2013-2014学年《数学分析选讲》（2）答案及评分标准
一、用肯定语言叙述下列概念（每题3分，共12分） 1. 隐函数存在唯一性定理 ，若满足下列条件:
设f (x ) =
∑n (n +1) x
n =1
x ∞
∞
n
，x ∈(-1, 1) 。在收敛区域内逐项积分，得
∞
⎰
上连续 ;
x
x 2
(|x |
n
n
ⅰ> 函数
在以
为内点的某一区域D
'
ⅱ
>
; ( 通常称这一条件为初始条件 )
ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数
;
ⅳ
> .
则在点
的某邻域
(
)
D 内 , 方程
唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数
。
2. 收敛数列的定义
设{a n }为一个数列 ,a 为一个常数, 任意的正数 ε > 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
a n -a
收敛于a 则称数列 { an } 收敛于 , 又称 a 为数列 { an }的极限, 3. 二重积分的定义
定义: 设f (x , y )是定义在有界区域 D 上的函数 , J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任意分割T ，当它的细度T
∑n f (ξi
, ηi
)-J
，则称
i =1
∆σ
i
f (x , y )在D 上可积，则数J 称为函数f (x , y )在D 上的二重积分
二、计算题（每题6分，共18分）
1. 解：因lim a n +1n →∞a =lim
n +2
=1，且当x =±1时，级数发散。所以该级数n
n →∞n 的收敛区域为（-1，1）. 1
f (x ) =⎡⎢x 2⎤=2x
(|x |
⎦1-x 32. 解：⎰⎰
sin x
D
x =⎰π0dx ⎰x sin x 0x
dx
=⎰π
s i n x d x =2
3．解：由积分曲线的轮换对称性可知
⎰yds =
1
3⎰l
(x +y +z ) ds =0 l
(5分)
⎰(x 2+y 2) ds =23⎰l (x 2+y 2+z 2
) ds =23⎰l ds =4l
3
π 所以原式=4
3
π
三、辨析题(下列结论是否正确，若不正确，给出反例说明)((20分) 1. 对 证明：设
P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2
∂P ∂y =12xy -3y 2=∂Q ∂x
，所以 积分与路径无关 原式=
3
4
(6x ⋅22
-23
) dx +⎰(6⋅32y -3⋅3y 2) dy =(12x 2-8x ) 3
1+(27y 2-3y 3) 4 ⎰2=236
1
2
2. 错，反例：a n =(-1)n
⋅
1n
∞
3. 对，证明：由于
∑a
n
收敛，且{a n }单调，∴{a n }必同号，不妨设a n >0，
n =1
则必为单调减，由柯西收敛准则知：
∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，有0
ε
2
，
又当n >N 时，有u N +i ≥u n , i =1, 2, , n -N ，从而当n >N 时，
0
n ≤u N +1+u N +2+ +u n
2
故当n >2N 时, 有
0
n 2u ≤(n -N )u ε
n n
∴02N ), n lim →∞
nu n =0.
同理可证a n
⎧(n 为整数平方时)
4. 反例：a ⎪1
⎪n
n =⎨
⎪1
⎪⎩n 2
(n 不为整数平方时)
四、证明题(每题10分，共50分) 1.. 证明：由
sin nx 1n 3≤n 3，而∑1
sin nx n 3收敛，由M 判别法∑n
3
在(-∞, +∞) 上一致收敛。
'
因⎛ sin nx ⎫⎝n 3⎪⎭
=cos nx n 2，而c o s nx n 2≤1n 2，由∑1c o s nx n 2
收敛知∑n 2在(-∞, +∞) 上一致收敛。 又cos nx n 2（n=1,2……）在(-∞, +∞) 上连续，从而，f (x ) 具有连续的导数，2
从而f (x ) 也连续。
2. 证明：设
→
→n =(cosα, cos β, cos γ), α
=(cosα' , cos β' , cos γ' （)
α→
的单位向量） 则cos(→n , α→
) =→
→n ∙α0
=cos αcos α' +cos βcos β' +cos γcos γ'
cos(n →, a →
) dS =(cosαcos α' +cos βcos β' +cos γcos γ' ) dS
∑
∑
由高斯公式
cos(n →, a →
) dS =±⎰⎰⎰[
∂∂x (cosα' ) +∂∂y (cosβ' ) +∂
∑
V
∂z
(cosγ' )]dS =0
3. 证明：曲面上点(x , y , z ) 处的法线方向向量
S ={a f '-1, b f ', c }
平面法向量n ={bc , -ac , b }
S ⋅n =0
即 S ⊥n ，故法线平行于平面。
4. 证 因为 e -tx
sin x ≤e -tx ≤e -αx ，(α≤t
而反常积分
⎰
+∞
e -αx dx 收敛，
所以由M 判别法，积分
⎰
+∞
-tx 0
e sin xdx 在α≤t ≤+∞(α>0) 上一致收敛.
5.
证明：由 ⎧⎨f x =2Ax +2By +2D =0
，得驻点P (⎩f y
=2Bx +2Cy +2E =0x 0, y 0) 其中x BE -CD BD -AE 0=AC -B 2, y 0=AC -B 2
D =
f xx f xy 2B f yx
f =
2A yy
2B 2C
D (P ) =4(AC -B 2) >0
, f xx (P ) =2A >0
故函数f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 处取极小值f (x 0, y 0) 。
3
2013-2014学年《数学分析选讲》（2）答案及评分标准
一、用肯定语言叙述下列概念（每题3分，共12分） 1. 隐函数存在唯一性定理 ，若满足下列条件:
设f (x ) =
∑n (n +1) x
n =1
x ∞
∞
n
，x ∈(-1, 1) 。在收敛区域内逐项积分，得
∞
⎰
上连续 ;
x
x 2
(|x |
n
n
ⅰ> 函数
在以
为内点的某一区域D
'
ⅱ
>
; ( 通常称这一条件为初始条件 )
ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数
;
ⅳ
> .
则在点
的某邻域
(
)
D 内 , 方程
唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数
。
2. 收敛数列的定义
设{a n }为一个数列 ,a 为一个常数, 任意的正数 ε > 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
a n -a
收敛于a 则称数列 { an } 收敛于 , 又称 a 为数列 { an }的极限, 3. 二重积分的定义
定义: 设f (x , y )是定义在有界区域 D 上的函数 , J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任意分割T ，当它的细度T
∑n f (ξi
, ηi
)-J
，则称
i =1
∆σ
i
f (x , y )在D 上可积，则数J 称为函数f (x , y )在D 上的二重积分
二、计算题（每题6分，共18分）
1. 解：因lim a n +1n →∞a =lim
n +2
=1，且当x =±1时，级数发散。所以该级数n
n →∞n 的收敛区域为（-1，1）. 1
f (x ) =⎡⎢x 2⎤=2x
(|x |
⎦1-x 32. 解：⎰⎰
sin x
D
x =⎰π0dx ⎰x sin x 0x
dx
=⎰π
s i n x d x =2
3．解：由积分曲线的轮换对称性可知
⎰yds =
1
3⎰l
(x +y +z ) ds =0 l
(5分)
⎰(x 2+y 2) ds =23⎰l (x 2+y 2+z 2
) ds =23⎰l ds =4l
3
π 所以原式=4
3
π
三、辨析题(下列结论是否正确，若不正确，给出反例说明)((20分) 1. 对 证明：设
P =6xy 2-y 3, Q =6x 2y -3xy 2
∂P ∂y =12xy -3y 2=∂Q ∂x
，所以 积分与路径无关 原式=
3
4
(6x ⋅22
-23
) dx +⎰(6⋅32y -3⋅3y 2) dy =(12x 2-8x ) 3
1+(27y 2-3y 3) 4 ⎰2=236
1
2
2. 错，反例：a n =(-1)n
⋅
1n
∞
3. 对，证明：由于
∑a
n
收敛，且{a n }单调，∴{a n }必同号，不妨设a n >0，
n =1
则必为单调减，由柯西收敛准则知：
∀ε>0, ∃N >0, ∀n >N ，有0
ε
2
，
又当n >N 时，有u N +i ≥u n , i =1, 2, , n -N ，从而当n >N 时，
0
n ≤u N +1+u N +2+ +u n
2
故当n >2N 时, 有
0
n 2u ≤(n -N )u ε
n n
∴02N ), n lim →∞
nu n =0.
同理可证a n
⎧(n 为整数平方时)
4. 反例：a ⎪1
⎪n
n =⎨
⎪1
⎪⎩n 2
(n 不为整数平方时)
四、证明题(每题10分，共50分) 1.. 证明：由
sin nx 1n 3≤n 3，而∑1
sin nx n 3收敛，由M 判别法∑n
3
在(-∞, +∞) 上一致收敛。
'
因⎛ sin nx ⎫⎝n 3⎪⎭
=cos nx n 2，而c o s nx n 2≤1n 2，由∑1c o s nx n 2
收敛知∑n 2在(-∞, +∞) 上一致收敛。 又cos nx n 2（n=1,2……）在(-∞, +∞) 上连续，从而，f (x ) 具有连续的导数，2
从而f (x ) 也连续。
2. 证明：设
→
→n =(cosα, cos β, cos γ), α
=(cosα' , cos β' , cos γ' （)
α→
的单位向量） 则cos(→n , α→
) =→
→n ∙α0
=cos αcos α' +cos βcos β' +cos γcos γ'
cos(n →, a →
) dS =(cosαcos α' +cos βcos β' +cos γcos γ' ) dS
∑
∑
由高斯公式
cos(n →, a →
) dS =±⎰⎰⎰[
∂∂x (cosα' ) +∂∂y (cosβ' ) +∂
∑
V
∂z
(cosγ' )]dS =0
3. 证明：曲面上点(x , y , z ) 处的法线方向向量
S ={a f '-1, b f ', c }
平面法向量n ={bc , -ac , b }
S ⋅n =0
即 S ⊥n ，故法线平行于平面。
4. 证 因为 e -tx
sin x ≤e -tx ≤e -αx ，(α≤t
而反常积分
⎰
+∞
e -αx dx 收敛，
所以由M 判别法，积分
⎰
+∞
-tx 0
e sin xdx 在α≤t ≤+∞(α>0) 上一致收敛.
5.
证明：由 ⎧⎨f x =2Ax +2By +2D =0
，得驻点P (⎩f y
=2Bx +2Cy +2E =0x 0, y 0) 其中x BE -CD BD -AE 0=AC -B 2, y 0=AC -B 2
D =
f xx f xy 2B f yx
f =
2A yy
2B 2C
D (P ) =4(AC -B 2) >0
, f xx (P ) =2A >0
故函数f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 处取极小值f (x 0, y 0) 。
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