2015届高三数学解题研究（1）
函数（1）
一、实战演练：
1、已知函数f (x ) =x +sin x ，且f (y 2-2y +3) +f (x 2-4x +1) ≤0，则当y ≥1时，y 的取值范围_____________________ x +1
2、已知函数f (x ) =|x 3+3x |，若方程f (x ) -a |x -1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________
3、已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -2x x +2
（1）讨论f (x ) 在区间（0, +∞）上的单调性；
（2）若f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2且f (x 1) +f (x 2) >0，求实数a 的取值范围。（[ln(1+ax )]=
' a ） 1+ax
4、π是圆周率，e =2.71828 为自然对数的底数
（1）求函数f (x ) =ln x 的单调区间； x
（2）求e 3,3e , e π, πe ,3π, π3这六个数中的最大数和最小数；
（3）（选做）将（2）中的六个数按从小到大的顺序排列，并说明理由。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（2）
函数（2）
一、实战演练：
1、若至少存在一个x ≥0，使得关于x 的不等式x 2≤4-|2x -m |成立，则实数m 的取值范围是_________________
2、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数ϕ(x ) 组成的集合：对于函数ϕ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数ϕ(x ) 的值域包含于区间[-M , M ]。例如，当ϕ1(x ) =x 3，ϕ2(x ) =sin x 时，ϕ1(x ) ∈A ，ϕ2(x ) ∈B 。现有如下命题：
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃x ∈R ，f (a ) =b ”；②若函数f (x ) ∈B ，则f (x ) 有最大值和最小值；③若函数f (x ) ，g (x ) 的
+g (∉x ) ；B ④若函数定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x )
x f (x ) =a ln(x +2) +2（x >-2，a ∈R ）有最大值，则f (x ) ∈B 。其中的真命题x +1
有____________。（写出所有真命题的序号）。
3、已知函数f (x ) =a ln x +(x -c ) |x -c |,a 0。
(1)当a =-31a 1, c =时，求函数f (x ) 的单调区间；（2）当c =1+时，若f (x ) ≥对4424x ∈(c , +∞) 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）（选做）设函数f (x ) 的图象在点P (x 1, f (x 1)) 、Q (x 2, f (x 2)) 两处的切线分别为l 1, l 2，
若x 1=求实数c 的最小值。
x 2=c ，且l 1⊥l 2，
e x
4、已知函数f (x ) =。 x
（1）若曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线方程为ax -y =0，求x 0的值；
（2）当x >0, 求证：f (x ) >x ；
（3）（选做）设函数F (x ) =f (x ) -bx ，其中b 为实常数，讨论F (x ) 的零点个数，并证明你的结论。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（3）
数列（1）
一、实战演练：
1、已知正数a 1, a 2, a 3, a 4依次成等比数列，且公比q ≠1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序) 是等差数列，则公比q 的取值集合是______________
2、设等差数列{a n }的各项均为整数，其公差d ≠0, a 5=6，若无穷数列a 3, a 5, a n 1, a n 2, , a n t , (5
3、设a >0, a ≠1，数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{loga S n }是首项为0，公差为1的等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
⎧b 2m -n +1, 1≤n ≤m （2）设m 是给定的正整数，a =2，数列{b n }满足b n =⎨. a ⋅a , m +1≤n ≤2m ⎩n n +1
①当m =10时，求数列{b n }的前n 项和T n (n ≤20) ；
n -4②设数列{c n }满足c n =，试求数列{c n }中最大项的值. b n
4、已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1, a 2, , a m 和正数b 1, b 2, , b m ，使a ，a 1, a 2, , a m ，b 是等差数列，a ，b 1, b 2, , b m ，b 是等比数列．
a35b （1）若m ＝5，＝，求 b34a
*（2）若b =λa (λ∈N*，λ≥2) ，如果存在n (n ∈N ，6≤n ≤m) 使得a n -5=b n ，求λ
的最小值及此时m 的值；
（3）（选做）求证：a n >b n (n ∈N *, n ≤m ) 。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（4）
数列（2）
一、实战演练：
1、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1, a 54, a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为_____________
2A ={a 1, a 2, , a n }(n ∈N *, n ≥3) ，定义集合S ={x |x =a i +a j , 1≤i
3、设数列{a n }满足：a 1=1, a 2=2, a n +2
令b n =a n (a 2n +1+1) = (n≥1，n ∈N*), a 2n +1a n +1
1a n +a n (1) 求证：数列{b n }是常数列；
22 (2) 求证：当n≥2时，2
4、已知数列{a n }满足a 1=a (a >0, a ∈N *) ，a 1+a 2+ +a n -pa n +1=0 (p≠0，p≠－1，n ∈N*)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若对每一个正整数k ，若将a k +1, a k +2, a k +3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k . ①求p 的值及对应的数列{d k }．
②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（5）
解几（1）
一、实战演练：
1、若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________。
2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,2) ，B (2,6)，一条直线l 过点(0,m ) ，且与
22 P 单位圆x +y =1恒相切. 若有且只有两个点满足：①PA ⋅PB =-4；②点P 到直线l 的距离为1，则实数m 的取值范围是 。
3、在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A（0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同
时满足①GA +GB +GC =0 , ②|MA |= |MB |= |MC |③GM ∥AB
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F
0） ，已知PF ∥FQ ,
RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
y 2x 2
4、已知F 1(0,1)，F 2(0, -1)分别为椭圆C 12+2=1(a >b >0)的上、下焦点， a b
M 是C 1与C 2在第二象限的交点, 抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F 1，点
522且MF 1=. （1）求抛物线C 2及椭圆C 1的方程；（2）与圆x +(y +1)=1相切的3
直线l :y =k (x +)t , kt ≠0交椭圆C 1于A , B 两点, 若椭圆C 1 上存在点P 满足 , 求实数λ的取值范围. OA +OB =λOP
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（6）
解几（2）
一、实战演练：
x 2y 2
1、椭圆T 221(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c . 若直线y 3(x ＋c ) a b 与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
→→x 2y 2
2、已知A (1,2)，B (－1,2) ，动点P 满足AP ⊥BP . 若双曲线221(a ＞0，b ＞0) 的渐近线a b 与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
x 2y 2
3、已知椭圆E ：2+2=1(a >b >0) 的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点a b
对称的两点，且直线PA 的斜率与直线QA 的斜率之积为-．（1）求E 的方程；
（2）过E 的右焦点作直线与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线x =3分别交于C 、D 两点，设△ACD 与△AMN 的面积分别记为S 1、S 2，求2S 1-S 2的最小值．
34
x 2y 2
4、如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 经过点
a b
M ,
) 椭圆的离心率e =, F 1、F 2分别是椭圆左、右焦点. 3
(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B . ①若直线MA 过坐标原点O , 试求∆MAF 2外接圆的方程；②若∠AMB 的平分线与y 轴平行, 试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（1）
函数（1）
一、实战演练：
1、已知函数f (x ) =x +sin x ，且f (y 2-2y +3) +f (x 2-4x +1) ≤0，则当y ≥1时，y 的取值范围_____________________ x +1
2、已知函数f (x ) =|x 3+3x |，若方程f (x ) -a |x -1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是_____________
3、已知常数a >0，函数f (x ) =ln(1+ax ) -2x x +2
（1）讨论f (x ) 在区间（0, +∞）上的单调性；
（2）若f (x ) 存在两个极值点x 1, x 2且f (x 1) +f (x 2) >0，求实数a 的取值范围。（[ln(1+ax )]=
' a ） 1+ax
4、π是圆周率，e =2.71828 为自然对数的底数
（1）求函数f (x ) =ln x 的单调区间； x
（2）求e 3,3e , e π, πe ,3π, π3这六个数中的最大数和最小数；
（3）（选做）将（2）中的六个数按从小到大的顺序排列，并说明理由。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（2）
函数（2）
一、实战演练：
1、若至少存在一个x ≥0，使得关于x 的不等式x 2≤4-|2x -m |成立，则实数m 的取值范围是_________________
2、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数ϕ(x ) 组成的集合：对于函数ϕ(x ) ，存在一个正数M ，使得函数ϕ(x ) 的值域包含于区间[-M , M ]。例如，当ϕ1(x ) =x 3，ϕ2(x ) =sin x 时，ϕ1(x ) ∈A ，ϕ2(x ) ∈B 。现有如下命题：
①设函数f (x ) 的定义域为D ，则“f (x ) ∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃x ∈R ，f (a ) =b ”；②若函数f (x ) ∈B ，则f (x ) 有最大值和最小值；③若函数f (x ) ，g (x ) 的
+g (∉x ) ；B ④若函数定义域相同，且f (x ) ∈A ，g (x ) ∈B ，则f (x )
x f (x ) =a ln(x +2) +2（x >-2，a ∈R ）有最大值，则f (x ) ∈B 。其中的真命题x +1
有____________。（写出所有真命题的序号）。
3、已知函数f (x ) =a ln x +(x -c ) |x -c |,a 0。
(1)当a =-31a 1, c =时，求函数f (x ) 的单调区间；（2）当c =1+时，若f (x ) ≥对4424x ∈(c , +∞) 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）（选做）设函数f (x ) 的图象在点P (x 1, f (x 1)) 、Q (x 2, f (x 2)) 两处的切线分别为l 1, l 2，
若x 1=求实数c 的最小值。
x 2=c ，且l 1⊥l 2，
e x
4、已知函数f (x ) =。 x
（1）若曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线方程为ax -y =0，求x 0的值；
（2）当x >0, 求证：f (x ) >x ；
（3）（选做）设函数F (x ) =f (x ) -bx ，其中b 为实常数，讨论F (x ) 的零点个数，并证明你的结论。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（3）
数列（1）
一、实战演练：
1、已知正数a 1, a 2, a 3, a 4依次成等比数列，且公比q ≠1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序) 是等差数列，则公比q 的取值集合是______________
2、设等差数列{a n }的各项均为整数，其公差d ≠0, a 5=6，若无穷数列a 3, a 5, a n 1, a n 2, , a n t , (5
3、设a >0, a ≠1，数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{loga S n }是首项为0，公差为1的等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
⎧b 2m -n +1, 1≤n ≤m （2）设m 是给定的正整数，a =2，数列{b n }满足b n =⎨. a ⋅a , m +1≤n ≤2m ⎩n n +1
①当m =10时，求数列{b n }的前n 项和T n (n ≤20) ；
n -4②设数列{c n }满足c n =，试求数列{c n }中最大项的值. b n
4、已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1, a 2, , a m 和正数b 1, b 2, , b m ，使a ，a 1, a 2, , a m ，b 是等差数列，a ，b 1, b 2, , b m ，b 是等比数列．
a35b （1）若m ＝5，＝，求 b34a
*（2）若b =λa (λ∈N*，λ≥2) ，如果存在n (n ∈N ，6≤n ≤m) 使得a n -5=b n ，求λ
的最小值及此时m 的值；
（3）（选做）求证：a n >b n (n ∈N *, n ≤m ) 。
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（4）
数列（2）
一、实战演练：
1、设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1, a 54, a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为_____________
2A ={a 1, a 2, , a n }(n ∈N *, n ≥3) ，定义集合S ={x |x =a i +a j , 1≤i
3、设数列{a n }满足：a 1=1, a 2=2, a n +2
令b n =a n (a 2n +1+1) = (n≥1，n ∈N*), a 2n +1a n +1
1a n +a n (1) 求证：数列{b n }是常数列；
22 (2) 求证：当n≥2时，2
4、已知数列{a n }满足a 1=a (a >0, a ∈N *) ，a 1+a 2+ +a n -pa n +1=0 (p≠0，p≠－1，n ∈N*)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若对每一个正整数k ，若将a k +1, a k +2, a k +3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k . ①求p 的值及对应的数列{d k }．
②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（5）
解几（1）
一、实战演练：
1、若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________。
2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,2) ，B (2,6)，一条直线l 过点(0,m ) ，且与
22 P 单位圆x +y =1恒相切. 若有且只有两个点满足：①PA ⋅PB =-4；②点P 到直线l 的距离为1，则实数m 的取值范围是 。
3、在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A（0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同
时满足①GA +GB +GC =0 , ②|MA |= |MB |= |MC |③GM ∥AB
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F
0） ，已知PF ∥FQ ,
RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
y 2x 2
4、已知F 1(0,1)，F 2(0, -1)分别为椭圆C 12+2=1(a >b >0)的上、下焦点， a b
M 是C 1与C 2在第二象限的交点, 抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F 1，点
522且MF 1=. （1）求抛物线C 2及椭圆C 1的方程；（2）与圆x +(y +1)=1相切的3
直线l :y =k (x +)t , kt ≠0交椭圆C 1于A , B 两点, 若椭圆C 1 上存在点P 满足 , 求实数λ的取值范围. OA +OB =λOP
二、解法提炼：
2015届高三数学解题研究（6）
解几（2）
一、实战演练：
x 2y 2
1、椭圆T 221(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c . 若直线y 3(x ＋c ) a b 与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
→→x 2y 2
2、已知A (1,2)，B (－1,2) ，动点P 满足AP ⊥BP . 若双曲线221(a ＞0，b ＞0) 的渐近线a b 与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
x 2y 2
3、已知椭圆E ：2+2=1(a >b >0) 的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点a b
对称的两点，且直线PA 的斜率与直线QA 的斜率之积为-．（1）求E 的方程；
（2）过E 的右焦点作直线与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线x =3分别交于C 、D 两点，设△ACD 与△AMN 的面积分别记为S 1、S 2，求2S 1-S 2的最小值．
34
x 2y 2
4、如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 经过点
a b
M ,
) 椭圆的离心率e =, F 1、F 2分别是椭圆左、右焦点. 3
(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B . ①若直线MA 过坐标原点O , 试求∆MAF 2外接圆的方程；②若∠AMB 的平分线与y 轴平行, 试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.
二、解法提炼：