朱慈勉结构力学课后习题答案第7章__位移法

习 题

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b)

(c)

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h)

(i)

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移 7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？

7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a)

l l 解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

7- 32

12qlM1图

Mp图

（2）位移法典型方程

rR

11Z11p0

（3）确定系数并解方程

r8i,R1

111p3ql2

8iZ12

13ql0

ql2

Z1

24i

（4）画M图

7

2

M图

(b)

m4

4m

解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

7- 33

3

EI（2）位移法典型方程

r0

11Z1R1p （3）确定系数并解方程

r5

112EI,R1p35

5

2

EIZ1350

Z1

14 EI

（4）画M图

M图

(KNm)

(c)

m 9

6m 解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

7- 34

Mp图

F243

EI243

EI1243

EI（2）位移法典型方程

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r4

11

243

EI,RF 1pp4

243

EIZ 1Fp0

Z1

243 4EI

（4）画M图

94

p

2

p4

p

(d) a2

FP

2a

解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

RM

p图

7- 35

Z

1



1

简化

2

EA/2a2

EA/2a

1图

r11

1图

R1p

p

Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r11

26 EA/a,R1pFp55

2EA6

Z1Fp05a5

Z1

3a

EA

（4）画M图

M图

(e)

l

解：（1）确定基本未知量

两个线位移未知量，各种M图如下

7- 36

1

r11

EA1l

 r21

1图

22

EA

rl1

2图

Fp

R1pFp R2p0

Mp

2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

3）确定系数并解方程

rEA 11

l1

4,r

12r21

4l

rEA22l14

R1pFp,R2p0

代入，解得

7- 37

（ （

Z1

l

FpEA

Z2 （4）画M图

l

FpEA

p

7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M图。

(a)

M

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

2

EI2EIr112EI

1 r21EI

3

1

2EI

11EI6

r22

2

7- 38

R1p30 R1p0

Mp

图

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程 r112EI,r12r21

13EI

r1122

6

EIR1p30,R2p0

代入，解得

Z115.47,Z22.81

（4）画最终弯矩图

M

(b)

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

7- 39

2图

（2）位移法典型方程

Mp图

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程 r11i,rr0111221

r22

3i

4

R1p30KN,R2p30KN

代入，解得

Z1

3011 ,Z24011ii

（4）画最终弯矩图

M

(c)

2m2m7- 40

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

2

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

r3i1111i,r12r212

r6i22

4

R1p0,R2p30KN

代入，解得

Z6.31646.316 1EI,Z2

EI

（4）求最终弯矩图

7- 41

(d)

l

l

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

1

2图

7- 42

Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

r13EI11

l,r3EI

12r21l2r18EI22l2

R1

1p16ql2,R2pql

代入，解得

66ql3211ql4Z3600EI,Z

123600

EI

（4）求最终弯矩图

M图

(e)

8m

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

7- 43

EI2

1

1EI

2

（2）位移法典型方程

Mp

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

51

EI,r12r21EI 447r22EI

8

R1p45KNm,R2p0r11

代入，解得

Z38.18,Z10.91

12 （4）求最终弯矩图

M

7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

(d) (e) (f)

7- 44

FP

FP

(a) (b) (c)

FP

FP

7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。

(a)

3EI

13E

EI1=∞ 38m

EI 6m

解：（1）画出1,2,Mp图

EI81EI3

4由图可得： r11

1124

EI,r12r21

EI813

1

4EI

EI6

EI18

2

由图可知： 14 r22

EI

9

M

p

7- 45

R1p20KN R2p0

（2）列方程及解方程组

4 112EIZEIZ20012813

4EIZ114EIZ2093

解得：

Z183.38

11

,Z271.47EIEI

（3）最终弯矩图

(b)

EI=常数

4m

6m

4m 解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx 知

35

,CCD 44

EI9EI3EI3EI

,r31r13412832128

4EI4EI93327r22EI,r23r32EIEIEI

[1**********]0r11EI,r12r21

R1p10KNm,R2p0,R3p6.25KN 求r33

M

D

0知

7- 46

27EI3EI3EI9EI9EI14r3380.055EI

EIEIZ1

4Z23128EIZ3100EIZ9EIZ117.9/EIZ27

41102160EIZ30Z258.5/EI Z3285.6/EI



3

27128EIZ1160Z20.055EIZ36.250

(c) FP C 1

EI EI

a 22

解：（1）作出各M图

6EI4EI

aa

M1图

M

0r9EI11a

a318EI

a3

ar18

EI

11



a3

7- 47

M

p

a

M0PR1pa00

2

P

R1p

2

（2）列出位移法方程

r11Z1R1p0

解得：

Z13

（3）最终M图

(d)

l

2解：基本结构选取如图所示。

作出1及Mp图如下。

7- 48

9EI8EI1图

12

ql12ql

12

ql

Mp图

r10EI8EI10EI9EI

29EI11l2l2l22l2l/2l3R112

71p2ql12ql/l

12ql

由位移法方程得出： rZ7ql4

111R1p0Z1348EI

作出最终M图

85ql2

M图

7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。

(a)

(b)

By 

题7-9图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

a

aa

a

7- 49

解：（1）画出M1,M2,Mp图

1图由图可知，得到各系数： r117i,r12r21i,r228i

R5R13

2

1p8qa2,2p8qa求解得：Z531

440,Z12

255

（2）求解最终弯矩图

M图

7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。

(a) m6

解：（1）利用对称性得：

7- 50

M

p图

2EI

1图Mp图

（2）由图可知：r4

11

3

EI,R1p300KNm 4

3

EIZ13000

可得：Z1300

3225

4EI

EI

（3）求最终弯矩图

M图

(b) m3

4m 4m

解：（1）利用对称性，可得：

2

5

EI1图

Mp

（2）由图可知，各系数分别为： r11

EI445EI

2120EIR1p

20KNm 21

20

EIZ12007- 51

解得：Z1

400

21EI

（3）求最终弯矩图如下

l M图

(c)

l

解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。

l

Mp图

3EI12EI4

x31x，得x个单位。 3ll5

D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则（2）同理可求出Mp图。 r11

12EI212EI132EI4

x,R1pPl 333l5l5l5

Pl3

可得：Z1

33

（3）求最终弯矩图

7- 52

3

Pl11

Pl

(d)

(e)

m3

m3

3m

3m

解：（1）利用对称性，取左半结构

7- 53

2图

1

1图

（2）由图可知： r11

8420EI,r21r12EI,r22EI3927 R1p0,R2p25KN

2575,Z2 4EI3EI

解得：Z1

（3）求得最终弯矩图

(f)

下图所示。

2m

M图

10kN

EI=常数

F

2m

C

2mE

2m解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如

7- 54

1图

7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a)

2图

7- 55

(b)

B

EI A

3EI

EI

C

l



l

解：（1）求1,2,3,Mp图。

1图

2图

3图

（2）由图可知：

r1116i,r12r216i,r23r3218i

R1p0,R2p8i,R3p

l

6i24i,r2216i,r33ll

代入典型方程，得：Z10.426,Z20.374,Z30.763l （3）求最终弯矩图

2.87

EI

l

1.93

EIl

3.73

EIl

4.67

7-13 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h＝0.4m，EI＝2×104kN·m2，α＝1×105。

－

M图

l

+20℃ 0℃

0℃ +20℃ 4m6m 题7-13图

解：（1）画出t,M1t,Mt图。

7- 56

4EIl

20EI3

11

R1t

R1t

2EIl

3

EIl

10EI

2EIl

1图M1t图Mt图

（2）求解各系数，得，r11

53EI,R95

1t6

EI,Rt0 典型方程：53EIZ95

16

EI0

解得：Z191

2

（3）求最终弯矩图

M

图

7-14 试用混合法作图示刚架M图。

l l

l l

题7-14图

7- 57

习 题

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b)

(c)

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h)

(i)

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移 7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？

7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a)

l l 解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

7- 32

12qlM1图

Mp图

（2）位移法典型方程

rR

11Z11p0

（3）确定系数并解方程

r8i,R1

111p3ql2

8iZ12

13ql0

ql2

Z1

24i

（4）画M图

7

2

M图

(b)

m4

4m

解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

7- 33

3

EI（2）位移法典型方程

r0

11Z1R1p （3）确定系数并解方程

r5

112EI,R1p35

5

2

EIZ1350

Z1

14 EI

（4）画M图

M图

(KNm)

(c)

m 9

6m 解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

7- 34

Mp图

F243

EI243

EI1243

EI（2）位移法典型方程

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r4

11

243

EI,RF 1pp4

243

EIZ 1Fp0

Z1

243 4EI

（4）画M图

94

p

2

p4

p

(d) a2

FP

2a

解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

RM

p图

7- 35

Z

1



1

简化

2

EA/2a2

EA/2a

1图

r11

1图

R1p

p

Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1R1p0

（3）确定系数并解方程

r11

26 EA/a,R1pFp55

2EA6

Z1Fp05a5

Z1

3a

EA

（4）画M图

M图

(e)

l

解：（1）确定基本未知量

两个线位移未知量，各种M图如下

7- 36

1

r11

EA1l

 r21

1图

22

EA

rl1

2图

Fp

R1pFp R2p0

Mp

2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

3）确定系数并解方程

rEA 11

l1

4,r

12r21

4l

rEA22l14

R1pFp,R2p0

代入，解得

7- 37

（ （

Z1

l

FpEA

Z2 （4）画M图

l

FpEA

p

7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M图。

(a)

M

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

2

EI2EIr112EI

1 r21EI

3

1

2EI

11EI6

r22

2

7- 38

R1p30 R1p0

Mp

图

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程 r112EI,r12r21

13EI

r1122

6

EIR1p30,R2p0

代入，解得

Z115.47,Z22.81

（4）画最终弯矩图

M

(b)

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

7- 39

2图

（2）位移法典型方程

Mp图

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程 r11i,rr0111221

r22

3i

4

R1p30KN,R2p30KN

代入，解得

Z1

3011 ,Z24011ii

（4）画最终弯矩图

M

(c)

2m2m7- 40

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

2

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

r3i1111i,r12r212

r6i22

4

R1p0,R2p30KN

代入，解得

Z6.31646.316 1EI,Z2

EI

（4）求最终弯矩图

7- 41

(d)

l

l

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

1

1

2图

7- 42

Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

r13EI11

l,r3EI

12r21l2r18EI22l2

R1

1p16ql2,R2pql

代入，解得

66ql3211ql4Z3600EI,Z

123600

EI

（4）求最终弯矩图

M图

(e)

8m

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

7- 43

EI2

1

1EI

2

（2）位移法典型方程

Mp

r11Z1r12Z2R1p0 r21Z1r22Z2R2p0

（3）确定系数并解方程

51

EI,r12r21EI 447r22EI

8

R1p45KNm,R2p0r11

代入，解得

Z38.18,Z10.91

12 （4）求最终弯矩图

M

7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

(d) (e) (f)

7- 44

FP

FP

(a) (b) (c)

FP

FP

7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。

(a)

3EI

13E

EI1=∞ 38m

EI 6m

解：（1）画出1,2,Mp图

EI81EI3

4由图可得： r11

1124

EI,r12r21

EI813

1

4EI

EI6

EI18

2

由图可知： 14 r22

EI

9

M

p

7- 45

R1p20KN R2p0

（2）列方程及解方程组

4 112EIZEIZ20012813

4EIZ114EIZ2093

解得：

Z183.38

11

,Z271.47EIEI

（3）最终弯矩图

(b)

EI=常数

4m

6m

4m 解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx 知

35

,CCD 44

EI9EI3EI3EI

,r31r13412832128

4EI4EI93327r22EI,r23r32EIEIEI

[1**********]0r11EI,r12r21

R1p10KNm,R2p0,R3p6.25KN 求r33

M

D

0知

7- 46

27EI3EI3EI9EI9EI14r3380.055EI

EIEIZ1

4Z23128EIZ3100EIZ9EIZ117.9/EIZ27

41102160EIZ30Z258.5/EI Z3285.6/EI



3

27128EIZ1160Z20.055EIZ36.250

(c) FP C 1

EI EI

a 22

解：（1）作出各M图

6EI4EI

aa

M1图

M

0r9EI11a

a318EI

a3

ar18

EI

11



a3

7- 47

M

p

a

M0PR1pa00

2

P

R1p

2

（2）列出位移法方程

r11Z1R1p0

解得：

Z13

（3）最终M图

(d)

l

2解：基本结构选取如图所示。

作出1及Mp图如下。

7- 48

9EI8EI1图

12

ql12ql

12

ql

Mp图

r10EI8EI10EI9EI

29EI11l2l2l22l2l/2l3R112

71p2ql12ql/l

12ql

由位移法方程得出： rZ7ql4

111R1p0Z1348EI

作出最终M图

85ql2

M图

7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。

(a)

(b)

By 

题7-9图 7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

a

aa

a

7- 49

解：（1）画出M1,M2,Mp图

1图由图可知，得到各系数： r117i,r12r21i,r228i

R5R13

2

1p8qa2,2p8qa求解得：Z531

440,Z12

255

（2）求解最终弯矩图

M图

7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。

(a) m6

解：（1）利用对称性得：

7- 50

M

p图

2EI

1图Mp图

（2）由图可知：r4

11

3

EI,R1p300KNm 4

3

EIZ13000

可得：Z1300

3225

4EI

EI

（3）求最终弯矩图

M图

(b) m3

4m 4m

解：（1）利用对称性，可得：

2

5

EI1图

Mp

（2）由图可知，各系数分别为： r11

EI445EI

2120EIR1p

20KNm 21

20

EIZ12007- 51

解得：Z1

400

21EI

（3）求最终弯矩图如下

l M图

(c)

l

解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。

l

Mp图

3EI12EI4

x31x，得x个单位。 3ll5

D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则（2）同理可求出Mp图。 r11

12EI212EI132EI4

x,R1pPl 333l5l5l5

Pl3

可得：Z1

33

（3）求最终弯矩图

7- 52

3

Pl11

Pl

(d)

(e)

m3

m3

3m

3m

解：（1）利用对称性，取左半结构

7- 53

2图

1

1图

（2）由图可知： r11

8420EI,r21r12EI,r22EI3927 R1p0,R2p25KN

2575,Z2 4EI3EI

解得：Z1

（3）求得最终弯矩图

(f)

下图所示。

2m

M图

10kN

EI=常数

F

2m

C

2mE

2m解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如

7- 54

1图

7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a)

2图

7- 55

(b)

B

EI A

3EI

EI

C

l



l

解：（1）求1,2,3,Mp图。

1图

2图

3图

（2）由图可知：

r1116i,r12r216i,r23r3218i

R1p0,R2p8i,R3p

l

6i24i,r2216i,r33ll

代入典型方程，得：Z10.426,Z20.374,Z30.763l （3）求最终弯矩图

2.87

EI

l

1.93

EIl

3.73

EIl

4.67

7-13 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h＝0.4m，EI＝2×104kN·m2，α＝1×105。

－

M图

l

+20℃ 0℃

0℃ +20℃ 4m6m 题7-13图

解：（1）画出t,M1t,Mt图。

7- 56

4EIl

20EI3

11

R1t

R1t

2EIl

3

EIl

10EI

2EIl

1图M1t图Mt图

（2）求解各系数，得，r11

53EI,R95

1t6

EI,Rt0 典型方程：53EIZ95

16

EI0

解得：Z191

2

（3）求最终弯矩图

M

图

7-14 试用混合法作图示刚架M图。

l l

l l

题7-14图

7- 57