椭圆练习1 班级 姓名
1.
=10化简的结果是 ( A) x
2y 2y 2y 2A 25+16=1+9
25=
1 +y 2
=125=1
2. 已知P 为椭圆x 2y 2
25+16=1上的一个点, M , N 分别为圆(x ＋3) 2＋y 2＝1和圆(x －3) 2＋y 2=4上的点，则PM ＋PN 的最小值为 ( B )
A ．5 B．7 C．13 D．15 C :x 2y 23．已知椭圆a 2+2=1(a >b >
0) F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交
于A 、B 两点，若 b AF =3 FB 则k = ( B )
A. 1
B.
C. D. 2
4．已知点P (x x 2
0, y 0) 是椭圆C :5+y 2=1上的一点。F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。
（1）若∠F 1PF 2是钝角，求点P 横坐标x 0的取值范围；
（2）求代数式y 2
0+2x 0的最大值。19. （1）-2
椭圆练习2 班级 姓名 1. “1b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若∆AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率
e =，则椭圆的方程是D 3. ∆ABC 三边成等差数列且 a >c >b , 已知顶点A (-1,0), B (1,0), 则顶点C 的轨迹方程为( D ) A. x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 243=1(x ≠0) B. 4+3=1(y ≠0) C. 4+3=1(x
x 2y 2
1．已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，43
1若直线PA 的斜率k P A ＝，则直线PB 的斜率k PB 为 ( D ) 2直线方程为 （ B ） x 2y 21．已知椭圆方程：+=1，过点P （1，1）作椭圆的一条弦，使P 点平分该弦，则该弦所在的42
A. 34 B. 32 C 334 D ．－2
x 2已知椭圆C :a +y 22. 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点, 连接AF,BF.
若AB =10, BF =8, cos ∠ABF =4
5, 则C 的离心率为 ( B ) A. B. C. D.
3. 过椭圆x 2
25+y 2
16=1内一点（0，2）的弦的中点的轨迹方程为A
4. 已知椭圆：x 2
3+y 2=1，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A ，B 两点． (I)求证O 到直线AB 的距离为定值． (Ⅱ) 求△0AB 面积的最大值．
椭圆练习4 班级 姓名 A ．x -2y -3=0 B ．x +2y -3=0 C ．2x+y+3=0 D ．不存在 2. 设椭圆的两个焦点分别为F 1, F 2, 过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1P F 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ） A 、22 B、2－12 C、22 D、2－1 3. 设P 是椭圆x 2y 29+5=1上一点，点M ，N 分别是两圆：(x +2) 2+y 2=1和(x -2) 2+y 2=1上的点，则PM +PN 的最小值 最大值为 _4,8 y 2x 24. 已知椭圆4+ 2=1两焦点分别为F 1、F 2, P 是椭圆在第一象限弧上的一点，并满足PF 1 PF 2=1, 过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点. （1）求P 点坐标； （2）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值； （3）求△PAB 面积的最大值.
已知焦点在x 轴上的椭圆，其离心率为32，并且椭圆经过点(2, 3) .
（1）求椭圆方程；（2）求椭圆上的点到直线x +2y -2=0的最大距离及取得最大值时该点的坐标.
19. 解：（Ⅰ）由已知设椭圆方程为 x 2y 2a 2+b 2=1，所以由离心率为2得 a =2b
把(2, ) 代入方程， 得 b 2=4，
所以，所求椭圆方程为 x 2
16+y 2
4=1． ---------------------6分 22
（Ⅱ）设与x +2y -2=0平行，且与椭圆x
16+y
4=1相切的直线为x +2y +m =0，
⎧x +2y +
联立方程得方程组 ⎪m =0
⎨x 2 整理方程组得到 2x 2+2mx +(m 2-16) =0
⎪y 2
⎩16+4=1
由 ∆=4m 2-8(m 2-16) =0 得 m =42或m =-42 -----------10分
依题意可知 ：因为求最大值，所以取 m =42
由平行线间距离公式得 d =42+2
=，所以最大距离为
而由此时 m =42 所以 2x 2+2mx +(m 2-16) =0 中可以知道
x =-m
2=-22，代入直线方程可以求得 y =-2
所以，所求点的坐标为 (-22, -2) ． ---------------------14分
已知点P 是椭圆x 2y 225+16=1上的任意一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1⋅PF 2的最小值为 ▲ ．7 “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( c ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21、（13分）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆x 2y 2a 2+b 2=1(a >b >0) 对称轴上的定点D (λa ,0) （λ为非零常数，λ≠±1），且l 交椭圆于A 、B 两点. （1）当k =λ=12，且线段AB 中点的横坐标等于a 时，求椭圆的离心率； （2）试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使 AM 4⋅ BM 恒为定值? 21、（本题满分13分） 解：设直线l 的方程为 y =k (x -λa ) ⎧y =k (x -由⎪λa ) ⎨x 2y 2，消去y 整理得， ⎪⎩a 2+b 2=1(k 2a 2+b 2) x 2-2k 2λa 3x +(k 2λ2a 4-a 2b 2)
= 设，A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ，则
⎧⎪∆>0⎪⎧y 1=k (x 1-λa ) 2k 2λa 3⎪ ①， 且 ② x +x =⎨12⎨222k a +b ⎩y 2=k (x 2-λa ) ⎪⎪k 2λ2a 4-a 2b 2
⎪x 1⋅x 2=k 2a 2+b 2⎩
1（1） k =λ= 2
x 1+x 2k 2λa 3a c =22=由中点坐标公式及①式得，，解得6分） e ==2k a +
b 24a M （2）若存在定点符合题意，可设M (m ,0) （m 为常数），且AM ⋅BM =r （r 为常数），则AM ⋅BM =MA ⋅MB =r . 而 MA =(x 1-m , y 1) ，MB =(x 2-m , y 2)
则 (x 1-m , y y +) 1) (x 2-m , 21y 2y = r
即 x 1x 2-m (x 1+x ) 2+m 2+y y 1=2r ③
把① ②两式代入③式，整理得，
22222 k 2a 2(λ2a +λ2b +2m -2b -2λm -a ) r +(b m -a -) r =0 ④
（其中a , b , λ, m , r 都为常数）
要使④式对变量k 恒成立，当且仅当
222222⎧⎪λa +λb +m -b -2λma -r =0 ⎨2 2⎪⎩m -a -r =0
⎧(λ2+1) a 2+(λ2-1) b 2
(λ≠0) ⎪m =解得，⎨ ，故存在定点M (m ,0) 符合题意. 2λa ⎪r =m 2-a 2⎩
(λ2+1) a 2+(λ2-1) b 2
其中，m =， AM ⋅BM =m 2-a 2. （13分） 2λa
已知椭圆：x 2
3+y 2=1，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A ，B 两点．
(I)求证O 到直线AB 的距离为定值．
(Ⅱ)求△0AB面积的最大值．
22. 解：（Ⅰ） 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.
由⎨⎧y =kx +m 222
⎩x 2+3y 2=3，得(1
+3k ) x +6kmx +3m -3=0
⎧⎪＞0，⎪x 6km
1+x 2=-
⎨1+3k 2
△ „2分有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋
(k x1＋m ) (k x2＋
⎪⎪⎩x 1x 3m 2-3m ) 2=1+3k 2 ＝(1＋
k 2) x1x 2＋k m(x 1＋x 2) ＝0 „„„4分 代入，得4 m2＝3 k2＋3原点到直线AB 的距离d =. „„5分 当AB 的斜率不存在时，x 1=y 1, 可得x 1==d ，依然成立． 所以点O 到直线AB 6分 （Ⅱ）AB 2=(1+k 2)(x 22⎡6km 23m 2-3⎤1-x 2) =(1+k ) ⎢⎣(1+3k 2) -4⨯1+3k 2⎥„„„„8分 ⎦ ＝3(9k 4+10k 2+1) 12k 2129k 4+6k 2+1=3+9k 4+6k 2+1 ＝3+≤4 9k 2+6+k 2当且仅当9k 2=1k 2，即k =时等号成立. „„„„„„10分 当斜率不存在时，经检验|AB |＜2. 所以S ∆OAB ≤12⨯2⨯2=2. „12分 已知F (-1 1,0), F ,0) ，点P 满足|PF |+|PF 2(112|=P 的轨迹为E （Ⅰ）求轨迹E 的方程； （Ⅱ）过点F （1，0）作直线l 与轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设 FA =λFB , T (2,0) ，若λ∈[-2, -1],求|+|的取值范围。 20. （本小题14分） 已知F 1(-1,0), F PF 2(1,0) ，点P 满足|1|+|PF 2|=P 的轨迹为E （Ⅰ）求轨迹E 的方程； （Ⅱ）过点F （1，0）作直线l 与轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设 FA =λFB , T (2,0) ，若λ∈[-2, -1],求|TA +TB |的取值范围。 解：（Ⅰ）由P 满足| PF
1|+|PF 2|=12|知，点P 的轨迹为以F 1, F 2为焦点，长轴长为
椭圆„„„„„„„„„„„„„„1
所以a =c =1, b 2=a 2-c 2=1, b =1
2
轨迹方程为x
2+y 2=1„„„„„„„„„„„„„„3
（Ⅱ）容易验证直线l 的斜率不为0。
故可设直线l 的方程为 x =k y +1，
x 2
代入2+y 2=1中，得(k 2+2) y 2+2ky -1=0.
设 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则由根与系数的关系，得y 2k
1+y 2=-k 2+2 ⑤ „„„„„„„„„4
y 1y 2=-1
k 2+2. „„⑥ „„„„„„„„„„„5 ∵FA =λFB ， ∴有y 1
y =λ，且λ
2
将⑤式平方除以⑥式，得
y 1
y +y 2+2=(y 1+y 2) 24k 214k 2
y =-2⇒λ++2=-2 „„„„8 2y 21y 2k +2λk +2
由λ∈[-2, -1]⇒-5111
2≤λ+λ≤-2⇒-2≤λ+λ+2≤0„„„„„„„9
⇒-1
2≤-4k 2
k +20⇒k 2≤2
7⇒0≤k 2≤2
2≤7. „„„„10分 ∵TA =(x 1-2, y 1), TB =(x 2-2, y 2), ∴TA +TB =(x 1+x 2-4, y 1+y 2). 又y 2k 4(k 2+1)
1+y 2=-k 2+2, ∴x 1+x 2-4=k (y 1+y 2) -2=-k 2+2. „„„„„11
故|TA +TB |2=(x 1+x 2-4) 2+(y 1+y 2) 2
16(k 2+1) 24k 216(k 2+2) 2-28(k 2
=+2) +8
(k 2+2) 2+(k 2+2) 2=(k 2+2) 2 =16-288k 2+2+(k 2+2) 2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 令t =1k 2+2. 0≤k 2≤277 ∴16≤1k 2+2≤12，即 t ∈[716, 12]. ∴|TA +TB |2=f (t ) =8t 2-28t +16=8(t -72174) -2. 而 t ∈[716, 12]， ∴f (t ) ∈[4, 16932].„„„„„„„„„„„„„„13 ∴|+|∈[2, 28].„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 10．已知椭圆方程：x 24+y 22=1，过点P （1，1）作椭圆的一条弦，使P 点平分该弦，则该弦所在的直线方程为 （ B ） A ．x -2y -3=0 B ．x +2y -3=0 C ．2x+y+3=0 D ．不存在 11． 已知F 为双曲线x 29-y 216=1的右焦点，P 是右支上一动点，定点A （9，2），则PA +PF 的最小值是 （ C ） A ．2 B ．365 C ．2-6 D ．2 12．设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆与双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足PF e 221+e 21⋅PF 2=0，则(e 2的值是 （C ） 1⋅e 2) A ．1 B ．12 C ．2 D ．不能确定 【示范高中】已知∆ABC 的两个顶点A 、B 分别为椭圆x 2+5y 2=5的左焦点和右焦点, 且三个内角A 、B 、C 满足关系式sin B -sin A =12sin C . （1）求线段AB 的长度； （2）求顶点C 的轨迹方程. 21. 【示范高中】
(1)解：将椭圆方程化为标准形式x 2
5+y 2=1. „„„2分
∴a 2=5, b 2=1，c 2=a 2-b 2=4.
则A (-2,0), B (2,0)，AB =4. „„„„ 4分
(2)解 sin B -sin A =1
2sin C , ∴由正弦定理得CA -CB =1
2AB =2
即动点C 到两定点A 、B 的距离之差为定值. „„„8分
∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并设其标准方程为x 2y 2
m 2-n 2=1,
则2m =2, 即m =1. 又 半焦距c =2,
∴n 2=c 2-m 2=3， „„„„„10分
∴所求的点C 的轨迹方程为x 2-y 2
3=1(x >1) . „„12分
（注：不写x 的范围扣
已知椭圆C 过点A (1,3
2) ，两个焦点为（－1，0），（1，0）.
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E , F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的
斜率为定值，并求出这个定值.
21．解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为19223
1+b 2+4b 2=1，解得b =3，b =-4（舍） 所以椭圆方程为x 2
4+y 2
3=1。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE 方程为：y =k (x -1) +3x 2y 2
2，代入4+3=1得
(3+4k 2) x 2+4k (3-2k ) x +4(3
2-k ) 2-12=0
设E (xy y 3
E , E ) , F (xF , F ) , 因为点A (1,2) 在椭圆上，所以
43-k 2
x F =) -1
3+4k 2 2 y 3E =kx E +2-k 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得 4(3x +k ) 2-12F =3+4k 2 y E =-kx E +32+k 所以直线EF 的斜率K F -y E -k (x F +x E ) +2EF =y x -x =k =1 F E x F -x E 2即直线EF 的斜率为定值，其值为12。 x 2y 2+椭圆C ：a 2b 2=1, (a >b >0) 的两个焦点分别为F 1(-c , 0), F 2(c , 0) , M 是椭圆上一点，且满足F 1∙F 2=0。 （1）求离心率e 的取值范围； （2）当离心率e 取得最小值时，点N( 0 , 3 )
到椭圆上的点的最远距离为。 (i)求此时椭圆C 的方程； (ii)设斜率为k (k ≠0) 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P （0
，）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由。 20．（12分）解：(1)、由几何性质知的取值范围为：≤e ＜1„„„„„„3分 (2)、(i) 当离心率e 取最小值时，椭圆方程可表示为+ = 1 。设H( x , y ) 是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y ≤b 若0＜b ＜3 ，则当y = - b 时，| NH |2有最大值b 2+6b+9 ，所以由b 2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) „„„„„„„5分 若b ≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b 2+18 ，所以由2b 2+18=50解得b 2=16 ∴所求椭圆方程为+ = 1„„„„„„7分 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x 0+2ky0=0；„„8分 又直线PQ ⊥直线l ，∴直线PQ 的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y 0= - x0- „„„② „„9分 由①②解得Q( - k , ) ，而点Q 必在椭圆的内部ks5u ∴ +
4+2=1两焦点分别为F 1、F 2, P 是椭圆在第一象限弧上的一点，
并满足 PF
1 PF 2=1, 过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.
（1）求P 点坐标；
（2）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值；
（3）求△PAB 面积的最大值.
21. 解：（1
）由题可得F 1F 2(0,P 0(x 0y 0)(x 0>0, y 0>0),
则 PF
1=(-x y 00), PF 2=(-x 0, y 0),
∴ PF
1⋅ PF 2=x 220-(2-y 0) =1, ①
点P (x x 2
0y 20
0, y 0) 在曲线上，则2+4=1, ②
∴
由①②得x 0=1, y 0，则点P
的坐标为 „„„（4分）
（2）设直线PA 斜率K ，则直线PB 斜率-K ，设A (x A , y A ) ，
则直线PA :y =k (x -1)
⎧⎪⎨y =k (x -1) +⎪=4⇒(2+k 2) x 2+-2k 2) x +k 2--2=0 ⎩y 2+2x 2
22
由韦达定理：x A +x k -P =2k -2+k 2(x P =1) ∴x -2A =2+k 2
同理求得x (-k ) 2--k ) -2k 2+-2
B =2+(-k ) 2=2+k 2
K y B -y A AB =x x =
B -A
==综上，直线AB
„„„„（9分） （3）设AB
的直线方程：y =+m . ⎧y =+m ,
由⎪⎨x 2y 2⎪⎩2+4=1,
，得4x 2++m 2-4=0,
由∆=) 2-16(m 2-4) >0, 得-
的距离为d =,
则S 1 2AB ⋅d =PAB =
= ≤=
当且仅当m =±2∈(-时取等号， ∴△P AB
„„„„（14分） 18. （本小题满分12分）已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别为A 、B ，曲线E 是以椭圆中心为顶点，B 为焦点的抛物线. （1）求曲线E 的方程； （2
）直线l :y x -1) 与曲线E 交于不同的两点M 、N . 当 AM AN ≥17时，求直线l 的倾斜角θ的取值范围.
18. 解：（1）依题意得：A (-2,0), B (2,0),
∴曲线E 的方程为y =8x . „„„„„（4分） 2
⎧⎪y =k -1) 2 （2
）由⎨得：kx -(2k +8) x +k =0. 2⎪⎩y =8x
⎧∆=(2k +8) 2-4k 2>0 由⎨⇒k >0 „„„„„（7分） ⎩k >0
设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), 则:x 1+x 2=
∴AM ⋅AN =(x 1+2, y 1) ⋅(x 2+2, y 2)
=(x 1+2)(x 2+2) +y 1y 2 2k +8, x 1x 2=1. k
=(k +1) x 1x 2+(2-k )(x 1+x 2) +4+k =16+1≥17 „„„„（10分） k
⎛π⎤∴0
感悟：-----------------------------------------------------
椭圆练习1 班级 姓名
1.
=10化简的结果是 ( A) x
2y 2y 2y 2A 25+16=1+9
25=
1 +y 2
=125=1
2. 已知P 为椭圆x 2y 2
25+16=1上的一个点, M , N 分别为圆(x ＋3) 2＋y 2＝1和圆(x －3) 2＋y 2=4上的点，则PM ＋PN 的最小值为 ( B )
A ．5 B．7 C．13 D．15 C :x 2y 23．已知椭圆a 2+2=1(a >b >
0) F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交
于A 、B 两点，若 b AF =3 FB 则k = ( B )
A. 1
B.
C. D. 2
4．已知点P (x x 2
0, y 0) 是椭圆C :5+y 2=1上的一点。F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点。
（1）若∠F 1PF 2是钝角，求点P 横坐标x 0的取值范围；
（2）求代数式y 2
0+2x 0的最大值。19. （1）-2
椭圆练习2 班级 姓名 1. “1b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若∆AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率
e =，则椭圆的方程是D 3. ∆ABC 三边成等差数列且 a >c >b , 已知顶点A (-1,0), B (1,0), 则顶点C 的轨迹方程为( D ) A. x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 243=1(x ≠0) B. 4+3=1(y ≠0) C. 4+3=1(x
x 2y 2
1．已知椭圆+=1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，43
1若直线PA 的斜率k P A ＝，则直线PB 的斜率k PB 为 ( D ) 2直线方程为 （ B ） x 2y 21．已知椭圆方程：+=1，过点P （1，1）作椭圆的一条弦，使P 点平分该弦，则该弦所在的42
A. 34 B. 32 C 334 D ．－2
x 2已知椭圆C :a +y 22. 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点, 连接AF,BF.
若AB =10, BF =8, cos ∠ABF =4
5, 则C 的离心率为 ( B ) A. B. C. D.
3. 过椭圆x 2
25+y 2
16=1内一点（0，2）的弦的中点的轨迹方程为A
4. 已知椭圆：x 2
3+y 2=1，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A ，B 两点． (I)求证O 到直线AB 的距离为定值． (Ⅱ) 求△0AB 面积的最大值．
椭圆练习4 班级 姓名 A ．x -2y -3=0 B ．x +2y -3=0 C ．2x+y+3=0 D ．不存在 2. 设椭圆的两个焦点分别为F 1, F 2, 过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1P F 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ） A 、22 B、2－12 C、22 D、2－1 3. 设P 是椭圆x 2y 29+5=1上一点，点M ，N 分别是两圆：(x +2) 2+y 2=1和(x -2) 2+y 2=1上的点，则PM +PN 的最小值 最大值为 _4,8 y 2x 24. 已知椭圆4+ 2=1两焦点分别为F 1、F 2, P 是椭圆在第一象限弧上的一点，并满足PF 1 PF 2=1, 过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点. （1）求P 点坐标； （2）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值； （3）求△PAB 面积的最大值.
已知焦点在x 轴上的椭圆，其离心率为32，并且椭圆经过点(2, 3) .
（1）求椭圆方程；（2）求椭圆上的点到直线x +2y -2=0的最大距离及取得最大值时该点的坐标.
19. 解：（Ⅰ）由已知设椭圆方程为 x 2y 2a 2+b 2=1，所以由离心率为2得 a =2b
把(2, ) 代入方程， 得 b 2=4，
所以，所求椭圆方程为 x 2
16+y 2
4=1． ---------------------6分 22
（Ⅱ）设与x +2y -2=0平行，且与椭圆x
16+y
4=1相切的直线为x +2y +m =0，
⎧x +2y +
联立方程得方程组 ⎪m =0
⎨x 2 整理方程组得到 2x 2+2mx +(m 2-16) =0
⎪y 2
⎩16+4=1
由 ∆=4m 2-8(m 2-16) =0 得 m =42或m =-42 -----------10分
依题意可知 ：因为求最大值，所以取 m =42
由平行线间距离公式得 d =42+2
=，所以最大距离为
而由此时 m =42 所以 2x 2+2mx +(m 2-16) =0 中可以知道
x =-m
2=-22，代入直线方程可以求得 y =-2
所以，所求点的坐标为 (-22, -2) ． ---------------------14分
已知点P 是椭圆x 2y 225+16=1上的任意一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1⋅PF 2的最小值为 ▲ ．7 “m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( c ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21、（13分）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆x 2y 2a 2+b 2=1(a >b >0) 对称轴上的定点D (λa ,0) （λ为非零常数，λ≠±1），且l 交椭圆于A 、B 两点. （1）当k =λ=12，且线段AB 中点的横坐标等于a 时，求椭圆的离心率； （2）试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使 AM 4⋅ BM 恒为定值? 21、（本题满分13分） 解：设直线l 的方程为 y =k (x -λa ) ⎧y =k (x -由⎪λa ) ⎨x 2y 2，消去y 整理得， ⎪⎩a 2+b 2=1(k 2a 2+b 2) x 2-2k 2λa 3x +(k 2λ2a 4-a 2b 2)
= 设，A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ，则
⎧⎪∆>0⎪⎧y 1=k (x 1-λa ) 2k 2λa 3⎪ ①， 且 ② x +x =⎨12⎨222k a +b ⎩y 2=k (x 2-λa ) ⎪⎪k 2λ2a 4-a 2b 2
⎪x 1⋅x 2=k 2a 2+b 2⎩
1（1） k =λ= 2
x 1+x 2k 2λa 3a c =22=由中点坐标公式及①式得，，解得6分） e ==2k a +
b 24a M （2）若存在定点符合题意，可设M (m ,0) （m 为常数），且AM ⋅BM =r （r 为常数），则AM ⋅BM =MA ⋅MB =r . 而 MA =(x 1-m , y 1) ，MB =(x 2-m , y 2)
则 (x 1-m , y y +) 1) (x 2-m , 21y 2y = r
即 x 1x 2-m (x 1+x ) 2+m 2+y y 1=2r ③
把① ②两式代入③式，整理得，
22222 k 2a 2(λ2a +λ2b +2m -2b -2λm -a ) r +(b m -a -) r =0 ④
（其中a , b , λ, m , r 都为常数）
要使④式对变量k 恒成立，当且仅当
222222⎧⎪λa +λb +m -b -2λma -r =0 ⎨2 2⎪⎩m -a -r =0
⎧(λ2+1) a 2+(λ2-1) b 2
(λ≠0) ⎪m =解得，⎨ ，故存在定点M (m ,0) 符合题意. 2λa ⎪r =m 2-a 2⎩
(λ2+1) a 2+(λ2-1) b 2
其中，m =， AM ⋅BM =m 2-a 2. （13分） 2λa
已知椭圆：x 2
3+y 2=1，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A ，B 两点．
(I)求证O 到直线AB 的距离为定值．
(Ⅱ)求△0AB面积的最大值．
22. 解：（Ⅰ） 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.
由⎨⎧y =kx +m 222
⎩x 2+3y 2=3，得(1
+3k ) x +6kmx +3m -3=0
⎧⎪＞0，⎪x 6km
1+x 2=-
⎨1+3k 2
△ „2分有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋
(k x1＋m ) (k x2＋
⎪⎪⎩x 1x 3m 2-3m ) 2=1+3k 2 ＝(1＋
k 2) x1x 2＋k m(x 1＋x 2) ＝0 „„„4分 代入，得4 m2＝3 k2＋3原点到直线AB 的距离d =. „„5分 当AB 的斜率不存在时，x 1=y 1, 可得x 1==d ，依然成立． 所以点O 到直线AB 6分 （Ⅱ）AB 2=(1+k 2)(x 22⎡6km 23m 2-3⎤1-x 2) =(1+k ) ⎢⎣(1+3k 2) -4⨯1+3k 2⎥„„„„8分 ⎦ ＝3(9k 4+10k 2+1) 12k 2129k 4+6k 2+1=3+9k 4+6k 2+1 ＝3+≤4 9k 2+6+k 2当且仅当9k 2=1k 2，即k =时等号成立. „„„„„„10分 当斜率不存在时，经检验|AB |＜2. 所以S ∆OAB ≤12⨯2⨯2=2. „12分 已知F (-1 1,0), F ,0) ，点P 满足|PF |+|PF 2(112|=P 的轨迹为E （Ⅰ）求轨迹E 的方程； （Ⅱ）过点F （1，0）作直线l 与轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设 FA =λFB , T (2,0) ，若λ∈[-2, -1],求|+|的取值范围。 20. （本小题14分） 已知F 1(-1,0), F PF 2(1,0) ，点P 满足|1|+|PF 2|=P 的轨迹为E （Ⅰ）求轨迹E 的方程； （Ⅱ）过点F （1，0）作直线l 与轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设 FA =λFB , T (2,0) ，若λ∈[-2, -1],求|TA +TB |的取值范围。 解：（Ⅰ）由P 满足| PF
1|+|PF 2|=12|知，点P 的轨迹为以F 1, F 2为焦点，长轴长为
椭圆„„„„„„„„„„„„„„1
所以a =c =1, b 2=a 2-c 2=1, b =1
2
轨迹方程为x
2+y 2=1„„„„„„„„„„„„„„3
（Ⅱ）容易验证直线l 的斜率不为0。
故可设直线l 的方程为 x =k y +1，
x 2
代入2+y 2=1中，得(k 2+2) y 2+2ky -1=0.
设 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则由根与系数的关系，得y 2k
1+y 2=-k 2+2 ⑤ „„„„„„„„„4
y 1y 2=-1
k 2+2. „„⑥ „„„„„„„„„„„5 ∵FA =λFB ， ∴有y 1
y =λ，且λ
2
将⑤式平方除以⑥式，得
y 1
y +y 2+2=(y 1+y 2) 24k 214k 2
y =-2⇒λ++2=-2 „„„„8 2y 21y 2k +2λk +2
由λ∈[-2, -1]⇒-5111
2≤λ+λ≤-2⇒-2≤λ+λ+2≤0„„„„„„„9
⇒-1
2≤-4k 2
k +20⇒k 2≤2
7⇒0≤k 2≤2
2≤7. „„„„10分 ∵TA =(x 1-2, y 1), TB =(x 2-2, y 2), ∴TA +TB =(x 1+x 2-4, y 1+y 2). 又y 2k 4(k 2+1)
1+y 2=-k 2+2, ∴x 1+x 2-4=k (y 1+y 2) -2=-k 2+2. „„„„„11
故|TA +TB |2=(x 1+x 2-4) 2+(y 1+y 2) 2
16(k 2+1) 24k 216(k 2+2) 2-28(k 2
=+2) +8
(k 2+2) 2+(k 2+2) 2=(k 2+2) 2 =16-288k 2+2+(k 2+2) 2„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 令t =1k 2+2. 0≤k 2≤277 ∴16≤1k 2+2≤12，即 t ∈[716, 12]. ∴|TA +TB |2=f (t ) =8t 2-28t +16=8(t -72174) -2. 而 t ∈[716, 12]， ∴f (t ) ∈[4, 16932].„„„„„„„„„„„„„„13 ∴|+|∈[2, 28].„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14 10．已知椭圆方程：x 24+y 22=1，过点P （1，1）作椭圆的一条弦，使P 点平分该弦，则该弦所在的直线方程为 （ B ） A ．x -2y -3=0 B ．x +2y -3=0 C ．2x+y+3=0 D ．不存在 11． 已知F 为双曲线x 29-y 216=1的右焦点，P 是右支上一动点，定点A （9，2），则PA +PF 的最小值是 （ C ） A ．2 B ．365 C ．2-6 D ．2 12．设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆与双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足PF e 221+e 21⋅PF 2=0，则(e 2的值是 （C ） 1⋅e 2) A ．1 B ．12 C ．2 D ．不能确定 【示范高中】已知∆ABC 的两个顶点A 、B 分别为椭圆x 2+5y 2=5的左焦点和右焦点, 且三个内角A 、B 、C 满足关系式sin B -sin A =12sin C . （1）求线段AB 的长度； （2）求顶点C 的轨迹方程. 21. 【示范高中】
(1)解：将椭圆方程化为标准形式x 2
5+y 2=1. „„„2分
∴a 2=5, b 2=1，c 2=a 2-b 2=4.
则A (-2,0), B (2,0)，AB =4. „„„„ 4分
(2)解 sin B -sin A =1
2sin C , ∴由正弦定理得CA -CB =1
2AB =2
即动点C 到两定点A 、B 的距离之差为定值. „„„8分
∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并设其标准方程为x 2y 2
m 2-n 2=1,
则2m =2, 即m =1. 又 半焦距c =2,
∴n 2=c 2-m 2=3， „„„„„10分
∴所求的点C 的轨迹方程为x 2-y 2
3=1(x >1) . „„12分
（注：不写x 的范围扣
已知椭圆C 过点A (1,3
2) ，两个焦点为（－1，0），（1，0）.
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E , F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的
斜率为定值，并求出这个定值.
21．解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为19223
1+b 2+4b 2=1，解得b =3，b =-4（舍） 所以椭圆方程为x 2
4+y 2
3=1。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE 方程为：y =k (x -1) +3x 2y 2
2，代入4+3=1得
(3+4k 2) x 2+4k (3-2k ) x +4(3
2-k ) 2-12=0
设E (xy y 3
E , E ) , F (xF , F ) , 因为点A (1,2) 在椭圆上，所以
43-k 2
x F =) -1
3+4k 2 2 y 3E =kx E +2-k 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得 4(3x +k ) 2-12F =3+4k 2 y E =-kx E +32+k 所以直线EF 的斜率K F -y E -k (x F +x E ) +2EF =y x -x =k =1 F E x F -x E 2即直线EF 的斜率为定值，其值为12。 x 2y 2+椭圆C ：a 2b 2=1, (a >b >0) 的两个焦点分别为F 1(-c , 0), F 2(c , 0) , M 是椭圆上一点，且满足F 1∙F 2=0。 （1）求离心率e 的取值范围； （2）当离心率e 取得最小值时，点N( 0 , 3 )
到椭圆上的点的最远距离为。 (i)求此时椭圆C 的方程； (ii)设斜率为k (k ≠0) 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P （0
，）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由。 20．（12分）解：(1)、由几何性质知的取值范围为：≤e ＜1„„„„„„3分 (2)、(i) 当离心率e 取最小值时，椭圆方程可表示为+ = 1 。设H( x , y ) 是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y ≤b 若0＜b ＜3 ，则当y = - b 时，| NH |2有最大值b 2+6b+9 ，所以由b 2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) „„„„„„„5分 若b ≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b 2+18 ，所以由2b 2+18=50解得b 2=16 ∴所求椭圆方程为+ = 1„„„„„„7分 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x 0+2ky0=0；„„8分 又直线PQ ⊥直线l ，∴直线PQ 的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y 0= - x0- „„„② „„9分 由①②解得Q( - k , ) ，而点Q 必在椭圆的内部ks5u ∴ +
4+2=1两焦点分别为F 1、F 2, P 是椭圆在第一象限弧上的一点，
并满足 PF
1 PF 2=1, 过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.
（1）求P 点坐标；
（2）证明：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值；
（3）求△PAB 面积的最大值.
21. 解：（1
）由题可得F 1F 2(0,P 0(x 0y 0)(x 0>0, y 0>0),
则 PF
1=(-x y 00), PF 2=(-x 0, y 0),
∴ PF
1⋅ PF 2=x 220-(2-y 0) =1, ①
点P (x x 2
0y 20
0, y 0) 在曲线上，则2+4=1, ②
∴
由①②得x 0=1, y 0，则点P
的坐标为 „„„（4分）
（2）设直线PA 斜率K ，则直线PB 斜率-K ，设A (x A , y A ) ，
则直线PA :y =k (x -1)
⎧⎪⎨y =k (x -1) +⎪=4⇒(2+k 2) x 2+-2k 2) x +k 2--2=0 ⎩y 2+2x 2
22
由韦达定理：x A +x k -P =2k -2+k 2(x P =1) ∴x -2A =2+k 2
同理求得x (-k ) 2--k ) -2k 2+-2
B =2+(-k ) 2=2+k 2
K y B -y A AB =x x =
B -A
==综上，直线AB
„„„„（9分） （3）设AB
的直线方程：y =+m . ⎧y =+m ,
由⎪⎨x 2y 2⎪⎩2+4=1,
，得4x 2++m 2-4=0,
由∆=) 2-16(m 2-4) >0, 得-
的距离为d =,
则S 1 2AB ⋅d =PAB =
= ≤=
当且仅当m =±2∈(-时取等号， ∴△P AB
„„„„（14分） 18. （本小题满分12分）已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别为A 、B ，曲线E 是以椭圆中心为顶点，B 为焦点的抛物线. （1）求曲线E 的方程； （2
）直线l :y x -1) 与曲线E 交于不同的两点M 、N . 当 AM AN ≥17时，求直线l 的倾斜角θ的取值范围.
18. 解：（1）依题意得：A (-2,0), B (2,0),
∴曲线E 的方程为y =8x . „„„„„（4分） 2
⎧⎪y =k -1) 2 （2
）由⎨得：kx -(2k +8) x +k =0. 2⎪⎩y =8x
⎧∆=(2k +8) 2-4k 2>0 由⎨⇒k >0 „„„„„（7分） ⎩k >0
设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2), 则:x 1+x 2=
∴AM ⋅AN =(x 1+2, y 1) ⋅(x 2+2, y 2)
=(x 1+2)(x 2+2) +y 1y 2 2k +8, x 1x 2=1. k
=(k +1) x 1x 2+(2-k )(x 1+x 2) +4+k =16+1≥17 „„„„（10分） k
⎛π⎤∴0
感悟：-----------------------------------------------------