第五章 广义最小二乘法
当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差, 而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(GLS)。即下列模型：
Y =X β+μ
满足这样一些条件：
E (μ) =0
COV (μμ' ) =δ2Ω
Ω=11ω1221ω22ω1n ... ω2n ...
1ωn 2 ωnn
设ω=D D '
用D -1左乘Y =X β+μ的两边，得到一个新的模型
D Y =D X β+D μ
即
Y =X β+μ（1）
该模型具有同方差性和随机误差相互独立性。因为可以证明：
E (μμ) =δI
于是可用普通最小二乘法估计（1）式，得到的参数估计结果为 **'2***-1-1-1
ˆ=(X *'X *) -1X *'Y * β
ΩX ) X 'ΩY =(X '
整个过程最重要的一步就是要估计Ω，当模型存在一阶自相关时。我们取 -1-1-1
1
Ω=ρ1 ρn -1 ρn -2
1 ρρn -1ρn -2
案例四：广义最小二乘法
在这里我们举例子来说明广义最小二乘法的应用。在讨论这个问题时所采用的数据如下表5.1所示：
表5.1
首先我们计算ρ，我们可以直接根据OLS 估计出来的DW 来计算，OLS 估计出来的结果为下表5.2：
表
5.2
可以根据ρ=1-DW/2，DW=0.8774，因此
!p=0.5613
matrix(17,17) fac1
for !i=1 to 17
fac1(!i,!i)=1
next
for !j=1 to 17
for !i=!j+1 to 17
fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)
fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)
next
next ρ=0.5613, 在这个基础上, 我们可以得出这个方 差-协方差矩阵。方差协方差矩阵可以由以下一个程序来获得：
得到的矩阵结果为下表5.3
表
5.3
：
下面再进行Cholosky 分解, 得到D 1, 进行Cholosky 分解时所用到的命令如下: sym(17,17) fact1
matrix fact1 = @cholesky(fact)
得到的fact1矩阵如下
:
求解fact1的逆矩阵就可以将数据进行转换, 得到m 2和gdp , 求解逆矩阵时用到的命令如下:
matrix(17,17) fact2 **
fact2=@inverse(fact)
得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下
:
m 2*=m2*fact2
gdp *=gdp*fact
这样就可以得到一组变换后的数据, 数据如下
:
再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果, 结果如下:
表5.4
可以看到，使用广义最小二乘法后，序列相关的情况得到改善。
!p=0.5613
matrix(17,17) fac1
for !i=1 to 17
for !j=1 to 17
fac1(!i,!j)=!p^abs(!i-!j)
next
next
(p^abs(I-j))
第五章 广义最小二乘法
当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差, 而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(GLS)。即下列模型：
Y =X β+μ
满足这样一些条件：
E (μ) =0
COV (μμ' ) =δ2Ω
Ω=11ω1221ω22ω1n ... ω2n ...
1ωn 2 ωnn
设ω=D D '
用D -1左乘Y =X β+μ的两边，得到一个新的模型
D Y =D X β+D μ
即
Y =X β+μ（1）
该模型具有同方差性和随机误差相互独立性。因为可以证明：
E (μμ) =δI
于是可用普通最小二乘法估计（1）式，得到的参数估计结果为 **'2***-1-1-1
ˆ=(X *'X *) -1X *'Y * β
ΩX ) X 'ΩY =(X '
整个过程最重要的一步就是要估计Ω，当模型存在一阶自相关时。我们取 -1-1-1
1
Ω=ρ1 ρn -1 ρn -2
1 ρρn -1ρn -2
案例四：广义最小二乘法
在这里我们举例子来说明广义最小二乘法的应用。在讨论这个问题时所采用的数据如下表5.1所示：
表5.1
首先我们计算ρ，我们可以直接根据OLS 估计出来的DW 来计算，OLS 估计出来的结果为下表5.2：
表
5.2
可以根据ρ=1-DW/2，DW=0.8774，因此
!p=0.5613
matrix(17,17) fac1
for !i=1 to 17
fac1(!i,!i)=1
next
for !j=1 to 17
for !i=!j+1 to 17
fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)
fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)
next
next ρ=0.5613, 在这个基础上, 我们可以得出这个方 差-协方差矩阵。方差协方差矩阵可以由以下一个程序来获得：
得到的矩阵结果为下表5.3
表
5.3
：
下面再进行Cholosky 分解, 得到D 1, 进行Cholosky 分解时所用到的命令如下: sym(17,17) fact1
matrix fact1 = @cholesky(fact)
得到的fact1矩阵如下
:
求解fact1的逆矩阵就可以将数据进行转换, 得到m 2和gdp , 求解逆矩阵时用到的命令如下:
matrix(17,17) fact2 **
fact2=@inverse(fact)
得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下
:
m 2*=m2*fact2
gdp *=gdp*fact
这样就可以得到一组变换后的数据, 数据如下
:
再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果, 结果如下:
表5.4
可以看到，使用广义最小二乘法后，序列相关的情况得到改善。
!p=0.5613
matrix(17,17) fac1
for !i=1 to 17
for !j=1 to 17
fac1(!i,!j)=!p^abs(!i-!j)
next
next
(p^abs(I-j))