高中文科数学平面向量知识点整1

高中文科数学平面向量知识点整理

1．概念

向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：a=-b⇔b=-a⇔a +b=0

向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. 向量的

模：设OA =a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |.

2 22

|a |=a =|a |=x +y 2。（

）

零向量：长度为0的向量。a ＝O ⇔｜a ｜＝O.

例给出下列命题：

→→

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .

其中正确的序号是________．

判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；

(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；

(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；

→→

(6)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

≤

．

a -b =AC -AB=BC

⑷运算性质：①交换律：a +b =b +a ；②结合律：a +b +c =a +b +c ；

()()

③a +0=0+a =a ．

⑸坐标运算：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)．例1：在△ABC 中，中线 AD , BE , CF 交于O ,

求证： (1)AD +BE +CF =0.

例2：在△ABC 中，中线 AD , BE , CF 交于O ,

求证：AO +BO +CO =0.

→→→

例[2012·广东卷] 若向量AB ＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则AC ＝( )

A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)．

设A、B两点的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则AB=(x 1-x 2, y 1-y 2)

【例题】

（1）①AB +BC +CD =___；②AB -AD -DC =____；

③(AB -CD ) -(AC -BD ) =_____

（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB =a , BC =b , AC =c ，则|a +b +c |＝_____ 4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ．

①λa =λa ；

②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；

当λ

⑵运算律：①λ(μa )=(λμ)a ；②(λ+μ)a =λa +μa ；③λa +b =λa +λb ．

()

⑶坐标运算：设a =(x , y )，则λa =λ(x , y )=(λx , λy )．

5、向量共线定理：向量a a ≠0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

()

（b ≠0）⇔(a ⋅b ) 2=(|a ||b |)2。 b =λa ．设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，

1--→

【例题】若M （-3，-2），N （6，-1），且MP =-MN ，则点P 的坐标为___

6、向量垂直：a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔|a +b |=|a -b |⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

--→

【例题】已知OA =(-1,2), OB =(3,m ) ，若OA ⊥OB ，则m = [2012·陕西卷] 设向量a ＝(1，cos θ) 与b ＝(－1,2cos θ) 垂直，则cos2θ等于( )

B. C ．0 D ．－1 22[2012·重庆卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x, 1) ，b ＝(1，－2) ，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )

A. 5 B. 10 C ．25 D ．10 [2012·安徽卷] 设向量a ＝(1,2m ) ，b ＝(m ＋1,1) ，c ＝(2，m ) ，若(a ＋c ) ⊥b ，则|a |＝________.

7、平面向量的数量积：

⑴a ⋅b =a b cos θa ≠0, b ≠0,0≤θ≤180 ．零向量与任一向量的数量积为0．

()

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①a ⊥b ⇔a ⋅b =0．②当a 与b 同向时，

a ⋅b =a b ；当a 与b 反向时，a ⋅b =-a b ；a ⋅a =a 2=a 或a =．③

a ⋅b ≤a b ．

⑶运算律：①a ⋅b =b ⋅a ；②(λa )⋅b =λa ⋅b =a ⋅λb ；③a +b ⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．

()()()

⑷坐标运算：设两个非零向量a =(x 1, y 1)，b =

(x 2, y 2)，则a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2．

若a =(x , y )，则a =x 2+y 2，或a =

设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

则a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0) ⇔x 1y 2＝ x 2y 1.

设a 、b 都是非零

向量，a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，θ是a 与b 的夹角，则

a ⋅b

cos θ==（注|a ∙b |≤|a ||b |） a b 【例题】（1）△ABC 中，|AB |=3，|AC |=4，|BC |=5，则AB ⋅BC =_________

(2) [2012·湖北卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．

−−→

→→

（3）[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，

→

|b |＝2，则AD ＝( )

1122A. 3a －3b B. 3a －3 3344C. a －b D. a － 5555

8、在上的投影：即|b |cos θ，它是一个实数，但不一定大于0。

→

→→

→

【例题】已知|a |=3，|b |=5，且a ⋅b =12，则向量a 在向量b 上的投影为

[2012·课标全国卷] 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |10，则|b |＝____

【2012高考江西文12】设单位向量m=（x ，y ），b=（2，-1）。

若

=_______________

，则

[2012·福建卷] 已知向量a ＝(x －1,2) ，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )

A ．x ＝－2 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0

→→

[2012·浙江卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB ·AC ＝________.