如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a ≠0）的图像与x 轴交于点A （-2，0），B ，
与y 轴交于点C ，tan ∠ABC =2．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；
（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使
得经过点P 的直线PM 垂直于直线CD ，且与直线OP 的夹角为75°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD
于点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公
共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？
2
y =mx +3mx -3（m ＞0）与y 轴交于点C, 与x 轴交于A 、B 两如图，抛物线
点，点 A 在点B 的左侧，且．
tan ∠OCB =
1
3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ， △ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；
（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．
已知：如图，在□ EFGH 中，点F 的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°． （1）求点H 的坐标; （2）抛物线C 1经过点E 、G 、H , 现将C 1向左平移使之经过点F ，得到抛物线
C 2, 求抛物线C 2的解析式；
（3）若抛物线C 2与y 轴交于点A ，点P 在抛物线C 2的对称轴上运动．请问：
是否存在以AG 为腰的等腰三角形AGP ？若存在，求出点P 若不存在，请说明理由．
x
如图, 设抛物线C 1:y =a (x +1)-5, C 2:y =-a (x -1)+5,C 1与C 2的交点为A, B,
2
2
点A 的坐标是(2, 4) , 点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；
（2）点D 在线段AB 上, 过D 作x 轴的垂线, 垂足为点H,
在DH 的右侧作正三角形DHG . 过C 2顶点Ｍ的 直线记为l , 且l 与x 轴交于点N.
① 若l 过△DHG 的顶点G , 点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；
② 若l 与△DHG 的边DG 相交, 求点N 的横 坐标的取值范围.
第25题图
如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0) 与y 轴相交于点C ，直线L 1经过点C 且平行于
x 轴，将L 1向上平移t 个单位得到直线L 2，设L 1与抛物线的交点为C 、D ，L 2与抛物线的交点为A 、B ，连接 AC、BC. （1）当a =
13
，b =-，c =1，t =2时，探究△ABC 的形状，并说明理由； 22
（2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对
称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’
22
y =kx +2(2+k ) x +k +k 经过坐标原点． 已知：抛物线
（1）求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；
（2）设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点，试在y 轴上确定一点P ，使PA+PB最短，并求出点P 的坐标；
（3）过点A 作AC ∥BP 交y 轴于点C ，求到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标．
已知抛物线y =-x 2+(m -2) x +3(m +1).
（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点；
（2）设抛物线与y 轴交于点C ，当抛物线与x 轴有两个交点A 、B （点A 在
点B 的
左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，那么m
的取值范围
是
（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的
面积相等时，求该抛物线的解析式.
2
如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点
A 在
点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛
物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3
的解析式；
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后
得到抛物线
C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
Rt △ABC （∠C 是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A 在y 轴上， 顶点B 在抛物线y =ax 2+ax -2上，顶点C 在x 轴上，坐标为（-1，0）．
（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；
（3）将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB 'C '的位置．请
判断点B '、C '是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．
如图，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（1，），若把线段OA
绕点O 逆时针旋转120°，可得线段OB ． （1）求点B 的坐标；
（2）某二次函数的图象经过A 、O 、B 三点，求该函数的解析式；
（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上， 是否存在点P ，使△OAP 的周长最小，
若存在，求点P 的坐标； 若不存在， 请说明理由．
如图，已知抛物线C 1：y =a (x -2) 2-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A 的横坐标是-1． （1）求p 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式y =a (x -h ) 2+k ；
（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．
已知：如图1，等边∆ABC 的边长为2，一边在x 轴上且A 1-3, 0，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B 、C 的坐标；
（2）若直线y =kx -1(k ≠0)将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A 、B 、C 的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点G (-2, 0)作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：
① ∠GNM =∠CDM ②∠MGN =∠DCM ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
()
图1 图
2
1
如图，直线l 1：y =kx +b 平行于直线y =x -1，且与直线l 2：y =mx +相交于点
2
P (-1, 0) ．
（1）求直线l 1、l 2的解析式；
（2）直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运
动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……
照此规律运动，动点C 依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…，B n ，A n ，…
①求点B 1，B 2，A 1，A 2的坐标；
②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C 到达A n 处时，运动的总路径的长．
抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S△ACM ，若存在，求出P
点坐标；若不存在，请说明理由.
已知抛物线y =-2
3
x 2+bx +c 与x 轴交于不同的两点A (x 1，
0)和B (x 2，0)，与y 轴交于点C ，且x 1，x 2是方程x 2-2x -3=0的两个根（x 1
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知：关于x 的一元二次方程x 2-2(2m -3) x +4m 2-14m +8=0 （1）若m >0, 求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线y =ax 2+ax -2经过点B ．
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3
如图，抛物线y =x 2-2x -3与点左侧），直线l 与抛物线交于C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平
行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，
使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形
是
平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
7
的抛物线经过点A （6，0）和 B （0，4）． 2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y 如图，对称轴为直线x =
形OEAF 是以OA 形OEAF 的面积S 与x 量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24时，四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方
形？若存在，求出点E
如图，已知与x 轴交于点A (1，抛物线l 2与0) 和B (5，0) 的抛物线l 1的顶点为C (3，4) ，
l 1关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线l 2的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点D (0，4) ，l 2上的点P 与l 1上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D ，O ，P ，P '为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在l 2上是否存在点M ，使△ABM 是以AB
角形？若存，求出点M
如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A (-4，0) ，B (-2，0) ，E (0，8) ． （1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式； （2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两
点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
如图10，已知抛物线P ：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上) ，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m，0) ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.
图10
如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；
（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A →B →C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A →D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为y cm 2．
B P
O Q
C
（1）当0≤x ≤1时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；
（3）当1≤x ≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡
A B
D P
C
O
A
Q D
皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围；
3
y
（4）当0≤x ≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．
2
1
O
1 2 x
如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合) ，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D . (1) 求l 2的解析式；
(2) 求证：点D 一定在l 2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积) ；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0) ，A (4，0) ，C (0，3) ，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合) ．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0) ，E (0，y ) ，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF
∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由．
（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，∆ABE 是等腰三角形． D A D A P P H
C B M B N C N
F G F
Q
图10
图11
如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点 （填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM
的坐标，若不存在，说明理由．
H
M
G
图12
实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(5， ， ； 2) ，
图1
x
图2
x
图3
x
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a ，b ，c ，d ，e ，f 的代数式表示）；
)
图4
x
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为
A (a ，b ) ，B (c ，d ) ，C (m ，n ) ，D (e ，f ) （如图4）时，则四个顶点的横坐标
，，n 之间的等量关系f a ，c ，m ，e 之间的等量关系为；纵坐标b ，d
为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y =x 2-(5c -3) x -c 和三个点
⎛15⎫⎛19⎫
G -c c ⎪，S c c ⎪，H (2c ，．问当c 为何值时，该抛物线0) （其中c >0）
2222⎝⎭⎝⎭
上存在点P ，使得以G ，S ，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a ≠0）的图像与x 轴交于点A （-2，0），B ，
与y 轴交于点C ，tan ∠ABC =2．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；
（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使
得经过点P 的直线PM 垂直于直线CD ，且与直线OP 的夹角为75°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD
于点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公
共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？
2
y =mx +3mx -3（m ＞0）与y 轴交于点C, 与x 轴交于A 、B 两如图，抛物线
点，点 A 在点B 的左侧，且．
tan ∠OCB =
1
3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ， △ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；
（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．
已知：如图，在□ EFGH 中，点F 的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°． （1）求点H 的坐标; （2）抛物线C 1经过点E 、G 、H , 现将C 1向左平移使之经过点F ，得到抛物线
C 2, 求抛物线C 2的解析式；
（3）若抛物线C 2与y 轴交于点A ，点P 在抛物线C 2的对称轴上运动．请问：
是否存在以AG 为腰的等腰三角形AGP ？若存在，求出点P 若不存在，请说明理由．
x
如图, 设抛物线C 1:y =a (x +1)-5, C 2:y =-a (x -1)+5,C 1与C 2的交点为A, B,
2
2
点A 的坐标是(2, 4) , 点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；
（2）点D 在线段AB 上, 过D 作x 轴的垂线, 垂足为点H,
在DH 的右侧作正三角形DHG . 过C 2顶点Ｍ的 直线记为l , 且l 与x 轴交于点N.
① 若l 过△DHG 的顶点G , 点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；
② 若l 与△DHG 的边DG 相交, 求点N 的横 坐标的取值范围.
第25题图
如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0) 与y 轴相交于点C ，直线L 1经过点C 且平行于
x 轴，将L 1向上平移t 个单位得到直线L 2，设L 1与抛物线的交点为C 、D ，L 2与抛物线的交点为A 、B ，连接 AC、BC. （1）当a =
13
，b =-，c =1，t =2时，探究△ABC 的形状，并说明理由； 22
（2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对
称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’
22
y =kx +2(2+k ) x +k +k 经过坐标原点． 已知：抛物线
（1）求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；
（2）设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点，试在y 轴上确定一点P ，使PA+PB最短，并求出点P 的坐标；
（3）过点A 作AC ∥BP 交y 轴于点C ，求到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标．
已知抛物线y =-x 2+(m -2) x +3(m +1).
（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点；
（2）设抛物线与y 轴交于点C ，当抛物线与x 轴有两个交点A 、B （点A 在
点B 的
左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，那么m
的取值范围
是
（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的
面积相等时，求该抛物线的解析式.
2
如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点
A 在
点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛
物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3
的解析式；
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后
得到抛物线
C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
Rt △ABC （∠C 是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A 在y 轴上， 顶点B 在抛物线y =ax 2+ax -2上，顶点C 在x 轴上，坐标为（-1，0）．
（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ；
（3）将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB 'C '的位置．请
判断点B '、C '是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．
如图，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（1，），若把线段OA
绕点O 逆时针旋转120°，可得线段OB ． （1）求点B 的坐标；
（2）某二次函数的图象经过A 、O 、B 三点，求该函数的解析式；
（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上， 是否存在点P ，使△OAP 的周长最小，
若存在，求点P 的坐标； 若不存在， 请说明理由．
如图，已知抛物线C 1：y =a (x -2) 2-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A 的横坐标是-1． （1）求p 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式y =a (x -h ) 2+k ；
（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．
已知：如图1，等边∆ABC 的边长为2，一边在x 轴上且A 1-3, 0，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B 、C 的坐标；
（2）若直线y =kx -1(k ≠0)将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A 、B 、C 的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点G (-2, 0)作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：
① ∠GNM =∠CDM ②∠MGN =∠DCM ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
()
图1 图
2
1
如图，直线l 1：y =kx +b 平行于直线y =x -1，且与直线l 2：y =mx +相交于点
2
P (-1, 0) ．
（1）求直线l 1、l 2的解析式；
（2）直线l 1与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运
动，到达直线l 2上的点B 1处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 1处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线l 2上的点B 2处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线l 1上的点A 2处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……
照此规律运动，动点C 依次经过点B 1，A 1，B 2，A 2，B 3，A 3，…，B n ，A n ，…
①求点B 1，B 2，A 1，A 2的坐标；
②请你通过归纳得出点A n 、B n 的坐标；并求当动点C 到达A n 处时，运动的总路径的长．
抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S△ACM ，若存在，求出P
点坐标；若不存在，请说明理由.
已知抛物线y =-2
3
x 2+bx +c 与x 轴交于不同的两点A (x 1，
0)和B (x 2，0)，与y 轴交于点C ，且x 1，x 2是方程x 2-2x -3=0的两个根（x 1
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知：关于x 的一元二次方程x 2-2(2m -3) x +4m 2-14m +8=0 （1）若m >0, 求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．
在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线y =ax 2+ax -2经过点B ．
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3
如图，抛物线y =x 2-2x -3与点左侧），直线l 与抛物线交于C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平
行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，
使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形
是
平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
7
的抛物线经过点A （6，0）和 B （0，4）． 2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y 如图，对称轴为直线x =
形OEAF 是以OA 形OEAF 的面积S 与x 量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24时，四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方
形？若存在，求出点E
如图，已知与x 轴交于点A (1，抛物线l 2与0) 和B (5，0) 的抛物线l 1的顶点为C (3，4) ，
l 1关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线l 2的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点D (0，4) ，l 2上的点P 与l 1上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D ，O ，P ，P '为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在l 2上是否存在点M ，使△ABM 是以AB
角形？若存，求出点M
如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A (-4，0) ，B (-2，0) ，E (0，8) ． （1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式； （2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两
点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
如图10，已知抛物线P ：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上) ，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m，0) ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.
图10
如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；
（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A →B →C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A →D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为y cm 2．
B P
O Q
C
（1）当0≤x ≤1时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；
（3）当1≤x ≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡
A B
D P
C
O
A
Q D
皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围；
3
y
（4）当0≤x ≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．
2
1
O
1 2 x
如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合) ，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D . (1) 求l 2的解析式；
(2) 求证：点D 一定在l 2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积) ；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0) ，A (4，0) ，C (0，3) ，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合) ．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0) ，E (0，y ) ，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF
∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．
如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由．
（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，∆ABE 是等腰三角形． D A D A P P H
C B M B N C N
F G F
Q
图10
图11
如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点 （填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM
的坐标，若不存在，说明理由．
H
M
G
图12
实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(5， ， ； 2) ，
图1
x
图2
x
图3
x
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a ，b ，c ，d ，e ，f 的代数式表示）；
)
图4
x
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为
A (a ，b ) ，B (c ，d ) ，C (m ，n ) ，D (e ，f ) （如图4）时，则四个顶点的横坐标
，，n 之间的等量关系f a ，c ，m ，e 之间的等量关系为；纵坐标b ，d
为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y =x 2-(5c -3) x -c 和三个点
⎛15⎫⎛19⎫
G -c c ⎪，S c c ⎪，H (2c ，．问当c 为何值时，该抛物线0) （其中c >0）
2222⎝⎭⎝⎭
上存在点P ，使得以G ，S ，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．