4. （2010·全国新课标）设F 1、F 2分别是椭圆E ：x +
2
y b
22
=1 (0
的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且｜AF 2｜，｜AB ｜，｜BF 2｜成等差数列. （1）求｜AB ｜；
（2）若直线l 的斜率为1, 求b 的值.
解：（1）由椭圆定义知｜AF 2｜+｜AB ｜+｜BF 2｜＝4，
又2｜AB ｜=|AF2|+|BF2|，得｜AB ｜＝（2）l 的方程为y=x+c,
其中c =设A （x 1,y 1) ，B （x 2,y 2) ，
⎧y =x +c ,
⎪2则A 、B 两点坐标满足方程组⎨ y 2
⎪x +2=1,
b ⎩
43
.
化简得(1+b)x +2cx+1-2b=0. 则x 1+x 2=
-2c 1+b
2
222
, x 1x 2=
1-2b 1+b
2
2
.
因为直线AB 的斜率为1, 所以｜AB
｜＝即
43=
｜x 2-x 1｜,
｜x 2-x 1｜.
2
则
98
=(x 1+x 2)-4x 1x 2=
2
4(1-b )
(1+b )
2
2
-
4(1-2b 1+b
2
2
)
2
=
8b
42
2
(1+b )
,
解得b =
2
3、若椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴的一个端点与左右焦点F 1、F 2组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M , 求直线MF 1的斜率k 的取值范围.
解：(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为
x a
22
3
.
+
y b
22
=1(a >b >0) ……1 分
⎧a =2c ⎪
由⎨a -c =3⇒a =23, c =⎪222a =b +c ⎩
3, b =3. ……4 分
所以，椭圆C 的方程为
x
2
12
+
y
2
9
1 =1. ……○ ……5 分
(Ⅱ) F 1(-3, 0) 、F 2(3, 0) ，
当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点为F 2，直线MF 1的斜率k =0；……6 分 当直线l 的斜率存在时，设其斜率为m ，直线AB 的方程为
y =m (x -
2 3) ，……○
……7 分
22221○2联立消去y 并整理得：(3+4m ) x -83m x +12m -36=0 由○
设M (x 0, y 0) ，则x 0=
43m 3+4m
22
, y 0=m (x 0-
3) =
-33m 3+4m
2
……10分
当m =0时，AB 的中点为坐标原点，直线MF 1的斜率k =0； ……11 分 当m ≠0时，k =
y 0x 0+
183
68
68
3
=
-3m 8m +3
2
，
|k |=
3|m |8m +3
2
=
|m |+
1|m |
≤2
183|m |⋅
1|m |
=
68
∴-≤k ≤且k ≠0. ……13 分
综上所述，直线MF 1的斜率k 的取值范围是[-20. （本小题满分14分） 已知椭圆
（a>b>0）, 点P （
,
68
,
68
].
）在椭圆上。
（I ）求椭圆的离心率。
（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。
21.
【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的
⎛e 左、右焦点分别为F 1(-c ，0) ，F 2(c ，0) ．已知(1，
都在椭圆上，其中e 为椭圆的e ) 和 2⎝⎭
离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A , B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ．
（i
）若AF 1-BF 2=
2
，求直线AF 1的斜率；
（ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．
【答案】解：（1）由题设知，a 2=b 2+c 2，e =
c a
，由点(1，e ) 在椭圆上，得
1a
22
+
e b
22
=1⇒
1a
2
+
c
2
22
a b
=1⇒b +c =a b ⇒a =a b ⇒b =1
22222222
，
∴c 2=a 2-1。
⎛e 由点 在椭圆上，得
2⎝⎭
e a
22
+
⎝2⎭b
2
2
24
=1⇒
c a
⎛ ⎝2⎭+
1
2
2
=1⇒
a -1a
4
+
34
=1⇒a -4a +4=0⇒a =2
422
∴椭圆的方程为
x
2
2
+y =1。
2
（2）由（1）得F 1(-1，0) ，F 2(1，0) ，又∵AF 1∥BF 2， ∴设
AF 1
、BF 2
的方程分别为
my =x +1，my =x -1
，
A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0。
⎧x 12
2
+y 1=1⎪22
⇒m +2y 1-2m y 1-1=0⇒y 1= ∴⎨2。 m +2⎪m y =x +1
⎩11
(
)
∴
AF 1
2
m +2
=
m +1)+2
m +
2
2
。①
同理，BF 2=
m +1)-m +2
2
。②
（i ）由①②得，AF 1-
BF 2=
m +
2
m +2
2
得m 2=2。
∵注意到
m >0，∴m 。 ∴直线AF 1
的斜率为
1m =
2
PB PF 1
BF 2AF 1
（ii ）证明：∵
AF 1
∥BF 2
，∴
=
，即
PB PF 1
+1=
BF 2AF
+1⇒
1
PB +PF PF
1=1
BF +AF 2
AF
。
1
1
∴PF 1=
AF 1AF 1+BF 2
BF 1。
由点B
在椭圆上知，BF 1+BF 2=
，∴PF 1=
AF 1AF 1+BF 2
(BF 2。
)
同理。PF 2=
∴PF 1+PF 2=
AF 1AF 1+BF 2
BF 2AF 1+BF 2
(AF 1。
)
(
BF 2+
)
BF 2AF 1+BF 2
(
AF 1=)
2AF BF 2AF 1+BF 2
由①②得，AF 1+BF =
∴P F 1+P F 22
m +1m +2
2
2
)，
AF BF =
m +1m +2
2
2
，
∴PF 1+PF 2是定值。
22. 【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
如图，F 1, F 2分别是椭圆C ：
x a
22
+
y b
22
=1（a >b >）
的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1A F 2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）已知△A F 1B 的面积为403，求a, b 的值.
【解析】
25. 【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆M :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
，直线x =±a 和y =±b 所围成的矩
形ABCD 的面积为
8.
(Ⅰ) 求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l :y =x +m (m ∈R ) 与椭圆M 有两个不同的交点P , Q , l 与矩形ABCD 有两个
不同的交点S , T . 求
c a
2
|P Q ||ST |
2
的最大值及取得最大值时m 的值.
2
【答案】(21)
(I)e =
=⇒
a -b a
2
=
34
……①
矩形ABCD 面积为8，即2a ⋅2b =8……② 由①②解得：a =2, b =1， ∴椭圆M 的标准方程是
x
2
4
+y =1.
2
⎧x 2+4y 2=4, 22(II)⎨⇒5x +8m x +4m -4=0， ⎩y =x +m ,
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=-m , x 1x 2=
5
84m -4
5
2
，
由∆=64m 2-20(4m 2-4) >
0得m
.
|PQ |=
.
当l 过A 点时，m =1，当l 过C 点时，m =-1.
①当m
1时，有S (-m -1, -1), T (2,2+m ),|ST |=
|PQ ||ST |
=+m ) ，
|P Q ||ST
|
其中t =m +3，由此知当=
t
134
，即t =
43
, m =-53
53
∈(-1) 时，|P Q ||ST
|
.
②由对称性，可知若1
1时，|ST |=
|P Q ||ST
|
|PQ ||ST |
时，
.
=，
由此知，当m =0时，
53
|P Q ||ST
|
.
22
综上可知，当m =±和0时，.
1. 【2012高考新课标文4】设F 1F 2是椭圆E :线x =
3a 2
x a
22
+
y b
=1(a >b >0) 的左、右焦点，P 为直
上一点，∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
12
(A ) (B )
23
(C )
34
(D )
45
【答案】C
【解析】因为∆F 2PF 1是底角为30
的等腰三角形，则有
F 2F 1=
F 2P
,
2
，因为
=30，所以F 2D =
∠PF 1F 2=30
3a 2
，所以
12
⨯2c =c ，
∠PF 2D =60, ∠DPF
12
PF 2=
12
F 1F 2，即
-c =
所以
3a 2
=2c ，即
c a
=
34
，所以椭圆的离心率为e =
34
，选C.
25. 【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆M :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
，直线x =±a 和y =±b 所围成的矩
形ABCD 的面积为
8.
(Ⅰ) 求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l :y =x +m (m ∈R ) 与椭圆M 有两个不同的交点P , Q , l 与矩形ABCD 有两个
不同的交点S , T . 求
c a
2
|P Q ||ST |
2
的最大值及取得最大值时m 的值.
2
【答案】(21)
(I)e =
=⇒
a -b a
2
=
34
……①
矩形ABCD 面积为8，即2a ⋅2b =8……② 由①②解得：a =2, b =1， ∴椭圆M 的标准方程是
x
2
4
+y =1.
2
⎧x 2+4y 2=4, 22(II)⎨⇒5x +8m x +4m -4=0， ⎩y =x +m ,
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=-m , x 1x 2=
5
84m -4
5
2
，
由∆=64m 2-20(4m 2-4) >
0得m
.
|PQ |=
.
当l 过A 点时，m =1，当l 过C 点时，m =-1.
①当m
1时，有S (-m -1, -1), T (2,2+m ),|ST |=
|PQ ||ST |
=+m ) ，
|P Q ||ST
|
其中t =m +3，由此知当=
t
134
，即t =
43
, m =-53
53
∈(-1) 时，|P Q ||ST
|
.
②由对称性，可知若1
|PQ ||ST |
③当-1≤m ≤
1时，|ST |=
由此知，当m =0时，
53|P Q ||ST
|
=，
|P Q ||ST
|
.
综上可知，当m =±和0时，.
30. 【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为的圆心.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
12
的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y2-4x+2=0
（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为相切时，求P 的坐标.
【答案】
12
的直线l 1，l 2. 当直线l 1，l 2都与圆C
【解析】（Ⅰ）由x 2+y 2-4x +2=0，得(x -2) 2+y 2=2. 故圆Ｃ的圆心为点
x a
2
22
(2,0), 从而可设椭圆Ｅ的方程为
c a
2
+
y b
2
22
=1(a >b >0), 其焦距为2c ，由题设知
2
c =2, e ==
12
, ∴a =2c =4, b =a -c =12. 故椭圆Ｅ的方程为：
x
2
16
+
y
12
=1.
（Ⅱ）设点p 的坐标为(x 0, y 0) ，l 1, l 2的斜分率分别为k 1, k 2. 则l 1, l 2的方程分别为
l 1:y -y 0=k 1(x -x ) , l :y -02
y =0
k (x -2
x ) , k 1k 2=且0
12
. 由l 1与圆c :(x -2) +y =2相
2
2
切，得
x =，
即 ⎡-x 0
⎣(2同理可得 ⎡-x 0
⎣(2
2
2
) -⎤2k +1⎦2) -⎤2k ⎦2+
-2(x 20-2(x 20
y 0+k ) 2-y =0y 0+k ) 2-y =0
2
2
20. 0
2
. 2
02
⎤k 2+2(2-x 0) y 0k +y 0从而k 1, k 2是方程⎡(2-x ) -2-2=0的两个实根，于是 0⎣⎦
2
⎧(2-x ) -2≠0, 0⎪
⎨ ① 22
⎤∆=8⎡⎪⎣(2-x 0) +y 0-2⎦>0, ⎩
且k 1k 2=
y 0-2(2-x 2) -2
2
2
=2.
22
⎧x 0y 0
+=1, ⎪
10⎪16122
由⎨得解得或x =. 5x -8x -36=0. x =2, 00002
5y -210⎪=2
⎪⎩(2-x 0) -22
由x 0=-2得y 0=±3; 由x 0=
185
得y 0=±
5185
它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
(-2, 3) ，或(-2, -
3) ，或(
185
5
，或(, -
5
.
31. 【2012高考湖北文21】（本小题满分14分） 设A 是单位圆x 2+y2=1上任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。
（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m, 使得对任意的K>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】
33. 【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
222
如图，动圆C 1:x +y =t ,1
与椭圆C 2：
x
2
9
+y =1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1, A 2分别为C 2的左，右顶点。
2
(Ⅰ) 当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。 【答案】
【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 35. 【2012高考四川文21】(本小题满分12分)
如图，动点M 与两定点A (-1, 0) 、B (1,0) 构成∆M A B ，且直线M A 、M B 的斜率之积
y
M
为4，设动点M 的轨迹为C 。（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
x
（Ⅱ）设直线y =x +m (m >0) 与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且
|PQ |
|PR ||PQ |
的取值范围。
【答案】 【解析】
36. 【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为
F 1, F 2 ，线段OF 1, OF 2 的中点分别为B 1, B 2 ，且△A B 1B 2是面积为4的直角三
角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B 1 作直线交椭圆于P , Q ，
PB 2⊥Q B 2，求△P B 2Q 的面积
【答案】（Ⅰ）
x
2
20
+
y
2
4
=1
（Ⅱ）
9
37.
【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
x
2
已知椭圆C 1:
4
+y =1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率。
2
（1）求椭圆C 2的方程；
（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB =2OA ，求直线AB 的方程。
【答案】
4. （2010·全国新课标）设F 1、F 2分别是椭圆E ：x +
2
y b
22
=1 (0
的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且｜AF 2｜，｜AB ｜，｜BF 2｜成等差数列. （1）求｜AB ｜；
（2）若直线l 的斜率为1, 求b 的值.
解：（1）由椭圆定义知｜AF 2｜+｜AB ｜+｜BF 2｜＝4，
又2｜AB ｜=|AF2|+|BF2|，得｜AB ｜＝（2）l 的方程为y=x+c,
其中c =设A （x 1,y 1) ，B （x 2,y 2) ，
⎧y =x +c ,
⎪2则A 、B 两点坐标满足方程组⎨ y 2
⎪x +2=1,
b ⎩
43
.
化简得(1+b)x +2cx+1-2b=0. 则x 1+x 2=
-2c 1+b
2
222
, x 1x 2=
1-2b 1+b
2
2
.
因为直线AB 的斜率为1, 所以｜AB
｜＝即
43=
｜x 2-x 1｜,
｜x 2-x 1｜.
2
则
98
=(x 1+x 2)-4x 1x 2=
2
4(1-b )
(1+b )
2
2
-
4(1-2b 1+b
2
2
)
2
=
8b
42
2
(1+b )
,
解得b =
2
3、若椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴的一个端点与左右焦点F 1、F 2组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M , 求直线MF 1的斜率k 的取值范围.
解：(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为
x a
22
3
.
+
y b
22
=1(a >b >0) ……1 分
⎧a =2c ⎪
由⎨a -c =3⇒a =23, c =⎪222a =b +c ⎩
3, b =3. ……4 分
所以，椭圆C 的方程为
x
2
12
+
y
2
9
1 =1. ……○ ……5 分
(Ⅱ) F 1(-3, 0) 、F 2(3, 0) ，
当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点为F 2，直线MF 1的斜率k =0；……6 分 当直线l 的斜率存在时，设其斜率为m ，直线AB 的方程为
y =m (x -
2 3) ，……○
……7 分
22221○2联立消去y 并整理得：(3+4m ) x -83m x +12m -36=0 由○
设M (x 0, y 0) ，则x 0=
43m 3+4m
22
, y 0=m (x 0-
3) =
-33m 3+4m
2
……10分
当m =0时，AB 的中点为坐标原点，直线MF 1的斜率k =0； ……11 分 当m ≠0时，k =
y 0x 0+
183
68
68
3
=
-3m 8m +3
2
，
|k |=
3|m |8m +3
2
=
|m |+
1|m |
≤2
183|m |⋅
1|m |
=
68
∴-≤k ≤且k ≠0. ……13 分
综上所述，直线MF 1的斜率k 的取值范围是[-20. （本小题满分14分） 已知椭圆
（a>b>0）, 点P （
,
68
,
68
].
）在椭圆上。
（I ）求椭圆的离心率。
（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。
21.
【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的
⎛e 左、右焦点分别为F 1(-c ，0) ，F 2(c ，0) ．已知(1，
都在椭圆上，其中e 为椭圆的e ) 和 2⎝⎭
离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A , B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P ．
（i
）若AF 1-BF 2=
2
，求直线AF 1的斜率；
（ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．
【答案】解：（1）由题设知，a 2=b 2+c 2，e =
c a
，由点(1，e ) 在椭圆上，得
1a
22
+
e b
22
=1⇒
1a
2
+
c
2
22
a b
=1⇒b +c =a b ⇒a =a b ⇒b =1
22222222
，
∴c 2=a 2-1。
⎛e 由点 在椭圆上，得
2⎝⎭
e a
22
+
⎝2⎭b
2
2
24
=1⇒
c a
⎛ ⎝2⎭+
1
2
2
=1⇒
a -1a
4
+
34
=1⇒a -4a +4=0⇒a =2
422
∴椭圆的方程为
x
2
2
+y =1。
2
（2）由（1）得F 1(-1，0) ，F 2(1，0) ，又∵AF 1∥BF 2， ∴设
AF 1
、BF 2
的方程分别为
my =x +1，my =x -1
，
A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0。
⎧x 12
2
+y 1=1⎪22
⇒m +2y 1-2m y 1-1=0⇒y 1= ∴⎨2。 m +2⎪m y =x +1
⎩11
(
)
∴
AF 1
2
m +2
=
m +1)+2
m +
2
2
。①
同理，BF 2=
m +1)-m +2
2
。②
（i ）由①②得，AF 1-
BF 2=
m +
2
m +2
2
得m 2=2。
∵注意到
m >0，∴m 。 ∴直线AF 1
的斜率为
1m =
2
PB PF 1
BF 2AF 1
（ii ）证明：∵
AF 1
∥BF 2
，∴
=
，即
PB PF 1
+1=
BF 2AF
+1⇒
1
PB +PF PF
1=1
BF +AF 2
AF
。
1
1
∴PF 1=
AF 1AF 1+BF 2
BF 1。
由点B
在椭圆上知，BF 1+BF 2=
，∴PF 1=
AF 1AF 1+BF 2
(BF 2。
)
同理。PF 2=
∴PF 1+PF 2=
AF 1AF 1+BF 2
BF 2AF 1+BF 2
(AF 1。
)
(
BF 2+
)
BF 2AF 1+BF 2
(
AF 1=)
2AF BF 2AF 1+BF 2
由①②得，AF 1+BF =
∴P F 1+P F 22
m +1m +2
2
2
)，
AF BF =
m +1m +2
2
2
，
∴PF 1+PF 2是定值。
22. 【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
如图，F 1, F 2分别是椭圆C ：
x a
22
+
y b
22
=1（a >b >）
的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1A F 2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）已知△A F 1B 的面积为403，求a, b 的值.
【解析】
25. 【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆M :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
，直线x =±a 和y =±b 所围成的矩
形ABCD 的面积为
8.
(Ⅰ) 求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l :y =x +m (m ∈R ) 与椭圆M 有两个不同的交点P , Q , l 与矩形ABCD 有两个
不同的交点S , T . 求
c a
2
|P Q ||ST |
2
的最大值及取得最大值时m 的值.
2
【答案】(21)
(I)e =
=⇒
a -b a
2
=
34
……①
矩形ABCD 面积为8，即2a ⋅2b =8……② 由①②解得：a =2, b =1， ∴椭圆M 的标准方程是
x
2
4
+y =1.
2
⎧x 2+4y 2=4, 22(II)⎨⇒5x +8m x +4m -4=0， ⎩y =x +m ,
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=-m , x 1x 2=
5
84m -4
5
2
，
由∆=64m 2-20(4m 2-4) >
0得m
.
|PQ |=
.
当l 过A 点时，m =1，当l 过C 点时，m =-1.
①当m
1时，有S (-m -1, -1), T (2,2+m ),|ST |=
|PQ ||ST |
=+m ) ，
|P Q ||ST
|
其中t =m +3，由此知当=
t
134
，即t =
43
, m =-53
53
∈(-1) 时，|P Q ||ST
|
.
②由对称性，可知若1
1时，|ST |=
|P Q ||ST
|
|PQ ||ST |
时，
.
=，
由此知，当m =0时，
53
|P Q ||ST
|
.
22
综上可知，当m =±和0时，.
1. 【2012高考新课标文4】设F 1F 2是椭圆E :线x =
3a 2
x a
22
+
y b
=1(a >b >0) 的左、右焦点，P 为直
上一点，∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
12
(A ) (B )
23
(C )
34
(D )
45
【答案】C
【解析】因为∆F 2PF 1是底角为30
的等腰三角形，则有
F 2F 1=
F 2P
,
2
，因为
=30，所以F 2D =
∠PF 1F 2=30
3a 2
，所以
12
⨯2c =c ，
∠PF 2D =60, ∠DPF
12
PF 2=
12
F 1F 2，即
-c =
所以
3a 2
=2c ，即
c a
=
34
，所以椭圆的离心率为e =
34
，选C.
25. 【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆M :
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >
0) 2
，直线x =±a 和y =±b 所围成的矩
形ABCD 的面积为
8.
(Ⅰ) 求椭圆M 的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l :y =x +m (m ∈R ) 与椭圆M 有两个不同的交点P , Q , l 与矩形ABCD 有两个
不同的交点S , T . 求
c a
2
|P Q ||ST |
2
的最大值及取得最大值时m 的值.
2
【答案】(21)
(I)e =
=⇒
a -b a
2
=
34
……①
矩形ABCD 面积为8，即2a ⋅2b =8……② 由①②解得：a =2, b =1， ∴椭圆M 的标准方程是
x
2
4
+y =1.
2
⎧x 2+4y 2=4, 22(II)⎨⇒5x +8m x +4m -4=0， ⎩y =x +m ,
设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=-m , x 1x 2=
5
84m -4
5
2
，
由∆=64m 2-20(4m 2-4) >
0得m
.
|PQ |=
.
当l 过A 点时，m =1，当l 过C 点时，m =-1.
①当m
1时，有S (-m -1, -1), T (2,2+m ),|ST |=
|PQ ||ST |
=+m ) ，
|P Q ||ST
|
其中t =m +3，由此知当=
t
134
，即t =
43
, m =-53
53
∈(-1) 时，|P Q ||ST
|
.
②由对称性，可知若1
|PQ ||ST |
③当-1≤m ≤
1时，|ST |=
由此知，当m =0时，
53|P Q ||ST
|
=，
|P Q ||ST
|
.
综上可知，当m =±和0时，.
30. 【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为的圆心.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
12
的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y2-4x+2=0
（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为相切时，求P 的坐标.
【答案】
12
的直线l 1，l 2. 当直线l 1，l 2都与圆C
【解析】（Ⅰ）由x 2+y 2-4x +2=0，得(x -2) 2+y 2=2. 故圆Ｃ的圆心为点
x a
2
22
(2,0), 从而可设椭圆Ｅ的方程为
c a
2
+
y b
2
22
=1(a >b >0), 其焦距为2c ，由题设知
2
c =2, e ==
12
, ∴a =2c =4, b =a -c =12. 故椭圆Ｅ的方程为：
x
2
16
+
y
12
=1.
（Ⅱ）设点p 的坐标为(x 0, y 0) ，l 1, l 2的斜分率分别为k 1, k 2. 则l 1, l 2的方程分别为
l 1:y -y 0=k 1(x -x ) , l :y -02
y =0
k (x -2
x ) , k 1k 2=且0
12
. 由l 1与圆c :(x -2) +y =2相
2
2
切，得
x =，
即 ⎡-x 0
⎣(2同理可得 ⎡-x 0
⎣(2
2
2
) -⎤2k +1⎦2) -⎤2k ⎦2+
-2(x 20-2(x 20
y 0+k ) 2-y =0y 0+k ) 2-y =0
2
2
20. 0
2
. 2
02
⎤k 2+2(2-x 0) y 0k +y 0从而k 1, k 2是方程⎡(2-x ) -2-2=0的两个实根，于是 0⎣⎦
2
⎧(2-x ) -2≠0, 0⎪
⎨ ① 22
⎤∆=8⎡⎪⎣(2-x 0) +y 0-2⎦>0, ⎩
且k 1k 2=
y 0-2(2-x 2) -2
2
2
=2.
22
⎧x 0y 0
+=1, ⎪
10⎪16122
由⎨得解得或x =. 5x -8x -36=0. x =2, 00002
5y -210⎪=2
⎪⎩(2-x 0) -22
由x 0=-2得y 0=±3; 由x 0=
185
得y 0=±
5185
它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
(-2, 3) ，或(-2, -
3) ，或(
185
5
，或(, -
5
.
31. 【2012高考湖北文21】（本小题满分14分） 设A 是单位圆x 2+y2=1上任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。
（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m, 使得对任意的K>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】
33. 【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
222
如图，动圆C 1:x +y =t ,1
与椭圆C 2：
x
2
9
+y =1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1, A 2分别为C 2的左，右顶点。
2
(Ⅰ) 当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。 【答案】
【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 35. 【2012高考四川文21】(本小题满分12分)
如图，动点M 与两定点A (-1, 0) 、B (1,0) 构成∆M A B ，且直线M A 、M B 的斜率之积
y
M
为4，设动点M 的轨迹为C 。（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
x
（Ⅱ）设直线y =x +m (m >0) 与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且
|PQ |
|PR ||PQ |
的取值范围。
【答案】 【解析】
36. 【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为
F 1, F 2 ，线段OF 1, OF 2 的中点分别为B 1, B 2 ，且△A B 1B 2是面积为4的直角三
角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B 1 作直线交椭圆于P , Q ，
PB 2⊥Q B 2，求△P B 2Q 的面积
【答案】（Ⅰ）
x
2
20
+
y
2
4
=1
（Ⅱ）
9
37.
【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
x
2
已知椭圆C 1:
4
+y =1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率。
2
（1）求椭圆C 2的方程；
（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB =2OA ，求直线AB 的方程。
【答案】