教室内吊扇最优化安装

教室内吊扇最优化安装

北大附中 高一（10） 冯雨 孙昱姣 100080

关键词：风扇 场强

一

1 2 二

1

2 三

1 2 3 4 5

引言 .................................................................................................... 2 问题的提出 ........................................................................................ 2 问题的矛盾所在 ................................................................................ 2 数学模型的建立 ................................................................................ 2 几点假设 ............................................................................................ 2 1.1 假设1 ................................................................................... 2 1.2 假设2 ................................................................................... 2 1.3 假设3 ................................................................................... 3 数学模型 ............................................................................................ 3 模型的分析 ........................................................................................ 4 获得φ的解析式 ................................................................................ 4 求出φa, φb ........................................................................................... 5 φ的叠加性 ......................................................................................... 5 Ω=

ds的几何意义 .................................................................. 5

S

在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的 ....................... 5 5.1 简单说明 .............................................................................. 5 5.2 详细论述 .............................................................................. 6 5.3 结论 ...................................................................................... 6 6 在无限大平面上推广到N个波源时的情况 .................................... 6 7 模型解构 ............................................................................................ 7 四 结语 ........................................................................................................... 7 五 附录 .................................................................................................... 7

1 附图一 .............................................................................................. 8 2 参考文献 ............................................................................................ 8 3 作者简介 ............................................................................................ 8 4 合作经历 ............................................................................................ 9

4.1 选题背景 .............................................................................. 9 4.2 合作过程 .............................................................................. 9

一 引言 1

问题的提出

夏天将至，旧教室里的电风扇们马上要开始工作了。而北大附中的

新教学楼也正在计划建设之中。教室里的风扇应当如何安装，才能既省钱，又有最好的效果呢？现在旧教室的电风扇设计是否是最科学的呢？一连串的问号摆在了我们的面前，本文就将解决这几个问题。

2 问题的矛盾所在

注意这样一个事实，在风扇数目一定的情况下，风扇的位置如果不

同，造成的效果也会有不同，但一定可以找到效果最好的那组位置。设法量化这个效果，求出它和风扇的总价格的比值，随着风扇数目的变化，这个比值也在变化。它取到最大值时，我们就找到最佳方案了，因为这时单位支出得到了最大的效果。

二 数学模型的建立 1

几点假设

当然我们的教室是一个很复杂的环境，电风扇的影响是一个很复杂

的事件，所以我们需要做一些假设，以简化我们的讨论。

1.1 假设1

人是均匀的连续的分布在教室的地面上的，人上的每一个点对风扇

气流的感觉能力是相同的。

1.2 假设2

电扇的影响强度的量化方法：

每一个电扇都伴随着一个“影响场”，场的概念，就不详说了，参阅[参考文献

1]。这个场我们用字母φ来表示：

φ=φ(x ,y)

显然φ 是一个标量场。对以它的大小，我们将用实验来定义。

1.3 假设3

人对风的作用效果的感觉有阈值，表现为，人不能够感觉到过小的影响场，而

且对超过一个限度的影响场的感觉也是有限的。定义一个影响场φ对应这人的感觉场为ψ，ψ 同φ 满足如下关系：（φa称为感觉下限，φb称为感觉上限）

0当a



a当ab

当

abb

2 数学模型

以风扇的中心O为圆心，我们在相当大的一个范围内平均的撒上大小适度的纸

片。定义单位时间内一个直径为10cm的圆内纸片平均密度的变化量（视为常数）为该点处φ的大小。

在平面S上的特定区域，考察其中φ场的强度，做

出这样一个平面图：图中点的密度即可近似的表现出φ场。可以定性看出，在以叶扇长为半径的圆内，几乎没有φ场的分布，而在其外，场强呈放射性减弱。

因此，为了量化考虑场强与点到圆心的距离之关

系，在平面S上取一条过圆心O的直线，在直线上以O为原点建立坐标系(R)，这样对这直线上的点而言，我们可以画出φ ~R图。

三 模型的分析 1

通过将纸片撒在地上，将风级固定，在一定时间t内，观察测定纸片的密度变

化，得到如下试验结果：

获得φ的解析式

将这些点（r，Δρ）标于坐标纸上，通过拟和，可以得到一个经验公式：

0.3r当rr0e

0当rr0

2

以下我们取比例系数为1。

2

求出φa, φb

直接求出φa, φb是不可能的，这里我们由经验来确定之。不妨将感觉上限设为

φb=0.72（即叶片半径处的影响场强），现在应用纸条来确定感觉下限φa。将纸条放置于平面内，距圆心不同的位置上，打开风扇，观察纸条的振动情况。找到距圆心最近的使纸条几乎不动的位置（大约在2.2m处，记下它所在位置的场强即为φa（≈0.25）。

3 φ的叠加性

由于φ的定义是根据风扇对纸片的作用效果，在最简单的情况下，不同风扇的效果是互不相干的，即φ 是具有可加性的。 因此平面S上的每一个点处的影响场都可表示为

i

4

Ω=Sds的几何意义

在S上，作与之垂直的Z轴，用以标记φ 的大小。那么我们就得到了一幅如同

丘陵地图的立体图像。做出两平面S1:Z=φa和S2:Z=φb那么Ω就是S1,S2之间的体积。

5

5.1

在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的

简单说明

为了从简单入手，我们不妨先考虑在两个波源的连心线上φ 场的叠加。那么我

们以连心线的中心为原点，仍然建立一个r-φ 图将两个波源的φ 场强标在图上，再将

其叠加即可得到这条线上的点的φ 场总强度。但是在这时，随着两波源的圆心O1,O2的距离a的改变，而φ 的图像也是千变万化的。这一点由平面S上的场强分布叠加即可明确的表现出来。

5.2 详细论述

因此我们根据叠加后图像与同一坐标系上直线φ =φa的关系，可以将图像分为

以下三类：

1） 叠加后的图像最低点在直线φ =φa以下。 2） 叠加后的图像最低点在直线φ =φa以上。 3） 叠加后的图像最低点恰在直线φ =φa上。

显然，与第三类比较起来第一类中的效果不够显著，第二类中的资源有浪费现

象，而且φ 场较强部位过多。

5.3 结论

由此我们可以得出：两个波源时Ω=

ds是在两个波源连线中点处的φ 场

S

强为φa时取得。可以计算得出：此时的波源距离为：2×2.04=4.08(m)

6 在无限大平面上推广到N个波源

时的情况

在有n个波源时，任两个波源都应满足3.5的讨论，我们可以得出：N个波源

时Ω=

ds是在摆成如图情况，且两两取得最值时，才取得最值。

S

7 模型解构

如上图，我们把无限大的平面上的最优方案表示出来，把教室作为一个矩形框

向上框，可以发现只可以框住3~4个电风扇（教室的长为9.25米，宽为6.5米），也即室内最好的效果应是在3~4个风扇时取到的。

当然我们是希望在总效果不是太差的情况下取得最有性价比的方案，所以小于

ds实际上是无法直接积出的，虽然可以用数

值方法来求，但是实在没有这个必要。所以，我们改为计算与其意义相近的：Ω’=ds，



3个风扇就可以不管了。注意到Ω=

S

0

Ω’的意义很显然是指人有感觉的范围的面积。

下面我们描出无限大平面上ψ≠0的范围，如图中的阴影部分(参看附录中图

一)。显然是当教室如图I，图II时，分别有风扇影响效果最大的面积，用方格法可以计算出分别是：26.47m2, 19.14 m2

26.47 m2/4 > 19.14 m2/3 所以说四个风扇最优。

四 结语

经过长久的努力，本文终于画上了一个圆满的句号。在这里我们不想再对本文

的论述题目作过多的说明和分析，作为本文作者，我们只想强调一点：在经过反复的试验和极其复杂的运算后，我们居然得到了一幅极其简单而富有深刻意义的图形：在自然界中出现极为广泛的正六边形——这也是我们最初的一个假想。由此是否可以给我们一些启示：在世界上，也许一切的复杂与简单之间都是有的极大的联系和极小的差别的。

五 附录

1 附图一

图I

图II

2 参考文献

物理学中的场论//简明不列颠百科全书．8 /《简明不列颠百科全书》编辑部译

编.--北京：中国大百科全书出版社，1985.--380页

格点问题//中国大百科全书·数学/中国大百科全书总编辑委员会《数学》编辑委

员会编.－北京：中国大百科全书出版社，1988.－267页

3 作者简介

冯雨，孙昱姣，北大附中高一10班学生。 冯雨，特长：计算机程序编辑，高数微积分 孙昱姣，特长：富有想象力，观察力。

4

4.1

合作经历

选题背景

北大附中即将建立一幢新教学楼。而以同学们以往的经历感受，普遍反映夏天

开风扇降温时，常常会有这种现象发生：一些同学不能被吹到，感到非常闷热，由此学习效率受到很大影响；而同时我们也考虑到作为校方，在经济受限的状况下，是不能够以增加过多的设施来改善同学们的学习环境的，可以说是心有余而力不足。为此我们决定将这个问题作为论文的研究对象来分析解决，因为它既具有数学的理论意义，在生活中又有着显著的实际意义。

4.2 合作过程

事实上再从选题研究到解题的过程中，我们二人几乎是一直在共同工作的。尤

其是连续三个周末，我们都是在机房资料室度过的；由于我们班是住校的，所以每天晚上，我们都要找合适条件的教室，找试验用品，测量仪器，进行反复精确的测量，以获取尽量准确的数据。在这方面，校方和班主任等老师都给予了我们极大的帮助和支持。

怎样准备数学建模竞赛

离全国大学生数学建模竞赛（9月底）还有五个月时间，除去四六级考试，期末考试和暑假，也就只有两三个月时间准备了。而本校建模队选拔一般在数学建模课结束后一两周内进行，大约为6月中旬，也就只剩两个多月了。对于我们大部分新会员而言，对数学建模的概念都不是很清楚，一些基本知识也很缺乏，因此时间显得很紧张。那么，如何进行有效的准备呢？这个问题很多人问过我们，包括在网上的一些客人也来信询问过。关于这一点，我有以下几点建议（主要是针对新会员）： 1．上好“数学建模”课。这一点不必多说。

2．上好“数值计算”课。不要求学到精通的地步。因为现在大量的数学软件出现了，5很多算法都不用自己编程实现的，直接调用函数或命令即可。但是需要知道算法的大致原理。这一点很重要。因为即使现在看起来它没多大用处，而许多后续课程却是要用到的。将来研究生阶段要学到一门课程，数值分析如果没有数值计算的基础，是很难搞懂的。 3．多看参考书。分两类：第一类,基础知识类。有些数学建模的参考书写得很深，或者因为面面俱到而写得很简略，基本就是几个公式摆在那里，没有推导或推导过于简略，过于莫名其妙。虽说我们建模只要用到一些定理结论而不必管推导过程,但有些东西还是要知道它的来龙去脉才能理解得更深一些。比如关于插值，有些建模参考书只花两三页纸就把牛顿插值、拉格朗日插值、样条插值等等讲完了，全是公式，没有例题。这不利于初学。而在数值计算的书上一般是非常详尽的一章。

第二类，优秀论文类。这些文章一般写得很漂亮，但所用到的知识并不多，往往只用到一个方面的东西，如图论中的最短路、最小费用最大流或是概率论中的一个假设检验。因此较容易看懂。建议大家多看这些文章。与基础知识类相比，大家应把重点放在这一方面，看不懂文章的时候，再去查相应的参考书。这样的学习效率应该高些。在看别人论文的时候，还应学习其书写格式，其遣词造句的习惯。

4．学好一门编程语言；而且，Matlab一定要会用。这一点我们以前强调过多次，不再赘述。

5．熟悉Microsoft Word。因为我们目前无论是竞赛还是平时写论文，一般都是用它。但并不是要求你成为office专家，会用就得。

下个月中旬，协会打算与外校搞一次联合竞赛，其规则大体与全国竞赛相同。主要是给大家一次实战演习的机会，而不在于取得什么结果。这样的机会可能本学期仅此一次，请大家珍惜，好好准备一下，就当是全国竞赛一样。

如果想参加年底的美国大学生数学建模竞赛（MCM），除了掌握一些数学基本知识外，还要英语好，留心一下英语论文的习惯写法。协会现在有2000年的MCM的获奖优秀论文集，有会员要的话，可以与我们联系。

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北大附中 高一（10） 冯雨 孙昱姣 100080

关键词：风扇 场强

一

1 2 二

1

2 三

1 2 3 4 5

引言 .................................................................................................... 2 问题的提出 ........................................................................................ 2 问题的矛盾所在 ................................................................................ 2 数学模型的建立 ................................................................................ 2 几点假设 ............................................................................................ 2 1.1 假设1 ................................................................................... 2 1.2 假设2 ................................................................................... 2 1.3 假设3 ................................................................................... 3 数学模型 ............................................................................................ 3 模型的分析 ........................................................................................ 4 获得φ的解析式 ................................................................................ 4 求出φa, φb ........................................................................................... 5 φ的叠加性 ......................................................................................... 5 Ω=

ds的几何意义 .................................................................. 5

S

在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的 ....................... 5 5.1 简单说明 .............................................................................. 5 5.2 详细论述 .............................................................................. 6 5.3 结论 ...................................................................................... 6 6 在无限大平面上推广到N个波源时的情况 .................................... 6 7 模型解构 ............................................................................................ 7 四 结语 ........................................................................................................... 7 五 附录 .................................................................................................... 7

1 附图一 .............................................................................................. 8 2 参考文献 ............................................................................................ 8 3 作者简介 ............................................................................................ 8 4 合作经历 ............................................................................................ 9

4.1 选题背景 .............................................................................. 9 4.2 合作过程 .............................................................................. 9

一 引言 1

问题的提出

夏天将至，旧教室里的电风扇们马上要开始工作了。而北大附中的

新教学楼也正在计划建设之中。教室里的风扇应当如何安装，才能既省钱，又有最好的效果呢？现在旧教室的电风扇设计是否是最科学的呢？一连串的问号摆在了我们的面前，本文就将解决这几个问题。

2 问题的矛盾所在

注意这样一个事实，在风扇数目一定的情况下，风扇的位置如果不

同，造成的效果也会有不同，但一定可以找到效果最好的那组位置。设法量化这个效果，求出它和风扇的总价格的比值，随着风扇数目的变化，这个比值也在变化。它取到最大值时，我们就找到最佳方案了，因为这时单位支出得到了最大的效果。

二 数学模型的建立 1

几点假设

当然我们的教室是一个很复杂的环境，电风扇的影响是一个很复杂

的事件，所以我们需要做一些假设，以简化我们的讨论。

1.1 假设1

人是均匀的连续的分布在教室的地面上的，人上的每一个点对风扇

气流的感觉能力是相同的。

1.2 假设2

电扇的影响强度的量化方法：

每一个电扇都伴随着一个“影响场”，场的概念，就不详说了，参阅[参考文献

1]。这个场我们用字母φ来表示：

φ=φ(x ,y)

显然φ 是一个标量场。对以它的大小，我们将用实验来定义。

1.3 假设3

人对风的作用效果的感觉有阈值，表现为，人不能够感觉到过小的影响场，而

且对超过一个限度的影响场的感觉也是有限的。定义一个影响场φ对应这人的感觉场为ψ，ψ 同φ 满足如下关系：（φa称为感觉下限，φb称为感觉上限）

0当a



a当ab

当

abb

2 数学模型

以风扇的中心O为圆心，我们在相当大的一个范围内平均的撒上大小适度的纸

片。定义单位时间内一个直径为10cm的圆内纸片平均密度的变化量（视为常数）为该点处φ的大小。

在平面S上的特定区域，考察其中φ场的强度，做

出这样一个平面图：图中点的密度即可近似的表现出φ场。可以定性看出，在以叶扇长为半径的圆内，几乎没有φ场的分布，而在其外，场强呈放射性减弱。

因此，为了量化考虑场强与点到圆心的距离之关

系，在平面S上取一条过圆心O的直线，在直线上以O为原点建立坐标系(R)，这样对这直线上的点而言，我们可以画出φ ~R图。

三 模型的分析 1

通过将纸片撒在地上，将风级固定，在一定时间t内，观察测定纸片的密度变

化，得到如下试验结果：

获得φ的解析式

将这些点（r，Δρ）标于坐标纸上，通过拟和，可以得到一个经验公式：

0.3r当rr0e

0当rr0

2

以下我们取比例系数为1。

2

求出φa, φb

直接求出φa, φb是不可能的，这里我们由经验来确定之。不妨将感觉上限设为

φb=0.72（即叶片半径处的影响场强），现在应用纸条来确定感觉下限φa。将纸条放置于平面内，距圆心不同的位置上，打开风扇，观察纸条的振动情况。找到距圆心最近的使纸条几乎不动的位置（大约在2.2m处，记下它所在位置的场强即为φa（≈0.25）。

3 φ的叠加性

由于φ的定义是根据风扇对纸片的作用效果，在最简单的情况下，不同风扇的效果是互不相干的，即φ 是具有可加性的。 因此平面S上的每一个点处的影响场都可表示为

i

4

Ω=Sds的几何意义

在S上，作与之垂直的Z轴，用以标记φ 的大小。那么我们就得到了一幅如同

丘陵地图的立体图像。做出两平面S1:Z=φa和S2:Z=φb那么Ω就是S1,S2之间的体积。

5

5.1

在无限大平面上两个波源时Ω是如何取得最值的

简单说明

为了从简单入手，我们不妨先考虑在两个波源的连心线上φ 场的叠加。那么我

们以连心线的中心为原点，仍然建立一个r-φ 图将两个波源的φ 场强标在图上，再将

其叠加即可得到这条线上的点的φ 场总强度。但是在这时，随着两波源的圆心O1,O2的距离a的改变，而φ 的图像也是千变万化的。这一点由平面S上的场强分布叠加即可明确的表现出来。

5.2 详细论述

因此我们根据叠加后图像与同一坐标系上直线φ =φa的关系，可以将图像分为

以下三类：

1） 叠加后的图像最低点在直线φ =φa以下。 2） 叠加后的图像最低点在直线φ =φa以上。 3） 叠加后的图像最低点恰在直线φ =φa上。

显然，与第三类比较起来第一类中的效果不够显著，第二类中的资源有浪费现

象，而且φ 场较强部位过多。

5.3 结论

由此我们可以得出：两个波源时Ω=

ds是在两个波源连线中点处的φ 场

S

强为φa时取得。可以计算得出：此时的波源距离为：2×2.04=4.08(m)

6 在无限大平面上推广到N个波源

时的情况

在有n个波源时，任两个波源都应满足3.5的讨论，我们可以得出：N个波源

时Ω=

ds是在摆成如图情况，且两两取得最值时，才取得最值。

S

7 模型解构

如上图，我们把无限大的平面上的最优方案表示出来，把教室作为一个矩形框

向上框，可以发现只可以框住3~4个电风扇（教室的长为9.25米，宽为6.5米），也即室内最好的效果应是在3~4个风扇时取到的。

当然我们是希望在总效果不是太差的情况下取得最有性价比的方案，所以小于

ds实际上是无法直接积出的，虽然可以用数

值方法来求，但是实在没有这个必要。所以，我们改为计算与其意义相近的：Ω’=ds，



3个风扇就可以不管了。注意到Ω=

S

0

Ω’的意义很显然是指人有感觉的范围的面积。

下面我们描出无限大平面上ψ≠0的范围，如图中的阴影部分(参看附录中图

一)。显然是当教室如图I，图II时，分别有风扇影响效果最大的面积，用方格法可以计算出分别是：26.47m2, 19.14 m2

26.47 m2/4 > 19.14 m2/3 所以说四个风扇最优。

四 结语

经过长久的努力，本文终于画上了一个圆满的句号。在这里我们不想再对本文

的论述题目作过多的说明和分析，作为本文作者，我们只想强调一点：在经过反复的试验和极其复杂的运算后，我们居然得到了一幅极其简单而富有深刻意义的图形：在自然界中出现极为广泛的正六边形——这也是我们最初的一个假想。由此是否可以给我们一些启示：在世界上，也许一切的复杂与简单之间都是有的极大的联系和极小的差别的。

五 附录

1 附图一

图I

图II

2 参考文献

物理学中的场论//简明不列颠百科全书．8 /《简明不列颠百科全书》编辑部译

编.--北京：中国大百科全书出版社，1985.--380页

格点问题//中国大百科全书·数学/中国大百科全书总编辑委员会《数学》编辑委

员会编.－北京：中国大百科全书出版社，1988.－267页

3 作者简介

冯雨，孙昱姣，北大附中高一10班学生。 冯雨，特长：计算机程序编辑，高数微积分 孙昱姣，特长：富有想象力，观察力。

4

4.1

合作经历

选题背景

北大附中即将建立一幢新教学楼。而以同学们以往的经历感受，普遍反映夏天

开风扇降温时，常常会有这种现象发生：一些同学不能被吹到，感到非常闷热，由此学习效率受到很大影响；而同时我们也考虑到作为校方，在经济受限的状况下，是不能够以增加过多的设施来改善同学们的学习环境的，可以说是心有余而力不足。为此我们决定将这个问题作为论文的研究对象来分析解决，因为它既具有数学的理论意义，在生活中又有着显著的实际意义。

4.2 合作过程

事实上再从选题研究到解题的过程中，我们二人几乎是一直在共同工作的。尤

其是连续三个周末，我们都是在机房资料室度过的；由于我们班是住校的，所以每天晚上，我们都要找合适条件的教室，找试验用品，测量仪器，进行反复精确的测量，以获取尽量准确的数据。在这方面，校方和班主任等老师都给予了我们极大的帮助和支持。

怎样准备数学建模竞赛

离全国大学生数学建模竞赛（9月底）还有五个月时间，除去四六级考试，期末考试和暑假，也就只有两三个月时间准备了。而本校建模队选拔一般在数学建模课结束后一两周内进行，大约为6月中旬，也就只剩两个多月了。对于我们大部分新会员而言，对数学建模的概念都不是很清楚，一些基本知识也很缺乏，因此时间显得很紧张。那么，如何进行有效的准备呢？这个问题很多人问过我们，包括在网上的一些客人也来信询问过。关于这一点，我有以下几点建议（主要是针对新会员）： 1．上好“数学建模”课。这一点不必多说。

2．上好“数值计算”课。不要求学到精通的地步。因为现在大量的数学软件出现了，5很多算法都不用自己编程实现的，直接调用函数或命令即可。但是需要知道算法的大致原理。这一点很重要。因为即使现在看起来它没多大用处，而许多后续课程却是要用到的。将来研究生阶段要学到一门课程，数值分析如果没有数值计算的基础，是很难搞懂的。 3．多看参考书。分两类：第一类,基础知识类。有些数学建模的参考书写得很深，或者因为面面俱到而写得很简略，基本就是几个公式摆在那里，没有推导或推导过于简略，过于莫名其妙。虽说我们建模只要用到一些定理结论而不必管推导过程,但有些东西还是要知道它的来龙去脉才能理解得更深一些。比如关于插值，有些建模参考书只花两三页纸就把牛顿插值、拉格朗日插值、样条插值等等讲完了，全是公式，没有例题。这不利于初学。而在数值计算的书上一般是非常详尽的一章。

第二类，优秀论文类。这些文章一般写得很漂亮，但所用到的知识并不多，往往只用到一个方面的东西，如图论中的最短路、最小费用最大流或是概率论中的一个假设检验。因此较容易看懂。建议大家多看这些文章。与基础知识类相比，大家应把重点放在这一方面，看不懂文章的时候，再去查相应的参考书。这样的学习效率应该高些。在看别人论文的时候，还应学习其书写格式，其遣词造句的习惯。

4．学好一门编程语言；而且，Matlab一定要会用。这一点我们以前强调过多次，不再赘述。

5．熟悉Microsoft Word。因为我们目前无论是竞赛还是平时写论文，一般都是用它。但并不是要求你成为office专家，会用就得。

下个月中旬，协会打算与外校搞一次联合竞赛，其规则大体与全国竞赛相同。主要是给大家一次实战演习的机会，而不在于取得什么结果。这样的机会可能本学期仅此一次，请大家珍惜，好好准备一下，就当是全国竞赛一样。

如果想参加年底的美国大学生数学建模竞赛（MCM），除了掌握一些数学基本知识外，还要英语好，留心一下英语论文的习惯写法。协会现在有2000年的MCM的获奖优秀论文集，有会员要的话，可以与我们联系。