《微积分初步》期末复习典型例题
一、函数、极限与连续
（一）考核要求
1. 了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念. 熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2. 了解极限概念，会求简单极限.
3. 了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题
1
（1）函数f (x ) =的定义域是
ln(x -2)
答案：x >2且x ≠3.
12
（2）函数f (x ) =+4-x 的定义域是
ln(x +2)
答案：(-2, -1) ⋃(-1, 2]
（3）函数f (x +2) =x 2+4x +7，则f (x ) =答案：f (x ) =x 2+3
3⎧
⎪x sin +1,
（4）若函数f (x ) =⎨x
⎪k , ⎩
x
在x =0处连续，则k =
答案：k =1
（5）函数f (x -1) =x 2-2x ，则f (x ) = 答案：f (x ) =x 2-1 （6）函数y =
x -2x -3
x +1
2
的间断点是
答案：x =-1 （7）lim x sin
x →∞
1x
=．
答案：1
（8）若lim
sin 4x sin kx
=2，则k = ．
x →0
答案：k =2 2．单项选择题 （1）设函数y =
e
-x
x
+e 2
，则该函数是（ ）．
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（ A ．x sin x B ．答案：C
）．
x
e
-x
+e 2
2
C ．ln(x ++x ) D ．x +x
2
（3）函数y =答案：D
x
x +4
A ．x >-5 B．x ≠-4 C．x >-5且x ≠0 D．x >-5且x ≠-4
+ln(x +5) 的定义域为（ ）．
（4）设f (x +1) =x 2-1，则f (x ) =（ ） A ．x (x +1) B．x 2 C ．x (x -2) D．(x +2)(x -1) 答案：C
⎧e x +2,
（5）当k =（ ）时，函数f (x ) =⎨
⎩k ,
x ≠0x =0
在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D
⎧x 2+1,
（6）当k =（ ）时，函数f (x ) =⎨
⎩k ,
x ≠0x =0
，在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C．2 D．-1 答案：B （7）函数f (x ) =
x -3x -3x +2
2
的间断点是（ ）
A ．x =1, x =2 B．x =3
C ．x =1, x =2, x =3 D．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）lim
2
x -3x +2x -4
2
2
2
．
(x -2)(x -1) (x -2)(x +2)
=lim
x -1x +2
=14
x →2
解：lim
x -3x +2x -4
x →2
=lim
2
x →2x →2
（2）lim 解：lim
2
x -9x -2x -3x -9x -2x -3
2
22
(x -3)(x +3) (x -3)(x +1)
=lim
x +3x +1
=64=32
x →3
x →3
=lim
x →3x →3
（3）lim
x -6x +8
2
x -5x +4
2
x -6x +8(x -4)(x -2) x -22
=lim =lim = 解：lim 2
x →4x x →4(x -4)(x -1) x →4x -13-5x +4
x →4
（4）计算极限lim 解：lim
-x -1x
．
=lim
1-x -1x (-x +1)
x →0
-x -1x
x →0
=lim
(-x -1)(-x +1)
x (-x +1)
-1(-x +1)
=-
12
x →0x →0
=lim
x →0
（5）计算极限lim 解：lim
-x -1sin 4x
-x -1sin 4x
=lim
1-x -1sin 4x (-x +1) -4x
4sin 4x (-x +1)
=-
18
x →0
=lim
(-x -1)(-x +1) sin 4x (-x +1)
-x
sin 4x (-x +1)
x →0x →0x →0
=lim
x →0
=lim
x →0
二、 导数与微分 （一）考核要求
1. 了解导数概念，会求曲线的切线方程.
2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则) ，会求简单的隐函数的导数.
3. 了解微分的概念，掌握求微分的方法.
4. 了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题
1．填空题 （1）曲线f (x ) =答案：
12
x +1在(1, 2) 点的切斜率是 ．
（2）曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是 ． 答案：y =x +e
（3）已知f (x ) =x 3+3x ，则f '(3) = ． 答案：f '(x ) =3x 2+3x ln 3
f '(3) =27（1+ln 3)
（4）已知f (x ) =ln x ，则f ''(x ) = ． 答案：f '(x ) =
1x
，f ''(x ) =-
1x
2
．
（5）若f (x ) =x e -x ，则f ''(0) =
-x -x
答案：f ''(x ) =-2e +x e
f ''(0) =-2
2. 单项选择题 （1）若f (x ) =e
-x
cos x ，则f '(0) =（ ）．
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
答案：C
（2）设y =lg 2x ，则d y =（ ）．
A ．
12x
d x B．
1x ln 10
d x C．
ln 10x
d x D．
1x
d x
答案：B
（3）设y =f (x ) 是可微函数，则d f (cos2x ) =（ ）． A．2f '(cos2x ) d x B．f '(cos2x ) sin 2x d2x C．2f '(cos2x ) sin 2x d x D．-f '(cos2x ) sin 2x d2x 答案：D
3
（4）若f (x ) =sin x +a ，其中a 是常数，则f ''(x ) =（ ）．
A．cos x +3a 2 B．sin x +6a C．-sin x D．cos x 答案：C
3．计算题
1
（1）设y =x 2e x ，求y '．
1x
2
1x
解： y '=2x e +x e (-
1x
2
1
) =e x (2x -1)
（2）设y =sin 4x +cos 3x ，求y '.
解：y '=4cos 4x +3cos 2x (-sin x )
2
=4c o s 4x -3s i n x c o s x
（3）设y =e 解：y '=e
x +1
x +1
+
2x
，求y '.
-2x
2
12(x +1
（4）设y =x x +ln cos x ，求y '. 解：y '=
32
1
x 2+
1cos x
(-sin x ) =
32
1
x 2-tan x
（5）设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2-xy =4确定的隐函数，求d y .
解：方程两边对x 求导，得
2x +2y y '-(y +x y ') =0
y '=
y -2x 2y -x
于是得到d y =
y -2x 2y -x
d x
（6）设cos x +e x +e y =y 2，求d y ． 解：方程两边对x 求导，得
-sin x +e +e y '=2y y ' y '=
sin x -e e -2y
x y
x x
y
于是得到d y =
sin x -e e -2y
y
d x
三、导数应用 （一）考核要求
1. 掌握函数单调性的判别方法.
2. 了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法. 3. 掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题
1．填空题
（1）函数y =3(x -1) 的单调增加区间是 ． 答案：(1, +∞) （2）函数f (x ) =ax
2
2
+1在区间(0, +∞) 内单调增加，则a 应满足 ．
答案：a >0 2．单项选择题
（1）函数y =(x +1) 2在区间(-2, 2) 是（ ） A ．单调增加 B．单调减少 C ．先增后减 D．先减后增 答案：D
（2）满足方程f '(x ) =0的点一定是函数y =f (x ) 的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C．驻点 D ． 间断点 答案：C
（3）下列结论中（ ）不正确． A．f (x ) 在x =x 0处连续，则一定在x 0处可微. B．f (x ) 在x =x 0处不连续，则一定在x 0处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ
（4）下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是（ ）．
A．sin x B．e x C．x 2 D．3-x 答案：B
3．应用题（以几何应用为主）
（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知x h =108, h =
y =x +4xh =x +4x ⋅
2
2
2
108x
2
108x
2
=x +
2
432x
令y '=2x -且y ''=2+
432x
2
=0，解得x =6是唯一驻点，
2⨯432x
3
x =6
>0，
1086
2
说明x =6是函数的极小值点，所以当x =6，h ==3用料最省.
（2）用钢板焊接一个容积为4m 3的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有h =所以S (x ) =x +4xh =x +
S '(x ) =2x -
16x
2
2
2
4x
2
16x
,
令S '(x ) =0，得x =2，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x =2, h =1时水箱的面积最小. 此时的费用为 S (2) ⨯10+40=160（元） 4. 证明题
（1）证明函数f (x ) =3-2x ，在定义区间上是单调下降的.
证明 因为f (x ) =3-2x 的定义区间为(-∞, +∞) ，且f '(x ) =-2
（2）证明函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的．
证明：因为在（-∞, 0) 上，有f '(x ) =1-e x >0，所以函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的.
四、 一元函数积分 （一）考核要求
1. 理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.
2. 了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分. 3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
（二）典型例题 1．填空题
（1）若f (x ) 的一个原函数为ln x 2，则f (x ) =答案：
2x
（2）若⎰f (x ) d x =sin 2x +c ，则f (x ) ． 答案：2cos 2x
（3）若⎰c os x d x =______________ 答案：sin x +c （4）⎰de 答案：e
-x
-x
2
= ．
2
+c
（5）⎰(sinx ) 'd x =答案：sin x +c
（6）若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰f (2x -3) d x =． 答案：
12
F (2x -3) +c
（7）若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x 2) d x = ． 答案：-
12
1-1
F (1-x ) +c
2
2
（8） ⎰(sinx cos 2x -x +x ) d x =______. 答案：-（9）
d d x
23
e 1
2
⎰
ln(x +1) d x = .
答案：0
（10）⎰e d x = ．
-∞
2x
答案：
12
2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（ ）．
A ．d ⎰f (x ) d x =f (x ) B ．⎰f '(x ) d x =f (x )
C ．
⎰d x
d
f (x ) d x =f (x ) D ．⎰d f (x ) =f (x )
答案：C
（2）以下等式成立的是（ ）
A ． ln x d x =d() B．sin x d x =d (cosx )
x 1
C ．
d x
x 答案：D
=d x D．3d x =
x
d 3
x
ln 3
（3）⎰x f ''(x ) d x =（ ）
A. x f '(x ) -f (x ) +c B. x f '(x ) +c C.
12
2
x f '(x ) +c D. (x +1) f '(x ) +c
答案：A
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）． A．⎰ C．⎰
1-1
e -e
2
3
x -x
x B．⎰
1-1
e +e
2
x -x
x
π
-π
(x +cos x ) d x D．⎰
a
π
-π
2
(x +sin x ) d x
答案：A
（5）设f (x ) 是连续的奇函数，则定积分⎰f (x ) d x =（ ）
-a
A ．0 B ．⎰f (x ) d x C．⎰f (x ) d x D ．2⎰f (x ) d x
-a
-a
0a 0
答案：A
（6）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰ C ．⎰答案：D
3．计算题
（1）⎰(2x -1) 10d x 解：⎰(2x -1) d x =
sin
1x
2
10
+∞0
s in x d x B ．⎰1x
d x D ．⎰
+∞1
1x
e
-2x
d x
+∞1
+∞0
d x
12
⎰(2x -1) d(2x -1) =
10
122
(2x -1)
11
+c
（2）⎰
x
x
sin
1x
2
解：⎰(3)⎰
x
ln 2
x =-⎰sin
x
2
1x
1x
=cos
1x
+c
e (4+e ) d x e (4+e ) d x =
x
x
2
x
解：⎰
ln 2
⎰
ln 2
(4+e ) d(4+e )
ln 20
x 2x
=(4+e x ) 3
(4)⎰
e 1
=
13
(216-64) =
1523
1+5ln x
x
e 11
x
解：⎰
1+5ln x
x
x =
1
⎰5
e
1
(1+5ln x ) d (1+5ln x ) =
110
e
(1+5ln x )
21
=
110
(36-1) =
72
(5)⎰x e x d x
解：⎰x e x d x =x e x
110
-
⎰
10
e d x =e -e
x x
10
=1
π
(6)⎰2x sin x d x
0π
π2
π
π
解：⎰x sin x d x =-x cos x
20
+
⎰
20
cos x d x =sin x
20
=1
4. 证明题 (1)证明等式⎰证明⎰
a -a
a -a 0
f (x ) d x =f (x ) d x +
⎰
a
[f (-x ) +f (x )]d x . f (x ) d x
f (x ) d x =
⎰
-a
⎰
a
令x =-t ，则d x =-d t ，且当x =-a 时，t =a ，x =0时，t =0 于是
⎰
-a
f (-t ) d(-t ) =-⎰
a -a
-a a
f (-t ) d t =⎰f (-t ) d t =
a
⎰⎰
a
0a
f (-x ) d x
[f (-x ) +f (x )]d x
所以⎰
f (x ) d x =
⎰
f (-x ) d x +
⎰
a
f (x ) d x =
(2)设f ''(x ) 在[a , b ]上连续，证明：
⎰⎰
b a
x f ''(x ) dx =[b f '(b ) -f (b )]-[a f '(a ) -f (a )]
证明 利用分部积分法，
b a
x f ''(x ) d x =
⎰
b
a
x d f '(x ) =[x f '(x )]
b a
-
⎰
b
a
f '(x ) d x =b f '(b ) -a f '(a ) -f (x ) a
b
=[b f '(b ) -f (b )]-[a f '(a ) -f (a )] 五、积分应用 （一）考核要求
1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.
2. 了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法. （二）典型例题
1．填空题
(1)已知曲线y =f (x ) 在任意点x 处切线的斜率为
1x
，且曲线过(4, 5) ，则该曲线的
方程是 .
答案：y =2x +1 (2)由定积分的几何意义知，⎰答案：
a 0
a -x d x 22
πa 4
2
(3)微分方程y '=y , y (0) =1的特解为 . 答案：y =e x
(4)微分方程y '+3y =0的通解为 . 答案：y =c e -3x
(5)微分方程(y '') 3+4xy (4) =y 7sin x 的阶数为 ． 答案：4
2. 单项选择题
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
22
A ．y = x + 3 B．y = x + 4 C ．y =x 2+2 D．y =x 2+1 答案：A
(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
2
A．yx +ln y =y ' B．y 'y +xy 2=e x C．y ''+x y '=e y D．y ''sin x -y 'e x =y ln x 答案：D
(3)微分方程y '=0的通解为（ ）． A．y =Cx B．y =x +C C．y =C D．y =0 答案：C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）
A. C.
d y d x d y d x
=x +y ； B.
d y d x d y d x
=xy +y ； =x (y +x )
=xy +sin x ； D.
答案：B 3. 计算题
x +y
(1)求微分方程y '=e 的通解 解：将原方程分离变量
e
-y
x
d y e
y
=e d x
x
d y =e d x
-y
x
两端积分得通解为
-e =e +C
(2)求微分方程x y '=y ln y 满足y (1) =e 的特解.
解：将原方程分离变量
d y y ln y
=x d x
两端积分得 lnln y = lnC x
通解为 y = eCx
x
将y (1) =e 代入通解，得C =1，故特解为y = e
(3)求微分方程y '-
y x
=
1ln x
的通解.
1x
, Q (x ) =
1ln x
解 此方程为一阶线性微分方程，且P (x ) =-则方程的通解为
y =e
⎰x d x
1
，
(⎰
1ln x
⎰-x d x
1
d x +C ) =x (⎰
2
1x ln x
x +C ) =x (lnln x +C )
74
(4)求微分方程y '+
y x
=x +1满足初始条件y (1) =
1x
2
的特解．
解 此方程为一阶线性微分方程，且P (x ) =则方程的通解为
y =e
-
, Q (x ) =x +1，
⎰x d x
1
(⎰(x +1) e
7
2
⎰x d x
1
d x +C ) =
1x
(⎰x (x +1) d x +C ) =
2
11412
(x +x +C ) x 42
将初始条件y (1) =
代入通解，得C =1，于是满足初始条件的为
4
11412
y =(x +x +1)
x 42
联系方式是：
中央电大主持教师：
赵 坚 电话： (010)-66490522
邮件地址：[email protected]
浙江省管课老师：
韩玉娟 电话： （0571）88078549—8636
邮件地址：[email protected]
《微积分初步》期末复习典型例题
一、函数、极限与连续
（一）考核要求
1. 了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念. 熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2. 了解极限概念，会求简单极限.
3. 了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题
1
（1）函数f (x ) =的定义域是
ln(x -2)
答案：x >2且x ≠3.
12
（2）函数f (x ) =+4-x 的定义域是
ln(x +2)
答案：(-2, -1) ⋃(-1, 2]
（3）函数f (x +2) =x 2+4x +7，则f (x ) =答案：f (x ) =x 2+3
3⎧
⎪x sin +1,
（4）若函数f (x ) =⎨x
⎪k , ⎩
x
在x =0处连续，则k =
答案：k =1
（5）函数f (x -1) =x 2-2x ，则f (x ) = 答案：f (x ) =x 2-1 （6）函数y =
x -2x -3
x +1
2
的间断点是
答案：x =-1 （7）lim x sin
x →∞
1x
=．
答案：1
（8）若lim
sin 4x sin kx
=2，则k = ．
x →0
答案：k =2 2．单项选择题 （1）设函数y =
e
-x
x
+e 2
，则该函数是（ ）．
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案：B
（2）下列函数中为奇函数是（ A ．x sin x B ．答案：C
）．
x
e
-x
+e 2
2
C ．ln(x ++x ) D ．x +x
2
（3）函数y =答案：D
x
x +4
A ．x >-5 B．x ≠-4 C．x >-5且x ≠0 D．x >-5且x ≠-4
+ln(x +5) 的定义域为（ ）．
（4）设f (x +1) =x 2-1，则f (x ) =（ ） A ．x (x +1) B．x 2 C ．x (x -2) D．(x +2)(x -1) 答案：C
⎧e x +2,
（5）当k =（ ）时，函数f (x ) =⎨
⎩k ,
x ≠0x =0
在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D
⎧x 2+1,
（6）当k =（ ）时，函数f (x ) =⎨
⎩k ,
x ≠0x =0
，在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C．2 D．-1 答案：B （7）函数f (x ) =
x -3x -3x +2
2
的间断点是（ ）
A ．x =1, x =2 B．x =3
C ．x =1, x =2, x =3 D．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）lim
2
x -3x +2x -4
2
2
2
．
(x -2)(x -1) (x -2)(x +2)
=lim
x -1x +2
=14
x →2
解：lim
x -3x +2x -4
x →2
=lim
2
x →2x →2
（2）lim 解：lim
2
x -9x -2x -3x -9x -2x -3
2
22
(x -3)(x +3) (x -3)(x +1)
=lim
x +3x +1
=64=32
x →3
x →3
=lim
x →3x →3
（3）lim
x -6x +8
2
x -5x +4
2
x -6x +8(x -4)(x -2) x -22
=lim =lim = 解：lim 2
x →4x x →4(x -4)(x -1) x →4x -13-5x +4
x →4
（4）计算极限lim 解：lim
-x -1x
．
=lim
1-x -1x (-x +1)
x →0
-x -1x
x →0
=lim
(-x -1)(-x +1)
x (-x +1)
-1(-x +1)
=-
12
x →0x →0
=lim
x →0
（5）计算极限lim 解：lim
-x -1sin 4x
-x -1sin 4x
=lim
1-x -1sin 4x (-x +1) -4x
4sin 4x (-x +1)
=-
18
x →0
=lim
(-x -1)(-x +1) sin 4x (-x +1)
-x
sin 4x (-x +1)
x →0x →0x →0
=lim
x →0
=lim
x →0
二、 导数与微分 （一）考核要求
1. 了解导数概念，会求曲线的切线方程.
2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则) ，会求简单的隐函数的导数.
3. 了解微分的概念，掌握求微分的方法.
4. 了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题
1．填空题 （1）曲线f (x ) =答案：
12
x +1在(1, 2) 点的切斜率是 ．
（2）曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是 ． 答案：y =x +e
（3）已知f (x ) =x 3+3x ，则f '(3) = ． 答案：f '(x ) =3x 2+3x ln 3
f '(3) =27（1+ln 3)
（4）已知f (x ) =ln x ，则f ''(x ) = ． 答案：f '(x ) =
1x
，f ''(x ) =-
1x
2
．
（5）若f (x ) =x e -x ，则f ''(0) =
-x -x
答案：f ''(x ) =-2e +x e
f ''(0) =-2
2. 单项选择题 （1）若f (x ) =e
-x
cos x ，则f '(0) =（ ）．
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
答案：C
（2）设y =lg 2x ，则d y =（ ）．
A ．
12x
d x B．
1x ln 10
d x C．
ln 10x
d x D．
1x
d x
答案：B
（3）设y =f (x ) 是可微函数，则d f (cos2x ) =（ ）． A．2f '(cos2x ) d x B．f '(cos2x ) sin 2x d2x C．2f '(cos2x ) sin 2x d x D．-f '(cos2x ) sin 2x d2x 答案：D
3
（4）若f (x ) =sin x +a ，其中a 是常数，则f ''(x ) =（ ）．
A．cos x +3a 2 B．sin x +6a C．-sin x D．cos x 答案：C
3．计算题
1
（1）设y =x 2e x ，求y '．
1x
2
1x
解： y '=2x e +x e (-
1x
2
1
) =e x (2x -1)
（2）设y =sin 4x +cos 3x ，求y '.
解：y '=4cos 4x +3cos 2x (-sin x )
2
=4c o s 4x -3s i n x c o s x
（3）设y =e 解：y '=e
x +1
x +1
+
2x
，求y '.
-2x
2
12(x +1
（4）设y =x x +ln cos x ，求y '. 解：y '=
32
1
x 2+
1cos x
(-sin x ) =
32
1
x 2-tan x
（5）设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2-xy =4确定的隐函数，求d y .
解：方程两边对x 求导，得
2x +2y y '-(y +x y ') =0
y '=
y -2x 2y -x
于是得到d y =
y -2x 2y -x
d x
（6）设cos x +e x +e y =y 2，求d y ． 解：方程两边对x 求导，得
-sin x +e +e y '=2y y ' y '=
sin x -e e -2y
x y
x x
y
于是得到d y =
sin x -e e -2y
y
d x
三、导数应用 （一）考核要求
1. 掌握函数单调性的判别方法.
2. 了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法. 3. 掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题
1．填空题
（1）函数y =3(x -1) 的单调增加区间是 ． 答案：(1, +∞) （2）函数f (x ) =ax
2
2
+1在区间(0, +∞) 内单调增加，则a 应满足 ．
答案：a >0 2．单项选择题
（1）函数y =(x +1) 2在区间(-2, 2) 是（ ） A ．单调增加 B．单调减少 C ．先增后减 D．先减后增 答案：D
（2）满足方程f '(x ) =0的点一定是函数y =f (x ) 的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C．驻点 D ． 间断点 答案：C
（3）下列结论中（ ）不正确． A．f (x ) 在x =x 0处连续，则一定在x 0处可微. B．f (x ) 在x =x 0处不连续，则一定在x 0处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ
（4）下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是（ ）．
A．sin x B．e x C．x 2 D．3-x 答案：B
3．应用题（以几何应用为主）
（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知x h =108, h =
y =x +4xh =x +4x ⋅
2
2
2
108x
2
108x
2
=x +
2
432x
令y '=2x -且y ''=2+
432x
2
=0，解得x =6是唯一驻点，
2⨯432x
3
x =6
>0，
1086
2
说明x =6是函数的极小值点，所以当x =6，h ==3用料最省.
（2）用钢板焊接一个容积为4m 3的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有h =所以S (x ) =x +4xh =x +
S '(x ) =2x -
16x
2
2
2
4x
2
16x
,
令S '(x ) =0，得x =2，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x =2, h =1时水箱的面积最小. 此时的费用为 S (2) ⨯10+40=160（元） 4. 证明题
（1）证明函数f (x ) =3-2x ，在定义区间上是单调下降的.
证明 因为f (x ) =3-2x 的定义区间为(-∞, +∞) ，且f '(x ) =-2
（2）证明函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的．
证明：因为在（-∞, 0) 上，有f '(x ) =1-e x >0，所以函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的.
四、 一元函数积分 （一）考核要求
1. 理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.
2. 了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分. 3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
（二）典型例题 1．填空题
（1）若f (x ) 的一个原函数为ln x 2，则f (x ) =答案：
2x
（2）若⎰f (x ) d x =sin 2x +c ，则f (x ) ． 答案：2cos 2x
（3）若⎰c os x d x =______________ 答案：sin x +c （4）⎰de 答案：e
-x
-x
2
= ．
2
+c
（5）⎰(sinx ) 'd x =答案：sin x +c
（6）若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰f (2x -3) d x =． 答案：
12
F (2x -3) +c
（7）若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x 2) d x = ． 答案：-
12
1-1
F (1-x ) +c
2
2
（8） ⎰(sinx cos 2x -x +x ) d x =______. 答案：-（9）
d d x
23
e 1
2
⎰
ln(x +1) d x = .
答案：0
（10）⎰e d x = ．
-∞
2x
答案：
12
2．单项选择题
（1）下列等式成立的是（ ）．
A ．d ⎰f (x ) d x =f (x ) B ．⎰f '(x ) d x =f (x )
C ．
⎰d x
d
f (x ) d x =f (x ) D ．⎰d f (x ) =f (x )
答案：C
（2）以下等式成立的是（ ）
A ． ln x d x =d() B．sin x d x =d (cosx )
x 1
C ．
d x
x 答案：D
=d x D．3d x =
x
d 3
x
ln 3
（3）⎰x f ''(x ) d x =（ ）
A. x f '(x ) -f (x ) +c B. x f '(x ) +c C.
12
2
x f '(x ) +c D. (x +1) f '(x ) +c
答案：A
（4）下列定积分中积分值为0的是（ ）． A．⎰ C．⎰
1-1
e -e
2
3
x -x
x B．⎰
1-1
e +e
2
x -x
x
π
-π
(x +cos x ) d x D．⎰
a
π
-π
2
(x +sin x ) d x
答案：A
（5）设f (x ) 是连续的奇函数，则定积分⎰f (x ) d x =（ ）
-a
A ．0 B ．⎰f (x ) d x C．⎰f (x ) d x D ．2⎰f (x ) d x
-a
-a
0a 0
答案：A
（6）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰ C ．⎰答案：D
3．计算题
（1）⎰(2x -1) 10d x 解：⎰(2x -1) d x =
sin
1x
2
10
+∞0
s in x d x B ．⎰1x
d x D ．⎰
+∞1
1x
e
-2x
d x
+∞1
+∞0
d x
12
⎰(2x -1) d(2x -1) =
10
122
(2x -1)
11
+c
（2）⎰
x
x
sin
1x
2
解：⎰(3)⎰
x
ln 2
x =-⎰sin
x
2
1x
1x
=cos
1x
+c
e (4+e ) d x e (4+e ) d x =
x
x
2
x
解：⎰
ln 2
⎰
ln 2
(4+e ) d(4+e )
ln 20
x 2x
=(4+e x ) 3
(4)⎰
e 1
=
13
(216-64) =
1523
1+5ln x
x
e 11
x
解：⎰
1+5ln x
x
x =
1
⎰5
e
1
(1+5ln x ) d (1+5ln x ) =
110
e
(1+5ln x )
21
=
110
(36-1) =
72
(5)⎰x e x d x
解：⎰x e x d x =x e x
110
-
⎰
10
e d x =e -e
x x
10
=1
π
(6)⎰2x sin x d x
0π
π2
π
π
解：⎰x sin x d x =-x cos x
20
+
⎰
20
cos x d x =sin x
20
=1
4. 证明题 (1)证明等式⎰证明⎰
a -a
a -a 0
f (x ) d x =f (x ) d x +
⎰
a
[f (-x ) +f (x )]d x . f (x ) d x
f (x ) d x =
⎰
-a
⎰
a
令x =-t ，则d x =-d t ，且当x =-a 时，t =a ，x =0时，t =0 于是
⎰
-a
f (-t ) d(-t ) =-⎰
a -a
-a a
f (-t ) d t =⎰f (-t ) d t =
a
⎰⎰
a
0a
f (-x ) d x
[f (-x ) +f (x )]d x
所以⎰
f (x ) d x =
⎰
f (-x ) d x +
⎰
a
f (x ) d x =
(2)设f ''(x ) 在[a , b ]上连续，证明：
⎰⎰
b a
x f ''(x ) dx =[b f '(b ) -f (b )]-[a f '(a ) -f (a )]
证明 利用分部积分法，
b a
x f ''(x ) d x =
⎰
b
a
x d f '(x ) =[x f '(x )]
b a
-
⎰
b
a
f '(x ) d x =b f '(b ) -a f '(a ) -f (x ) a
b
=[b f '(b ) -f (b )]-[a f '(a ) -f (a )] 五、积分应用 （一）考核要求
1. 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积.
2. 了解微分方程的几个概念，掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法. （二）典型例题
1．填空题
(1)已知曲线y =f (x ) 在任意点x 处切线的斜率为
1x
，且曲线过(4, 5) ，则该曲线的
方程是 .
答案：y =2x +1 (2)由定积分的几何意义知，⎰答案：
a 0
a -x d x 22
πa 4
2
(3)微分方程y '=y , y (0) =1的特解为 . 答案：y =e x
(4)微分方程y '+3y =0的通解为 . 答案：y =c e -3x
(5)微分方程(y '') 3+4xy (4) =y 7sin x 的阶数为 ． 答案：4
2. 单项选择题
(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．
22
A ．y = x + 3 B．y = x + 4 C ．y =x 2+2 D．y =x 2+1 答案：A
(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．
2
A．yx +ln y =y ' B．y 'y +xy 2=e x C．y ''+x y '=e y D．y ''sin x -y 'e x =y ln x 答案：D
(3)微分方程y '=0的通解为（ ）． A．y =Cx B．y =x +C C．y =C D．y =0 答案：C
(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）
A. C.
d y d x d y d x
=x +y ； B.
d y d x d y d x
=xy +y ； =x (y +x )
=xy +sin x ； D.
答案：B 3. 计算题
x +y
(1)求微分方程y '=e 的通解 解：将原方程分离变量
e
-y
x
d y e
y
=e d x
x
d y =e d x
-y
x
两端积分得通解为
-e =e +C
(2)求微分方程x y '=y ln y 满足y (1) =e 的特解.
解：将原方程分离变量
d y y ln y
=x d x
两端积分得 lnln y = lnC x
通解为 y = eCx
x
将y (1) =e 代入通解，得C =1，故特解为y = e
(3)求微分方程y '-
y x
=
1ln x
的通解.
1x
, Q (x ) =
1ln x
解 此方程为一阶线性微分方程，且P (x ) =-则方程的通解为
y =e
⎰x d x
1
，
(⎰
1ln x
⎰-x d x
1
d x +C ) =x (⎰
2
1x ln x
x +C ) =x (lnln x +C )
74
(4)求微分方程y '+
y x
=x +1满足初始条件y (1) =
1x
2
的特解．
解 此方程为一阶线性微分方程，且P (x ) =则方程的通解为
y =e
-
, Q (x ) =x +1，
⎰x d x
1
(⎰(x +1) e
7
2
⎰x d x
1
d x +C ) =
1x
(⎰x (x +1) d x +C ) =
2
11412
(x +x +C ) x 42
将初始条件y (1) =
代入通解，得C =1，于是满足初始条件的为
4
11412
y =(x +x +1)
x 42
联系方式是：
中央电大主持教师：
赵 坚 电话： (010)-66490522
邮件地址：[email protected]
浙江省管课老师：
韩玉娟 电话： （0571）88078549—8636
邮件地址：[email protected]