理由． 4
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。
⎡11⎤ y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间⎢-, ⎥上，f （x ）>0恒成立，求a 的
⎣22⎦
2．3 有解与恒成立 撰稿：陈显宏 ： 校对：何红星
●湖北五年高考真题回顾
1．（2010年湖北卷） 设函数f (x ) =
取值范围.
４．（2010四川文数）设f (x ) =1+a x （a >0且a ≠1），g (x ) 是f (x ) 的反函数. （Ⅰ）求g (x ) ；
1-a （Ⅱ）当x ∈[2,6]时，恒有g (x ) >log a
1t
成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）当0＜a ≤
2(x 2-1)(7-x )
x
12a 2
x -x +bx +c , 其中a ＞0. 曲线y =f (x ) 在点32
（2）设曲线y =f (x ) 在点p (0, f (0) 处) 的切线方程为y =1. （1）确定b , c 的值；0,2）. 证明：当x 1≠x 2时，f '(x 1) ≠f '(x 2) ；（3）若(x 1, f (x 及) x (2, f (x ) ) 1) 2处的切线都过点（过点（0,2）可作曲线y =f (x ) 的三条不同切线，求a 的取值范围.
时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n +4的大小，并说明理由.
５.(2009年广东卷文) 已知二次函数y =g (x ) 的导函数的图像与直线y =2x 平行, 且y =g (x ) 在
1
x 3＋bx 2＋cx ＋bc, 其导函数为f +(x).令g(x)＝3
4+
∣f (x) ∣, 记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ) 如果函数f(x)在x ＝1处有极值-，
3
2．（2009年湖北卷）已知关于x 的函数f(x)＝
试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c, 都有M>2；(Ⅲ) 若M ≧K
对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．
3．（2007年湖北卷）已知函数f (x ) =2sin
2
x =－1处取得最小值m －1(m≠0). 设函数f (x ) =
g (x )
(1)若曲线y =f (x ) 上的点P 到点Q(0,2)x ．
的距离的最小值为2, 求m 的值；(2) k (k ∈R ) 如何取值时, 函数y =f (x ) -kx 存在零点, 并求出零点.
6. (2009山东卷文) 已知函数f (x ) =
13
ax +bx 2+x +3, 其中a ≠0 3
⎛π⎫⎡ππ⎤
（I ）求f (x ) 的+x ⎪2x ，x ∈⎢⎥．
⎝4⎭⎣42⎦
（1） 当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取得极值? （2）已知a >0, 且f (x ) 在区间(0,1]上单调递增, 试用a 表示出b 的取值范围. 7. 设函数f (x ) =
⎡ππ⎤
最大值和最小值；（II ）若不等式f (x ) -m
⎣42⎦
●外省三年高考真题回顾
1．（2009重庆卷文）把函数f (x ) =x -3x 的图像C 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像C 2．若对任意的u >0，曲线C 1与C 2至多只有一个交点，则v 的最小值为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3
2
13
x -(1-a ) x 2+4ax +24a ，其中常数a>1，(Ⅰ) 讨论f(x)的单调性;(Ⅱ) 若当x≥03
时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．
3
8. （2009天津卷文）设函数f (x ) =-
13
x +x 2+(m 2-1) x , (x ∈R , ) 其中m >0 3
1，f （1））（Ⅰ）当m =1时，曲线y =f (x ) 在点（处的切线斜率；（Ⅱ）求函数的单调区间与极
值；（Ⅲ）已知函数f (x ) 有三个互不相同的零点0，x 1, x 2，且x 1
２．（2010全国卷2文数）已知函数f （x ）=x-3ax +3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间； （Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围．
32
３．（2010天津文数）已知函数f （x ）=ax -x +1(x ∈R ) ，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线
2
3
f (x ) >f (1) 恒成立，求m 的取值范围．
9. （2009
四川卷文）已知函数f (x ) =x +2bx +cx -2的图象在与x 轴交点处的切线方程是
3
2
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。
1
（I ）求函数f (x ) 的解析式；（II ）设函数g (x ) =f (x ) +mx ，若g (x ) 的极值存y =5x -10．
3
在，求实数m 的取值范围以及函数g (x ) 取得极值时对应的自变量x 的值. 10. （2009福建卷文）已知函数f (x ) =
在区间 -，-⎪内是减函数，求a 的取值范围．
3223
2. 已知函数f (x ) =x -3ax -9a x +a . （1）设a =1，求函数f (x )的极值；（2）若a >'
且当x ∈[1,4a ]时，f (x ) ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围.
⎛2⎝31⎫3⎭
13
x +ax 2+bx , 且f '(-1) =0，（I ）试用含a 的代数式表3
示b ；（Ⅱ）求f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）令a =-1，设函数f (x ) 在x 1, x 2(x 1
2
1
，4
g (x ) =(x +a ) f (x ) ．（Ⅰ）求曲线y =g (x ) 有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若
当x =-1时函数y =g (x ) 取得极值，确定y =g (x ) 的单调区间．
●高考命题规律总结
有解与恒成立是高考的重点与热点，当然也是难点，但是，这类题目解决是有规可循，有法可依的，注意分类讨论，合理转化，数形结合，注意细节便可突破难点。 ●易错题目自我检测
mx 3
f (x ) =+ax 2+(1-b 2) x , m , a , b ∈R .
33．已知函数
'（1）求函数f (x ) 的导函数f (x ) ；
1
１．设函数f(x)=x-, 对任意x ∈[1, +∞），f(mx)+mf(x)
x 32
2. 已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．（I ）若函数f (x ) 的图象过原点，
且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的．．．取值范围．
, b =（2）当m =1时，若函数f (x ) 是R 上的增函数，求z =a +b 的最小值；（3）
当a =1
函数f (x ) 在(2,+∞) 上存在单调递增区间，求m 的取值范围．
４．已知函数f (x ) =
2x 2
, g (x ) =ax +5-2a (a >0) ．３．设f (x ) =（1）求f (x ) 在x ∈[0,1]上的值域； x +1
（2）若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1], 使得g (x 0) =f (x 1) 成立, 求a 的取值范围．
●典型例题互动演练
32
１. 已知函数f (x ) =x +ax +x +1，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）设函数f (x )
4x
, x ∈[0, 2]. ，（Ⅰ）求f (x ) 的值域；（Ⅱ）设a ≠0，函数2
3x +3
1
g (x ) =ax 3-a 2x , x ∈[0, 2]．若对任意x 1∈[0, 2]，总存在x 2∈[0, 2]，使f (x 1) -g (x 2) =0, 求
3
实数a 的取值范围.
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。
●课后限时强化训练
1．f (x ) 为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2, 若对任意x ∈[t , t +2],不等式 f (x +t ) ≥2f(x)恒成立, 则实数t 的取值范围是
A ．[2, +∞) B ．(0, 2] C ．[-2, -1]⋃[0, 2] 2．方程log 1(a -2x ) =2+x 有解，则a 的最小值为
2
7．若函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，且f (x ) 极小值＝f (－
33
) ＝－．（1）求函数f (x ) 的解析39
f (x )
式；（2）求函数f (x ) 在[－1，m ](m ＞－1) 上的最大值；（3）设函数g (x ) g (x )·g (2k
x 1
－x ) ≥k ) 2在(0，2k ) 上恒成立，求实数k 的取值范围．
k
2
8．已知，二次函数f （x ）＝ax ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，（Ⅰ） 若a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. 设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. （Ⅱ）对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式f （x ），使f （x ）=0有两个小于1的不等正根，求a 的最小值．
● 本节规律方法提炼
恒成立问题主要有四法：分离参数法最值，带参最值法，子集法，变换主元法等。有解问题主要分等式和不等式，一般分离参数后数形结合处理即可。
D ．[2, +∞)
A 、2 B 、1 C 、
31 D 、 22
13x +2+⋅x 在R 上有极值，则与的夹33
=≠0，且关于x 的函数
f(x)=角范围为______． 4．已知函数f (x ) =x -
3
12
x +bx +c . （1）若f (x ) 有极值，求b 的取值范围；（2）若f (x ) 在x =12
处取得极值时，当x ∈[-1, 2]时, f (x )
5．已知函数f (x )=x +bx +cx +d 在(-∞,0)上是增函数，在[0,2]是减函数，且方程f (x )=0
3
2
7
． 2
有三个根，它们分别是α, 2, β；（1）求c 的值； （2）求证：f (1)≥2；（3）求α-β的取值范围．
x 3a 2
+x +bx +c 的导函数为f '(x ) ，6．已知常数a 、b 、c 都是实数，函数f (x ) =（Ⅰ）设32
（Ⅱ）如果方程f '(x ) =0的两个实数根a =f '(2), b =f '(1), c =f '(0) ，求函数f (x ) 的解析式；
分别为γ、β，并且1
1
？请说明理由． 4
优化解题道道通：一、精选典例，强化解题的规范性（模仿，实践，用脑）；二、记忆结论，构建高的解题平台；三、多向探索，培养解题的灵活性；四、运用推理，减少运算的盲目性；五、加强反思，培养思维的严密性。