问题诊疗室
加、减竖式如何教
□王海娇
“竖式”实质上是记录计算过程的一种书写形式，它作为纸笔计算的工具几乎贯穿于小学数学学习的始终，加、减计算作为计算学习的起始，对其竖式的认识无疑具有重要的基础作用。
一、竖式之难
郜舒竹
进位的加法竖式；第三是需要进位的加法竖式。
（一）初步认识竖式的书写形式
竖式的初步认识可以从“一位数加一位数”开始，其目的在于熟悉竖式的书写形式，为今后的学习低龄学生在学习加法运算之初，一般是通奠定基础。过数具体的物体如小棒得到答案。在此过程中，就可以进由行竖式的渗透。
图3
在实际教学中发现，竖式计算的错误率极高，这反映出竖式计算的学习对学生来说是困难的。究其原因主要有两方面，第一是竖式计算过程中存在着“进位”或“退位”这样隐蔽的诸如
因素，使得竖式计算过程并不直的“退位”。
竖式计算之难的第二个原因是学生在学习竖式计算操作程序的时候，对于理解竖式计算所应有的基础知识并不熟悉，这里的基础知识主要包括“位值原理”和运算律，也就是通常所说的“算理”。以12×25为例，理解其竖式（见图2）所需要的基础
12×
2560
2430
0图2图1
于学生在书桌上摆小棒，通常会出现两种情况，一种是将两堆小棒横着放，另一种是将两堆小棒竖着放。对于前者可以引导学生列出横式，而对于后者就可以引导学生写出简单的竖式（见图3）。
此时的竖式学习，学生只需要了解竖式的书写形式，与横式的认识并没有本质的区别，也不会给学生的学习增加额外的困难。
（二）不需进位的加法竖式
观。图1案例中可以看出学生并不理解减法竖式中
两位数加法的教学是在学生理解两位数的基础之上进行的。例如12，十位上的1代表的是1个10，个位上的2代表的是2个1，用小棒表示就是1捆和2根。学生通过摆小棒学
图4
“12＝10＋2”和“25＝20＋5”。知识包括位值原理，即
除此之外，要想真正理解这个竖式计算的过程，）×（20＋5）的计算方法。而这样的还需要知道（10＋2内容牵涉到分配律、交换律、结合律的综合运用，属于初中数学的内容，已经超出了小学中低年级学生的认识水平。
由此，可以总结出在中低年级进行竖式教学的基本原则，就是将竖式中隐蔽的因素显性化，将位值原理和运算律直观化。
二、加法竖式的教法
习20以内的两位数加一位数且不需要进位的加法时，仍会出现上面提及的两种情况，横着摆或是竖着摆，此时值得注意的是，在引导学生书写竖式时，应注意通过摆放小棒的位置帮助学生理解竖式中“数位对齐”的道理，渗透位值原理在竖式计算中的作）。用（见图4
在此之后，学生就可以认识两位数加两位数的竖式，与前面的情况并没有本质上的差别，完全可以在教师的引导下，由学生自主完成。以12＋23为例，12即为一捆小棒和零散的2根，23则是2捆小棒和零
学生对某一知识的理解是逐步深入、循序渐进的过程，不同的学习阶段对知识的理解有不同的水平。对于加法竖式的学习大致可以分为三个水平，第一是初步认识加法竖式的书写形式；第二是不需要
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散的3根。此时，将一捆小棒和两捆小棒上下对齐，零散的2根和
图5
后，学习减法时会容易联系到加法竖式，如表1。教师通过加减法横式的关系，可以引导学生推出加减法竖式的关系，从而
竖式横式
表1
加法减法
3＋2＝5
3
＋25
5－2＝3
5
－23
3根小棒上下对齐，这
样可以一目了然地看出一共有多少根小棒（见图5）。
（三）进位的加法竖式
至此，学生不仅熟悉了加法竖式的书写形式，而
且对于加法竖式算法的程序也有了一定程度的了解，所以，就可
图6
也可以利用加法竖式进行减法竖式的学习。
（二）不需退位的减法竖式
这一阶段的学习目的是让学生初步学会减法竖式的操作程序，理解数
图8
以开始进位加法竖式
以16＋15为例，仍然采用学生已经熟悉的摆的学习了。
小棒的方式（如图6）。
整捆的小棒相加为2捆，零散的小棒相加为11根，其中的10根又可以组成一捆，此时整捆的小棒就有3捆，最后的结果为3捆零1根。这样，就将竖式中隐蔽的进位显性化了。
以上即为学生学习加法竖式的过程，不仅由浅入深，层层递进，而且将学生的直观操作与抽象的竖式联系起来了。在此基础上，学生就应当可以将加法竖式计算顺利地迁移到三位数或多位数计算中了。
三、减法竖式的教法
以25－12为例，如图8，整捆的小棒位对齐的道理。
上、下对齐，零散的小棒上、下对齐，通过竖式将操作过程呈现出来，在理解的基础上再抽象出一般的标这一过程与加法不进位的竖式学习准的减法竖式。
有相似之处，可以类比进行学习。
（三）退位的减法竖式
退位减法的难点在于理解“借1”的含义。有了以上摆放小棒与竖式书写相关联的经验，就可以借助小棒帮助理解了。在图9中显示出如何借助摆放小棒来理解
“33－17”的竖式计算的过程。
图9
减法竖式的学习与加法有许多类似之处，鉴于加、减法的互逆关系，可以将两者进行比较学习。
（一）减法竖式的初步认识
同加法类似，在学生刚开始学习减法时，就可以开始渗透减法竖式的书写形式。根据学生摆小棒的
操作，导出减法的竖式。但是与加法的不
图7
整捆的小棒和零散的小棒分别对齐，发现零散这的小棒不够减，因此需要拆开一捆小棒，即10根，就是借位中的“1”，代表的是1个十或10个一。此时位值原理的作用就体现出来了，向十位借“1”，借来的是1个十，向百位借“1”，借来的是1个百，这样依“借1”的含义了。次类推，就可以逐步理解
综上，在应用“摆小棒”的方法进行加、减竖式计算教学时应当注意两点：第一是要注意小棒的摆放方式与竖式书写形式之间的联系；第二是要突出“数位对齐”以及
“进位、
退位
”的道理，也就是算理。以上的教法未必是最好的，期望成为有效应用学具、教具研究的引玉之砖。
（北京首都师范大学初等教育学院
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同之处在于，学生用
小棒进行减法操作时，是直接从一堆小棒中拿走一些，剩下的即为结果（见图7）。
横着摆放小棒，引导学生列出横式；再竖着摆放小棒，引导学生写出竖式。这样，学生对减法竖式的书写形式就有了直观的认识，为深入学习减法竖式打下基础。
学生对于新知识的理解，往往是在他们将要学习的新知识与已有知识和经验建立联系的时候。由于加法与减法互为逆运算，学生在认识了加法竖式
100048）
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“竖式”实质上是记录计算过程的一种书写形式，它作为纸笔计算的工具几乎贯穿于小学数学学习的始终，加、减计算作为计算学习的起始，对其竖式的认识无疑具有重要的基础作用。
一、竖式之难
郜舒竹
进位的加法竖式；第三是需要进位的加法竖式。
（一）初步认识竖式的书写形式
竖式的初步认识可以从“一位数加一位数”开始，其目的在于熟悉竖式的书写形式，为今后的学习低龄学生在学习加法运算之初，一般是通奠定基础。过数具体的物体如小棒得到答案。在此过程中，就可以进由行竖式的渗透。
图3
在实际教学中发现，竖式计算的错误率极高，这反映出竖式计算的学习对学生来说是困难的。究其原因主要有两方面，第一是竖式计算过程中存在着“进位”或“退位”这样隐蔽的诸如
因素，使得竖式计算过程并不直的“退位”。
竖式计算之难的第二个原因是学生在学习竖式计算操作程序的时候，对于理解竖式计算所应有的基础知识并不熟悉，这里的基础知识主要包括“位值原理”和运算律，也就是通常所说的“算理”。以12×25为例，理解其竖式（见图2）所需要的基础
12×
2560
2430
0图2图1
于学生在书桌上摆小棒，通常会出现两种情况，一种是将两堆小棒横着放，另一种是将两堆小棒竖着放。对于前者可以引导学生列出横式，而对于后者就可以引导学生写出简单的竖式（见图3）。
此时的竖式学习，学生只需要了解竖式的书写形式，与横式的认识并没有本质的区别，也不会给学生的学习增加额外的困难。
（二）不需进位的加法竖式
观。图1案例中可以看出学生并不理解减法竖式中
两位数加法的教学是在学生理解两位数的基础之上进行的。例如12，十位上的1代表的是1个10，个位上的2代表的是2个1，用小棒表示就是1捆和2根。学生通过摆小棒学
图4
“12＝10＋2”和“25＝20＋5”。知识包括位值原理，即
除此之外，要想真正理解这个竖式计算的过程，）×（20＋5）的计算方法。而这样的还需要知道（10＋2内容牵涉到分配律、交换律、结合律的综合运用，属于初中数学的内容，已经超出了小学中低年级学生的认识水平。
由此，可以总结出在中低年级进行竖式教学的基本原则，就是将竖式中隐蔽的因素显性化，将位值原理和运算律直观化。
二、加法竖式的教法
习20以内的两位数加一位数且不需要进位的加法时，仍会出现上面提及的两种情况，横着摆或是竖着摆，此时值得注意的是，在引导学生书写竖式时，应注意通过摆放小棒的位置帮助学生理解竖式中“数位对齐”的道理，渗透位值原理在竖式计算中的作）。用（见图4
在此之后，学生就可以认识两位数加两位数的竖式，与前面的情况并没有本质上的差别，完全可以在教师的引导下，由学生自主完成。以12＋23为例，12即为一捆小棒和零散的2根，23则是2捆小棒和零
学生对某一知识的理解是逐步深入、循序渐进的过程，不同的学习阶段对知识的理解有不同的水平。对于加法竖式的学习大致可以分为三个水平，第一是初步认识加法竖式的书写形式；第二是不需要
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散的3根。此时，将一捆小棒和两捆小棒上下对齐，零散的2根和
图5
后，学习减法时会容易联系到加法竖式，如表1。教师通过加减法横式的关系，可以引导学生推出加减法竖式的关系，从而
竖式横式
表1
加法减法
3＋2＝5
3
＋25
5－2＝3
5
－23
3根小棒上下对齐，这
样可以一目了然地看出一共有多少根小棒（见图5）。
（三）进位的加法竖式
至此，学生不仅熟悉了加法竖式的书写形式，而
且对于加法竖式算法的程序也有了一定程度的了解，所以，就可
图6
也可以利用加法竖式进行减法竖式的学习。
（二）不需退位的减法竖式
这一阶段的学习目的是让学生初步学会减法竖式的操作程序，理解数
图8
以开始进位加法竖式
以16＋15为例，仍然采用学生已经熟悉的摆的学习了。
小棒的方式（如图6）。
整捆的小棒相加为2捆，零散的小棒相加为11根，其中的10根又可以组成一捆，此时整捆的小棒就有3捆，最后的结果为3捆零1根。这样，就将竖式中隐蔽的进位显性化了。
以上即为学生学习加法竖式的过程，不仅由浅入深，层层递进，而且将学生的直观操作与抽象的竖式联系起来了。在此基础上，学生就应当可以将加法竖式计算顺利地迁移到三位数或多位数计算中了。
三、减法竖式的教法
以25－12为例，如图8，整捆的小棒位对齐的道理。
上、下对齐，零散的小棒上、下对齐，通过竖式将操作过程呈现出来，在理解的基础上再抽象出一般的标这一过程与加法不进位的竖式学习准的减法竖式。
有相似之处，可以类比进行学习。
（三）退位的减法竖式
退位减法的难点在于理解“借1”的含义。有了以上摆放小棒与竖式书写相关联的经验，就可以借助小棒帮助理解了。在图9中显示出如何借助摆放小棒来理解
“33－17”的竖式计算的过程。
图9
减法竖式的学习与加法有许多类似之处，鉴于加、减法的互逆关系，可以将两者进行比较学习。
（一）减法竖式的初步认识
同加法类似，在学生刚开始学习减法时，就可以开始渗透减法竖式的书写形式。根据学生摆小棒的
操作，导出减法的竖式。但是与加法的不
图7
整捆的小棒和零散的小棒分别对齐，发现零散这的小棒不够减，因此需要拆开一捆小棒，即10根，就是借位中的“1”，代表的是1个十或10个一。此时位值原理的作用就体现出来了，向十位借“1”，借来的是1个十，向百位借“1”，借来的是1个百，这样依“借1”的含义了。次类推，就可以逐步理解
综上，在应用“摆小棒”的方法进行加、减竖式计算教学时应当注意两点：第一是要注意小棒的摆放方式与竖式书写形式之间的联系；第二是要突出“数位对齐”以及
“进位、
退位
”的道理，也就是算理。以上的教法未必是最好的，期望成为有效应用学具、教具研究的引玉之砖。
（北京首都师范大学初等教育学院
JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN
同之处在于，学生用
小棒进行减法操作时，是直接从一堆小棒中拿走一些，剩下的即为结果（见图7）。
横着摆放小棒，引导学生列出横式；再竖着摆放小棒，引导学生写出竖式。这样，学生对减法竖式的书写形式就有了直观的认识，为深入学习减法竖式打下基础。
学生对于新知识的理解，往往是在他们将要学习的新知识与已有知识和经验建立联系的时候。由于加法与减法互为逆运算，学生在认识了加法竖式
100048）
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