2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
一、教学目标分析
1．知识与技能目标
（1）通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。
（3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。
2、过程与方法目标：
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观目标：
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
二、 教学的重点和难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
三、教法与学法分析
1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进 行探索，获取知识。由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。
2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。
四、教学过程
（一）情境引入
1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即
用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容.
3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下：
82， 75， 61， 93， 62， 55， 70， 68， 85， 78.
如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布.
（二）新课讲解
知识探究（一）：频率分布表
【问题】 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.
通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2
1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0
2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是
什么？
0.2～4.3
思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？
（4.3-0.2）÷0.5=8.2
思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），„，[4，4.5].
思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？
分 组 频数累计 频数 频率
[0，0.5）
4 0.04
[0.5，1）
8 0.08
[1，1.5） 正 正 正 15 0.15
[1.5，2） 正 正 正 正 22 0.22
[2，2.5） 正 正 正 正 正 25 0.25
[2.5，3） 正 正
14 0.14
[3，3.5） 正 一 6 0.06
[3.5，4）
4 0.04
[4，4.5]
2 0.02
合计 100 1.00
思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？
用样本的频率分布估计总体分布.
思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3
思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？
分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的. 思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？
思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在（1+3.3lgn）附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？
思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？
第一步，求极差.（极差=样本数据中最大值与最小值的差）
第二步，决定组距与组数.
（设k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=k+1）
第三步，确定分点，将数据分组.
第四步，统计频数，计算频率，制成表格.
（频数=样本数据落在各小组内的个数， 频率=频数÷样本容量）
知识探究（二）：频率分布直方图
思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
上图称为频率分布直方图，其中横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的和高度在数量上有何特点？
思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？
各小长方形的面积=频率
各小长方形的面积之和=1
思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？
(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
(2)大部分居民月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民月均用水量很多或很少；
(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.
思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，你能以1为组距画频率分布直方图吗？
（三）例题讲解
例1、 某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29， 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67， 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例约是多少.
(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.
样本频率分布表：
分 组 频数 频率
[27，32） 3 0.06
[32，37） 3 0.06
[37，42） 9 0.18
[42，47） 16 0.32
[47，52） 7 0.14
[52，57） 5 0.10
[57，62） 4 0.08
[62，67） 3 0.06
合 计 50 1.00
（2）样本频率分布直方图：
频率
（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7， 故年龄在32例 2、为了了解小学生的体能情况，抽取了某小 学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据 整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从 左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4。 第一小组的频数是5. (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； (2) 求a,b,c,d并且将直方图补充完整。
(3) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀， 试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？
(1)从而第四组频率：0.2 参加学生人数5 ÷0.1=50
(2)a=0.016 ,b=0.016 ,c=0.016,d=0.016如图所示
(3)优秀率为0.4+0.2=0.6
例3、2009年10月31日,我国国家食品药品监督管理局已批准8家疫苗生产企业生产甲型H1N1流感疫苗。为了调查这些企业的生产能力,随机抽 查了其中一个企业20天每天生产甲型H1N1流感疫苗的数量
(单位： 万剂)，疫苗数量的分组区间为：[45，55]，[55，65]，[65，75]， [75，85]，[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则由此估计该 企业一个月(以由频率分布直方图知疫苗生产数量在65万剂以上的有三组，这三组的频率比组 距之和是0.025+0.010+0.005=0.040， ∵组距是10，∴三组的频率之和是0.040×10=0.4，
∴生产产品数量在65万剂以上的天数约 为30×0.4=12，故答案为：12
（四）课堂小结
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.
3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
（五）课下作业：
练习：1.（1）. 习题2.2A组：2.
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布
一、教学目标分析
1．知识与技能目标
（1）通过实例体会分布的意义和作用。
（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。
（3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。
2、过程与方法目标：
通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观目标：
通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
二、 教学的重点和难点
重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。
三、教法与学法分析
1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进 行探索，获取知识。由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。
2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。
四、教学过程
（一）情境引入
1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即
用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容.
3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下：
82， 75， 61， 93， 62， 55， 70， 68， 85， 78.
如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布.
（二）新课讲解
知识探究（一）：频率分布表
【问题】 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.
通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2
1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0
2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
思考1：上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是
什么？
0.2～4.3
思考2：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？
（4.3-0.2）÷0.5=8.2
思考3：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？
[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），„，[4，4.5].
思考4：如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？
分 组 频数累计 频数 频率
[0，0.5）
4 0.04
[0.5，1）
8 0.08
[1，1.5） 正 正 正 15 0.15
[1.5，2） 正 正 正 正 22 0.22
[2，2.5） 正 正 正 正 正 25 0.25
[2.5，3） 正 正
14 0.14
[3，3.5） 正 一 6 0.06
[3.5，4）
4 0.04
[4，4.5]
2 0.02
合计 100 1.00
思考5：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了一种什么统计思想？
用样本的频率分布估计总体分布.
思考6：如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a的取值）有何建议？
88%的居民月用水量在3t以下，可建议取a=3
思考7：在实际中，取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？
分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的. 思考8：对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？
思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分组数一般在（1+3.3lgn）附近选取.当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样本数据分组合适吗？
思考10：一般地，列出一组样本数据的频率分布表可以分哪几个步骤进行？
第一步，求极差.（极差=样本数据中最大值与最小值的差）
第二步，决定组距与组数.
（设k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=k+1）
第三步，确定分点，将数据分组.
第四步，统计频数，计算频率，制成表格.
（频数=样本数据落在各小组内的个数， 频率=频数÷样本容量）
知识探究（二）：频率分布直方图
思考1：为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
上图称为频率分布直方图，其中横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的和高度在数量上有何特点？
思考2：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？
各小长方形的面积=频率
各小长方形的面积之和=1
思考3：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？
(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
(2)大部分居民月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民月均用水量很多或很少；
(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
思考4：样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.
思考5：对一组给定的样本数据，频率分布直方图的外观形状与哪些因素有关？在居民月均用水量样本中，你能以1为组距画频率分布直方图吗？
（三）例题讲解
例1、 某地区为了了解知识分子的年龄结构，随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29， 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67， 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例约是多少.
(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.
样本频率分布表：
分 组 频数 频率
[27，32） 3 0.06
[32，37） 3 0.06
[37，42） 9 0.18
[42，47） 16 0.32
[47，52） 7 0.14
[52，57） 5 0.10
[57，62） 4 0.08
[62，67） 3 0.06
合 计 50 1.00
（2）样本频率分布直方图：
频率
（3）因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7， 故年龄在32例 2、为了了解小学生的体能情况，抽取了某小 学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据 整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从 左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4。 第一小组的频数是5. (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； (2) 求a,b,c,d并且将直方图补充完整。
(3) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀， 试估计该校此年级跳绳成绩优秀率是多少？
(1)从而第四组频率：0.2 参加学生人数5 ÷0.1=50
(2)a=0.016 ,b=0.016 ,c=0.016,d=0.016如图所示
(3)优秀率为0.4+0.2=0.6
例3、2009年10月31日,我国国家食品药品监督管理局已批准8家疫苗生产企业生产甲型H1N1流感疫苗。为了调查这些企业的生产能力,随机抽 查了其中一个企业20天每天生产甲型H1N1流感疫苗的数量
(单位： 万剂)，疫苗数量的分组区间为：[45，55]，[55，65]，[65，75]， [75，85]，[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则由此估计该 企业一个月(以由频率分布直方图知疫苗生产数量在65万剂以上的有三组，这三组的频率比组 距之和是0.025+0.010+0.005=0.040， ∵组距是10，∴三组的频率之和是0.040×10=0.4，
∴生产产品数量在65万剂以上的天数约 为30×0.4=12，故答案为：12
（四）课堂小结
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律.我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.
3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况.
（五）课下作业：
练习：1.（1）. 习题2.2A组：2.