方波的合成与分解

1

综合性实验报告

题目：方波的合成与分解

实验课程： 信号与系统 学 号： 姓 名： 班 级：指导教师：

方波的分解与合成

一、实验类型

综合性实验

二、实验目的和要求

1．观察方波信号的分解。

2．用同时分析法观测方波信号的频谱，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。

3．掌握带通滤波器的有关特性测试方法。 4．观测基波和其谐波的合成。

三、实验条件

实验仪器

1．20M双踪示波器一台。 2．信号与系统实验箱。

四、实验原理

1. 信号的频谱与测量

信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。

例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数

(t,t+T)求出它的各次分量，在区间11内表示为：

∞

f(t)=a+∑(acosnΩt+bsinnΩt)

0nn

n=1

即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。

（c）

图7-1 信号的时域特性和频域特性

信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图7-1来形象地表示。其中图7-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图7-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图7-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为相位频谱。在本实验中只研究信号振幅频谱。周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。测量时利用了这些性质。从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。测量方法有同时分析法和顺序分析法。

同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。当被测信号同时加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。在本实验中采用同时分析法进行频谱分析，如图7-2所示。

P809

信号分解 信号合成 图7-2 用同时分析法进行频谱分析

其中，P801出来的是基频信号，即基波；P802出来的是二次谐波；P803的是三

次谐波，依此类推。 2. 矩形脉冲信号的频谱

一个幅度为E，脉冲宽度为τ，重复周期为T的矩形脉冲信号，如图10-3所示。

T

图7-3 周期性矩形脉冲信号

其傅里叶级数为：

Eτ2Eτnnπτ

f(t)=+)cosnωt∑Sa(

TTi=1T

该信号第n次谐波的振幅为：

an=

2Eτnτπ2Eτsin(nτπ/T)Sa()=TTTnτπ/T

由上式可见第n次谐波的振幅与E、T、τ有关。 3. 信号的分解提取

进行信号分解和提取是滤波系统的一项基本任务。当我们仅对信号的某些分量感兴趣时，可以利用选频滤波器，提取其中有用的部分，而将其它部分滤去。

目前DSP数字信号处理系统构成的数字滤波器已基本取代了传统的模拟滤波器，数字滤波器与模拟滤波器相比具有许多优点。用DSP构成的数字滤波器具有灵活性高、精度高和稳定性高，体积小、性能高，便于实现等优点。因此在这里我们选用了数字滤波器来实现信号的分解。

在数字滤波器模块上，选用了有8路输出的D/A转换器TLV5608（U502），因此设计了8个滤波器（一个低通、六个带通、一个高通）将复杂信号分解提取某几次谐波。

分解输出的8路信号可以用示波器观察，测量点分别是TP801、TP802、TP803、TP804、 TP805、TP806、TP807 、TP808。

矩形脉冲信号通过8路滤波器输出的各次谐波分量可通过一个加法器，合成还原为原输入的矩形脉冲信号，合成后的波形可以用示波器在观测点TP809进行观测。如果滤波器设计正确，则分解前的原始信号（观测TP501）和合成后的信号应该相同。信号波形的合成电路图如图7-4所示。

图7-4 信号合成电路图

五、实验步骤

分别对方波进行分解与合成，并记录相关数据与波形。 （一）矩形脉冲信号的分解

1．将J701置于“方波”位置，连接P702与P101；

2．按下选择键SW101，此时在数码管SMG101上将显示数字，继续按下按钮，直到显示数字“5”。

3．矩形脉冲信号的脉冲幅度E和频率f按要求给出，改变信号的脉宽τ，测量不同τ 时信号频谱中各分量的大小。

示波器可分别在TP801、TP802、TP803、TP804、TP805、TP806、TP807和TP808上观测信号各次谐波的波形。

根据给定的数值进行实验，并记录实验获得的数据填入表中。

注意：在调节输入信号的参数值（频率、幅度等）时，需在P702与P101连接后，用示波器在TP101上观测调节。S704按钮为占空比选择按钮，每按下一次可以选择不同的占空比输出。

τ

（1） T

=：τ的数值按要求调整，测得的信号频谱中各分量的大小，其数据

按表的要求记录。

τ

表7-1 T

=2

的矩形脉冲信号的频谱

（二）矩形脉冲信号的各次谐波之间的合成

τ

1．输入的矩形脉冲信号f=4kHz，T信号），E(V)=4V。

=2

τ

（T

=2

的矩形脉冲信号又称为方波

2．电路中用8根导线分别控制各路滤波器输出的谐波是否参加信号合成，用导线把P801与P809连接起来，则基波参于信号的合成。用导线把P802与P810连接起来，则二次谐波参于信号的合成，以此类推，若8根导线依次连接P801－P809、P802－P810、 P803－P811、P804－P812、P805－P813、P806－P814、P807－P815、P808－P816，则各次谐波全部参于信号合成。另外可以选择多种组合进行波形合成，例如可选择基波和三次谐波的合成；可选择基波、三次谐波和五次谐波的合成等等。

3．按表7-2的要求，在输出端观察和记录合成结果，调节电位器W805可改变合成后信号的幅度。

表7-2 矩形脉冲信号的各次谐波之间的合成

六、数据整理、分析

从理论角度分析计算相应的方波分解与合成的波形与幅值等相关参数填至表7-1，与实验数据对比，分析误差：导线的老化、示波器的读数、示波器的钩子接触等问题，都可能造成实际与理论数值有少许误差。合成波形所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它越接近与原波形信号。在间断点附近，随着所含有的谐波次数的增加，合成波形的波身越陡峭，波峰越靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。在傅立叶级数的项数取得很大时，间断点出尖峰下的面积非常小以趋近于零，因而在某种意义上合成波形同原波形的真值之间没有区别。

七、结论

1．考虑实验中，影响带通滤波器中心频率和带宽的主要因素是什么？

中心频率：滤波器通带的频率f0，一般取f0=（f1+f2）/2，f1、f2为带通或带阻滤波

信号与系统设计性实验 9 方波的分解与合成

器左、右相对下降1dB或3dB边频点。窄带滤波器常以插损最小点为中心频率计算通带带宽。

通带带宽：指需要通过的频谱宽度，BWxdB=（f2-f1）。f1、f2为以中心频率f0处插入损耗为基准，下降X（dB）处对应的左、右边频点。通常用X=3、1、0.5 即BW3dB、BW1dB、BW0.5dB 表征滤波器通带带宽参数。分数带宽（fractional bandwidth）=BW3dB/f0×100[%]，也常用来表征滤波器通带带宽。 影响主要因素：

1) 滤波器的输入与输出之间没有隔离，容易发生耦合； 2) 滤波器的接地阻抗不是很低，削弱了高频旁路效果；

3) 滤波器与机箱之间的一段连线会产生两种不良作用： 一个是机箱内部空间的电

磁干扰会直接感应到这段线上，沿着电缆传出机箱，借助电缆辐射，使滤波器失效；另一个是外界干扰在被板上滤波器滤波之前，借助这段线产生辐射，或直接与线路板上的电路发生耦合，造成敏感度问题。

2．什么是吉布斯现象，它的具体的表现是什么？

一个理想的滤波器应该有一个完全平坦的通带，例如在通带内没有增益或者衰减，

并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。实际上，并不存在理想的带通滤波器。滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度dB来表示。通常，滤波器的设计尽量保证滚降范围越窄越好，这样滤波器的性能就与设计更加接近。然而，随着滚降范围越来越小，通带就变得不再平坦—开始出现“波纹”。这种现象在通带的边缘处尤其明显，这种效应称为吉布斯现象。

吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能够观察的现象。信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，吉布斯现象越突出；当截取傅里叶级数项数越多，跳变峰越向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小。

3.分析相位、幅值在波形合成中的作用。

相位对单个波形来说只影响波的位置，即改变初相位能使波在时域坐标轴上左右移动。在波的叠加过程中，波的相位则会使得叠加波形的形状发生很大改变，比如两个幅值频率相等而相位角相差PI的正弦波叠加之后波形为一条直线，相位相差2PI的正弦波叠加则不改变波的频率，而是增加一倍幅值。

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综合性实验报告

题目：方波的合成与分解

实验课程： 信号与系统 学 号： 姓 名： 班 级：指导教师：

方波的分解与合成

一、实验类型

综合性实验

二、实验目的和要求

1．观察方波信号的分解。

2．用同时分析法观测方波信号的频谱，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。

3．掌握带通滤波器的有关特性测试方法。 4．观测基波和其谐波的合成。

三、实验条件

实验仪器

1．20M双踪示波器一台。 2．信号与系统实验箱。

四、实验原理

1. 信号的频谱与测量

信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。

例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数

(t,t+T)求出它的各次分量，在区间11内表示为：

∞

f(t)=a+∑(acosnΩt+bsinnΩt)

0nn

n=1

即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。

（c）

图7-1 信号的时域特性和频域特性

信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图7-1来形象地表示。其中图7-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图7-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图7-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为相位频谱。在本实验中只研究信号振幅频谱。周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。测量时利用了这些性质。从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。测量方法有同时分析法和顺序分析法。

同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。当被测信号同时加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。在本实验中采用同时分析法进行频谱分析，如图7-2所示。

P809

信号分解 信号合成 图7-2 用同时分析法进行频谱分析

其中，P801出来的是基频信号，即基波；P802出来的是二次谐波；P803的是三

次谐波，依此类推。 2. 矩形脉冲信号的频谱

一个幅度为E，脉冲宽度为τ，重复周期为T的矩形脉冲信号，如图10-3所示。

T

图7-3 周期性矩形脉冲信号

其傅里叶级数为：

Eτ2Eτnnπτ

f(t)=+)cosnωt∑Sa(

TTi=1T

该信号第n次谐波的振幅为：

an=

2Eτnτπ2Eτsin(nτπ/T)Sa()=TTTnτπ/T

由上式可见第n次谐波的振幅与E、T、τ有关。 3. 信号的分解提取

进行信号分解和提取是滤波系统的一项基本任务。当我们仅对信号的某些分量感兴趣时，可以利用选频滤波器，提取其中有用的部分，而将其它部分滤去。

目前DSP数字信号处理系统构成的数字滤波器已基本取代了传统的模拟滤波器，数字滤波器与模拟滤波器相比具有许多优点。用DSP构成的数字滤波器具有灵活性高、精度高和稳定性高，体积小、性能高，便于实现等优点。因此在这里我们选用了数字滤波器来实现信号的分解。

在数字滤波器模块上，选用了有8路输出的D/A转换器TLV5608（U502），因此设计了8个滤波器（一个低通、六个带通、一个高通）将复杂信号分解提取某几次谐波。

分解输出的8路信号可以用示波器观察，测量点分别是TP801、TP802、TP803、TP804、 TP805、TP806、TP807 、TP808。

矩形脉冲信号通过8路滤波器输出的各次谐波分量可通过一个加法器，合成还原为原输入的矩形脉冲信号，合成后的波形可以用示波器在观测点TP809进行观测。如果滤波器设计正确，则分解前的原始信号（观测TP501）和合成后的信号应该相同。信号波形的合成电路图如图7-4所示。

图7-4 信号合成电路图

五、实验步骤

分别对方波进行分解与合成，并记录相关数据与波形。 （一）矩形脉冲信号的分解

1．将J701置于“方波”位置，连接P702与P101；

2．按下选择键SW101，此时在数码管SMG101上将显示数字，继续按下按钮，直到显示数字“5”。

3．矩形脉冲信号的脉冲幅度E和频率f按要求给出，改变信号的脉宽τ，测量不同τ 时信号频谱中各分量的大小。

示波器可分别在TP801、TP802、TP803、TP804、TP805、TP806、TP807和TP808上观测信号各次谐波的波形。

根据给定的数值进行实验，并记录实验获得的数据填入表中。

注意：在调节输入信号的参数值（频率、幅度等）时，需在P702与P101连接后，用示波器在TP101上观测调节。S704按钮为占空比选择按钮，每按下一次可以选择不同的占空比输出。

τ

（1） T

=：τ的数值按要求调整，测得的信号频谱中各分量的大小，其数据

按表的要求记录。

τ

表7-1 T

=2

的矩形脉冲信号的频谱

（二）矩形脉冲信号的各次谐波之间的合成

τ

1．输入的矩形脉冲信号f=4kHz，T信号），E(V)=4V。

=2

τ

（T

=2

的矩形脉冲信号又称为方波

2．电路中用8根导线分别控制各路滤波器输出的谐波是否参加信号合成，用导线把P801与P809连接起来，则基波参于信号的合成。用导线把P802与P810连接起来，则二次谐波参于信号的合成，以此类推，若8根导线依次连接P801－P809、P802－P810、 P803－P811、P804－P812、P805－P813、P806－P814、P807－P815、P808－P816，则各次谐波全部参于信号合成。另外可以选择多种组合进行波形合成，例如可选择基波和三次谐波的合成；可选择基波、三次谐波和五次谐波的合成等等。

3．按表7-2的要求，在输出端观察和记录合成结果，调节电位器W805可改变合成后信号的幅度。

表7-2 矩形脉冲信号的各次谐波之间的合成

六、数据整理、分析

从理论角度分析计算相应的方波分解与合成的波形与幅值等相关参数填至表7-1，与实验数据对比，分析误差：导线的老化、示波器的读数、示波器的钩子接触等问题，都可能造成实际与理论数值有少许误差。合成波形所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它越接近与原波形信号。在间断点附近，随着所含有的谐波次数的增加，合成波形的波身越陡峭，波峰越靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。在傅立叶级数的项数取得很大时，间断点出尖峰下的面积非常小以趋近于零，因而在某种意义上合成波形同原波形的真值之间没有区别。

七、结论

1．考虑实验中，影响带通滤波器中心频率和带宽的主要因素是什么？

中心频率：滤波器通带的频率f0，一般取f0=（f1+f2）/2，f1、f2为带通或带阻滤波

信号与系统设计性实验 9 方波的分解与合成

器左、右相对下降1dB或3dB边频点。窄带滤波器常以插损最小点为中心频率计算通带带宽。

通带带宽：指需要通过的频谱宽度，BWxdB=（f2-f1）。f1、f2为以中心频率f0处插入损耗为基准，下降X（dB）处对应的左、右边频点。通常用X=3、1、0.5 即BW3dB、BW1dB、BW0.5dB 表征滤波器通带带宽参数。分数带宽（fractional bandwidth）=BW3dB/f0×100[%]，也常用来表征滤波器通带带宽。 影响主要因素：

1) 滤波器的输入与输出之间没有隔离，容易发生耦合； 2) 滤波器的接地阻抗不是很低，削弱了高频旁路效果；

3) 滤波器与机箱之间的一段连线会产生两种不良作用： 一个是机箱内部空间的电

磁干扰会直接感应到这段线上，沿着电缆传出机箱，借助电缆辐射，使滤波器失效；另一个是外界干扰在被板上滤波器滤波之前，借助这段线产生辐射，或直接与线路板上的电路发生耦合，造成敏感度问题。

2．什么是吉布斯现象，它的具体的表现是什么？

一个理想的滤波器应该有一个完全平坦的通带，例如在通带内没有增益或者衰减，

并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。实际上，并不存在理想的带通滤波器。滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度dB来表示。通常，滤波器的设计尽量保证滚降范围越窄越好，这样滤波器的性能就与设计更加接近。然而，随着滚降范围越来越小，通带就变得不再平坦—开始出现“波纹”。这种现象在通带的边缘处尤其明显，这种效应称为吉布斯现象。

吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能够观察的现象。信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，吉布斯现象越突出；当截取傅里叶级数项数越多，跳变峰越向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小。

3.分析相位、幅值在波形合成中的作用。

相位对单个波形来说只影响波的位置，即改变初相位能使波在时域坐标轴上左右移动。在波的叠加过程中，波的相位则会使得叠加波形的形状发生很大改变，比如两个幅值频率相等而相位角相差PI的正弦波叠加之后波形为一条直线，相位相差2PI的正弦波叠加则不改变波的频率，而是增加一倍幅值。