第19卷 第2期人 文 地 理Vol119,No12
2004年4月HUMANGEOGRAPHYApr12004 文章编号:1003—2398(2004)02—0012—05
城市断裂点理论的验证、扩展及应用
闫卫阳1,秦耀辰2,郭庆胜1,李圣权1
Ξ
(11武汉大学资源与环境科学学院,武汉 430079;21河南大学环境与规划学院,开封 475001)
EXPANDING,VALIDATIONANDAPPLICATION
OFURBANBREAKING2YANWei2yang1,QINYao2chen2,212quan1
(1.SchoolofResourcesand,,Wuhan430079,China;
2.Collegeof,niversity,Kaifeng,475001,China)
Abstract:iswidelyusedindelimitingurbanabstractedregionsanddivid2ingupBecausethetheoryjustgivesonlyonebreakingpointbetweentwocities,manyforpartitioningspaceareused,forinstance,makingverticallinethroughthebreakingpointonthelinkedlinebetweentheneartwocitiesandlinkingthenearbreakingpointswithsmoothlines.Infact,thesearenotfeasibleandnotrigorous.
Asacommonmethodofdividingspace,Voronoidiagramisusuallyusedincartography,meteo2rology,geognosy,archeology,chemistry,ecology,andcomputationalscience,etc.butitisrarelyusedinurbangeographyhomeandabroadbecauseofmanycauses.WangXin2shengetal.puttedfor2wardtwomethodsofdelimitingurbanabstractedregionswithordinaryVoronoidiagramandweightedVoronoidiagramwhichweightsaretheeachcityπscentralstrengthvalue,butsomeviewpointsshouldbediscusseddeeply.OkabeandSuzukistudiedonthelocationπsoptimizeofdifferentlevelestablish2mentsinacontinuousplane,andvalidatedChristallerπsCentralPlaceTheoryinurbangeography,etc.
Inthispaper,theexpandedBreakingPointTheoryandtheconceptionofbreakingarcswereputtedforwardbycontrastingtheVoronoidiagramtotheclassicaltheory.Itwasprovedthatinawell2proportionedplane,theboundarybetweentwocityπsabstractedregionsistheverticalbisectoroftheconnectedlinewiththemifthecitiesπweightsareequal;theboundaryisanarciftheweightsarenotequal;theorbitofallthebreakingpointsintheplaneformsordinaryVoronoidiagramandweightedVoronoidiagramaccordingly;andeachcityπsweightequalstothesquarerootofitscentralstrengthvalueinthesecondsituation.Asademonstration,theexpandedtheorywasusedinHenanprovince,andtheschemeoftheurbaneconomicregionswasputtedforward.ItisnoticedthatbecauseofthecomplexityanddifficultyofmakingweightedVoronoidiagram,thewideapplicationsinmanyfieldsarerestrictedinlargeextent,especiallyinurbangeography.Itshouldbepointedoutthattheexpand2edtheoryisstillatheoreticmodelthatmustbeverifiedinactualapplications,andtheauthorsexpectfartherdiscussion.
Keywords:ordinaryVoronoidiagram;weightedVoronoidiagram;expandedbreakingpointtheory;
urbanspatialabstractedregions
Ξ
收稿日期:2003—06—03;修订日期:203—10—08
基金项目:国家自然科学基金(49971068)和国家教育部青年骨干教师基金(2000G07)资助项目
),男,河南省方城县人,博士生,研究方向为城市地理、地理信息系统理论及应用。作者简介:闫卫阳(1968—
2期 闫卫阳等:城市断裂点理论的验证、扩展及应用 13
提 要:P.D.Converse提出的城市断裂点理论被广泛用来确定城市的空间影响范围和城市经济区的划分。由于该理论仅给出了每两个城市间一个断裂点的计算公式,在实际应用中就出现了多种空间分割方法。分析表明,许多方法是不可行、不严密的。本文通过对比分析Voronoi图和城市断裂点理论的性质,提出了扩展断裂点理论和断裂弧的概念。并证明:在匀质平面区域内,如果两个城市点的权重相同,那么其吸引范围的分界线是这两个城市点连线的垂直平分线;如果它们的权重不同,那么其吸引范围的分界线是一个圆弧;平面内所有断裂点的轨迹分别构成常规
Voronoi图和加权Voronoi图,并且每个城市点的权重
体的计算方法。该理论将相邻两个城市间的吸引力达到平衡的点定义为断裂点(BreakingPoint),并给出计算公式[1]:
dA=DAB/(1+
PB/PA)PA/PB)
(1)
或dA=DAB/(1+
其中,dA,dB分别为断裂点到两城的距离,DAB为两城的直线距离,PB,PA分别为两城的人口。
如前所述,在实际应用中断裂点理论具有很大的局限性。
第一,,但,需选取反映、综合分析和评价。本。
,当一个区域内城市点很多时,容易出现三点共,就无法构建Delaunay三角网,断裂点的自动标注也无法完成。
第三,公式仅计算相邻两个城市的一个断裂点,而两城市间的吸引范围的界限是一条线。因此,在具体界定时就出现了多种方法,具有很大的任意性。
(1)过断裂点作垂线方法。过断裂点作垂线对整个区
分别等于其中心性强度值的平方根。最后,以河南省用分析。
关键词:常规Voronoi图;点理论;中图分类号:A
城市断裂点理论作为城市地理学的一个重要理论,被广泛用来确定城市吸引范围和城市经济区的划分[1—4]。赖利(W.J.Reily)1931年根据牛顿力学万有引力理论,提出了“零售引力规律”。康弗斯(P.D.Converse)发展了赖利的理论,于1949年提出断裂点(BreakingPoint)概念,并给出计算方法[1]。但是,由于断裂点理论仅仅给出了相邻两个城市之间吸引范围的一个平衡点,在实际划分城市吸引范围时,就出现了多种方法,如过相邻断裂点作垂线,用平滑曲线连接相邻断裂点等[4]。我们发现,这些方法虽然在实际应用中发挥了一定的作用,但是在很多情况下是不可行的,而且从严格意义上讲,是不科学、不严密的。
将Voronoi图应用于城市地理学,国内外的研究较少。王新生等提出用常规Voronoi图和以中心性强度为权重构建加权Voronoi图界定城市的空间影响范围的方法[5,12],其中的某些问题仍有待商榷。Okabe和Suzuki研究了连续平面空间上不同等级设施区位优化问题,并用于验证城市地理学中克里斯泰勒的中心地理论[13],Okabe等还将加权
Voronoi图应用于城市体系、城市功能区域、理论上的行政
域进行分割,容易出现多解的情况。因为多条垂线相交,往往会形成若干个小的三角形区域。如何解决小三角区域的归属问题以及图形生成都十分困难。
(2)用平滑曲线连接相邻断裂点方法。这种方法形成
的图形具有很大的任意性。图1(a)和(b)中有5个城市点,用平滑曲线连接相同的8
个断裂点,但是划分的城市吸引范围却明显不同。
图1 用平滑曲线连接断裂点
Fig11 Linkthebreakingpointswithsmoothlines
2 Voronoi图的定义、性质及应用
早在1850年Dirichlet及1908年Voronoi在论文中都讨论过Voronoi图的概念。后来,荷兰气象学家泰森
(Thiessen,1914)将其应用到气象观测中,人们为纪念他,
区、设施定位等研究
[14]
。
本文证明:假定断裂点理论计算的断裂点是正确的,并且任意两个城市的中心性强度是不同的,那么相邻两个城市的吸引范围的界线是唯一确定的,并且由一个或若干条圆弧组成。区域内所有城市的吸引范围构成一个加权
Voronoi图,并且每个城市的权重是其中心性强度值的平方
又把Voronoi图称作泰森多边形。但是,由于缺乏简便有效的Voronoi图的生成方法,其应用受到很大的限制。直到20世纪70年代,Shamos和Hoey不仅提出了一种构建
Voronoi图的算法,而且阐述了其许多应用领域,从而导致
根。最后,以河南省为例,提出了基于扩展断裂点理论的加权Voronoi图的构建方法和城市经济区划分方法。
了计算几何的诞生[5,6]。
211 常规Voronoi图
1 城市断裂点理论及其缺陷
P.D.Converse1949年提出了断裂点理论,给出了具
设平面上的一个控制点集P={p1,p2,…,pn},
人 文 地 理 19卷14
其中任意两点都不共位,且任意四点都不共圆。则任意点
pi的Voronoi图定义为[7]:
Ti={x∶d(x,pi)
每个城市的中心性强度大小不同,在这种情况下,每个城市按照自己影响力的大小(即空间目标的权重)为速度向周围扩张,最终形成各自的影响范围,应该说是顺理成章的。这也是加权Voronoi图生成的基本思想。我们考虑到,既然断裂点理论计算了有限个断裂点的位置,并假定是正确的,那么其它分界点的位置是否是唯一确定的,是否符合加权Voronoi图的几何特征,每个城市点的权重又是多少?
,我们可以得出如下三个重要推论,。
推论1:()。用公式表示为:
dAdB=AB
(4)
(2)
在此d为欧氏距离。
Voronoi图的一个重要性质就是,位于Voronoi图网格
中的每一个点到该网格中心的距离都小于到其它格网中心点的距离。这个重要的几何特性,尤其适合空间分割和邻近查询。在气象、地质、测绘、考古、分子化学、生态学和计算机科学等领域都有广泛深入的研究。
212 加权Voronoi图
随着应用和研究的深入,人们又发现了Voronoi图的多种扩展形式[8]。如基于线和面目标的Voronoi图,点、线、面的加权Voronoi图等。我们给出基于平面点集的加权Voronoi图的定义[9]:
设Pi(i=1,2,…,n)n个点,λi(i=1,2,,。
Vn(Pi,λi=∩P|(i=1,2,…,n)
j≠2。用公式表示为:
dA/dB=
PA/PB
)PA/PB)PB/PAPAPB+PB(PB(PA/PB
PA+
)PB)
(5)
证明:根据公式(1)可知,
}
()
λi
(λj
(3)
(=dBDAB/(1+
将平面分成n部分,由Vn(Pi,λi)为Pi的权重。
(i=1,2,…,
====
1+
n)确定的对平面的分割称为点上加权的Voronoi图,称λi
(2)式等价(3)式,即常规当λ1=λ2=…=λn时,
Voronoi图是点上加权的Voronoi在所有权重相等时的特例。
加权Voronoi图同样适用于空间分割,位于加权
Voronoi图网格中的每个点到该网格中心的距离与该点到相
推论3:在匀质平面区域中,以各个城市点为发生元,其影响力扩张的速度与相邻两个城市的中心性强度值的平方根成正比。用公式表示为:
a1a2=
PA/PB
(6)
邻网格中心点的距离之比小于两中心点的权重之比。加权
Voronoi图用于各中心点权重有较明显差别的情况下的空间
分割。我们可以认为,在加权Voronoi图所划分出的每个区域内的所有点受该区域中心点的影响最大。
213 Voronoi图的生成
证明:假设平面点集中任意两个相邻发生元的扩张速度分别为和,同时达到平衡点(断裂点)的时间为t,那么dA=a13t,dB=a23t,因此dA/dB=a1/a2。根据推论2可知,a1a2=
PA/PB。
常规Voronoi图的生成算法较多,也比较成熟,并且某些GIS软件(如Arc/Info)可以自动生成。但是,加权
Voronoi图的矢量算法十分复杂,目前有国内外学者研究出
依据以上推论,可以对断裂点理论进行扩展并描述为:在匀质平面区域内,如果两个城市点的权重相同,那么其吸引范围的分界线是这两个城市点连线的垂直平分线;如果它们的权重不同,那么其吸引范围的分界线是一个圆弧,平面内所有城市点的吸引范围分别构成常规Voronoi图和加权Voronoi图,并且每个城市点的权重分别等于其中心性强度值的平方根。
证明:如图2,设平面区域内有两个城市点A(x1,
y1)和B(x2,y2),其中心性强度值分别为PA和PB,A,B吸引范围分界线上的任一点的坐标为P(x,y)。
了发生元为点目标的加权Voronoi图的矢量算法,但是发生元为线和面目标的加权Voronoi图的算法还很不成熟。这在很大程度上影响了加权Voronoi图的应用。胡鹏等应用地图代数方法解决了基于栅格数据的点、线、面的加权
Voronoi图的生成问题[10]。
3 城市断裂点理论的扩展
模型是现实世界的抽象。通过研究模型再在实践中检验和发展,这是科学研究的一般方法。假设在一个匀质平面区域内有若干个城市,如果每个城市的影响力(或者吸引力)相同,那么断裂点必是相邻两个城市连线的中点,每个城市的影响范围必然是构成一个常规Voronoi图。
在一般情况下,每个城市的影响力是不同的,或者说
那么,根据两点间的距离公式,
dA=dB=
(x-x1)2+(y-y1)2(x-x2)2+(y-y2)2
2期 闫卫阳等:城市断裂点理论的验证、扩展及应用 15
根据推论2,dA/dB=
()2(
)2(x-x2)2+(y-y2)2
PA/PB
4 案例分析—河南省中心城市的吸引范围
(7)
=
PB
我们以河南省17个地级城市(地级行政中心)为例,首先选取评价城市综合实力的一套指标体系,即城市社会经济发展水平指标(7个),城市建设水平指标(4个),城市建设条件指标(2个),区域发展基础指标(3个)等4类16个指标,采用河南统计年鉴(2000)数据,运用主成份分析的方法计算每个城市的综合得分,通过数据变换,:
郑州(10100)、洛阳阳(4185)、安阳
(41)、(4(3、焦作(3162)、濮
1(1)(3155)、开封(3130)、121(3106)、信阳(2195)、驻马店
图2 直角坐标系中的城市点
Fig12 Citypointsinarightframe
(1(2110)、周口(1100)
。
然后,按照前面的分析,将每个城市的中心性强度值开平方,作为每个城市点的权重,进而构建17个城市点集的加权Voronoi图(图3)。这里用地图代数方法生成。这个加权Voronoi图实际上就是每个城市在理论上的吸引范
①当PA=PB,(7):
2(x2-x1)
x+(y2+y1)
x22
y22
x21
y21
=+--(8)
围。每个城市的吸引范围不仅包含了经典断裂点理论所计算的断裂点,而且也准确地刻画了每条分界线的轨迹。
可以验证,这是AB的垂直平分线。也就是说,A和
B的吸引范围的分界线就是它们之间连线的垂直平分线。
②当PA≠PB时,式(7)化简整理为:
(x-{
PxPx2
)+
PB-PA
(y-PyPy2
)=
PB-PA
(9)
()2()22
}
PB-PA
因为,DAB=式还可以写为:
(x-DAB)2
(x1-x2)2+(y1-y2)2,所以(9)
22)+(y-)=(
PB-PAPB-PAPB-PA
(10)
这是一个圆的方程。也就是说,当两个城市A和B的中心性强度值不同时,其吸引范围的分界线是一个圆(或圆弧),圆心为C(
PxPx,
PB-PA
PyPy),并且在
PB-PA
AB或其延长线上,半径|
|DAB。可以验证,经典
PB-PA
图3 基于扩展断裂点理论的加权Voronoi图
Fig13 V2diagrambasedonexpandedbreakingpointtheory
断裂点理论计算的断裂点P0也在这个圆弧上,是这个圆弧与AB的交点。
这就表明两个城市吸引范围的分界线是唯一确定的,要么是直线,要么是圆弧。当平面区域内城市点较多时,根据Voronoi图的定义、生成原理以及推论3,所有城市的吸引范围在①情况下构成常规Voronoi图,在②情况下构成加权Voronoi图,并且每个城市点的权重是其中心性强度值的平方根。
以上分析和证明不仅为Voronoi图的矢量生成提供了算法基础,而且也明确地指出了所有断裂点的轨迹,为城市吸引范围和城市经济区的划分提供了科学的理论基础。
城市点的坐标可在有关制图软件上读出,分别为郑州
(284,175)、洛阳(186,186)、南阳(195,350)、安阳(341,41)、新乡(302,123)、平顶山(255,277)、焦作(250,129)、濮阳(393,79)、漯河(316,295)、三门峡(89,172)、开封(341,172)、许昌(298,249)、商丘(447,205)、信阳(319,437)、驻马店(316,353)、鹤
壁(326,62)、周口(366,288)。
每条弧段的半径和圆心可利用式(8)或者(9)计算得出。表1列出了中心城市吸引范围边界的有关指标。从表中可以看出,有些弧段的半径很大,说明与这些弧段相关的两个城市的中心性强度值越接近;反之,半径越小,
人 文 地 理 19卷16
说明与该弧段相关的两个城市的中心性强度值悬殊越大。另外,弧段半径的大小还与两个城市之间的距离有关。
表1 中心城市吸引范围边界的有关指标
Tab11 Theindexesabouttheabstractedregions
和困难性,一定程度上限制了了它们的广泛应用,尤其在城市地理学界尚未引起足够的重视。本文考虑到Voronoi图几何性质的独特性,在空间分割和邻近查询中的合理性,以及计算机自动生成的可行性,对经典断裂点理论进行了扩展,为城市吸引范围和城市经济区的划分提供了理论基础和图形生成方法。应该说,该方法仍属于理论(理想)模型,在实际应用中,还应当考虑自然、交通、社会等多方面的因素,对断裂点位置和吸引范围的边界予以适当调整。
[1],城市地理学[M].北京:
序号
[***********][***********][***********]233与吸引范围边界
相关的城市安阳—濮阳安阳—鹤壁新乡—鹤壁新乡—安阳新乡—濮阳开封—濮阳新乡—开封郑州—新乡新乡—焦作郑州—焦作洛阳—郑州—洛阳—洛阳—南阳洛阳—三门峡南阳—平顶山南阳—驻马店南阳—信阳信阳—驻马店漯河—驻马店平顶山—驻马店平顶山—漯河许昌—漯河郑州—漯河郑州—许昌郑州—平顶山郑州—开封开封—商丘郑州—商丘周口—商丘漯河—周口郑州—周口许昌—平顶山弧段圆心
(图上坐标)
(655,271)(312,82)(353,-5)(-236,1254)(1169,-296)(-272,1268)(525,403)(314,88)(-245,(,))(-,)(323,367)(212,657)(0,159)(446,45)(441,356)(513,573)(301,-60)(316,484)(438,505)(1863,751)(128,-185)(334,361)(305,284)(238,337)(369,171)(1799,626)(519,218)(327,328)(386,285)(375,301)(586,62)()
弧段半径(像素单位)
[***********][***********][***********][***********][***********]493681998.128—129.
[2城市空间影响范围划分与城市经济区划问题
—以陕西省为例[J].西北大学学报(自然科学版),1995,25(2):129—134.
[3]刘兆德,陈素青.城市经济区划分方法的初步研究
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[6]周培德.计算几何—算法分析与设计[M].北京:清
华大学出版社,2000.88—132.
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cationsofVoronoidiagrams(2ndedition)[M].Chich2ester:JohnWiley,2000.1—671.
这种快速准确的图形生成方法从理论上解决了确定城市吸引范围时随意性、盲目性大的问题,对城市经济区的划分提供了理论基础。
5 讨论
由于Voronoi图,尤其是加权Voronoi图生成的复杂性
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2004年4月HUMANGEOGRAPHYApr12004 文章编号:1003—2398(2004)02—0012—05
城市断裂点理论的验证、扩展及应用
闫卫阳1,秦耀辰2,郭庆胜1,李圣权1
Ξ
(11武汉大学资源与环境科学学院,武汉 430079;21河南大学环境与规划学院,开封 475001)
EXPANDING,VALIDATIONANDAPPLICATION
OFURBANBREAKING2YANWei2yang1,QINYao2chen2,212quan1
(1.SchoolofResourcesand,,Wuhan430079,China;
2.Collegeof,niversity,Kaifeng,475001,China)
Abstract:iswidelyusedindelimitingurbanabstractedregionsanddivid2ingupBecausethetheoryjustgivesonlyonebreakingpointbetweentwocities,manyforpartitioningspaceareused,forinstance,makingverticallinethroughthebreakingpointonthelinkedlinebetweentheneartwocitiesandlinkingthenearbreakingpointswithsmoothlines.Infact,thesearenotfeasibleandnotrigorous.
Asacommonmethodofdividingspace,Voronoidiagramisusuallyusedincartography,meteo2rology,geognosy,archeology,chemistry,ecology,andcomputationalscience,etc.butitisrarelyusedinurbangeographyhomeandabroadbecauseofmanycauses.WangXin2shengetal.puttedfor2wardtwomethodsofdelimitingurbanabstractedregionswithordinaryVoronoidiagramandweightedVoronoidiagramwhichweightsaretheeachcityπscentralstrengthvalue,butsomeviewpointsshouldbediscusseddeeply.OkabeandSuzukistudiedonthelocationπsoptimizeofdifferentlevelestablish2mentsinacontinuousplane,andvalidatedChristallerπsCentralPlaceTheoryinurbangeography,etc.
Inthispaper,theexpandedBreakingPointTheoryandtheconceptionofbreakingarcswereputtedforwardbycontrastingtheVoronoidiagramtotheclassicaltheory.Itwasprovedthatinawell2proportionedplane,theboundarybetweentwocityπsabstractedregionsistheverticalbisectoroftheconnectedlinewiththemifthecitiesπweightsareequal;theboundaryisanarciftheweightsarenotequal;theorbitofallthebreakingpointsintheplaneformsordinaryVoronoidiagramandweightedVoronoidiagramaccordingly;andeachcityπsweightequalstothesquarerootofitscentralstrengthvalueinthesecondsituation.Asademonstration,theexpandedtheorywasusedinHenanprovince,andtheschemeoftheurbaneconomicregionswasputtedforward.ItisnoticedthatbecauseofthecomplexityanddifficultyofmakingweightedVoronoidiagram,thewideapplicationsinmanyfieldsarerestrictedinlargeextent,especiallyinurbangeography.Itshouldbepointedoutthattheexpand2edtheoryisstillatheoreticmodelthatmustbeverifiedinactualapplications,andtheauthorsexpectfartherdiscussion.
Keywords:ordinaryVoronoidiagram;weightedVoronoidiagram;expandedbreakingpointtheory;
urbanspatialabstractedregions
Ξ
收稿日期:2003—06—03;修订日期:203—10—08
基金项目:国家自然科学基金(49971068)和国家教育部青年骨干教师基金(2000G07)资助项目
),男,河南省方城县人,博士生,研究方向为城市地理、地理信息系统理论及应用。作者简介:闫卫阳(1968—
2期 闫卫阳等:城市断裂点理论的验证、扩展及应用 13
提 要:P.D.Converse提出的城市断裂点理论被广泛用来确定城市的空间影响范围和城市经济区的划分。由于该理论仅给出了每两个城市间一个断裂点的计算公式,在实际应用中就出现了多种空间分割方法。分析表明,许多方法是不可行、不严密的。本文通过对比分析Voronoi图和城市断裂点理论的性质,提出了扩展断裂点理论和断裂弧的概念。并证明:在匀质平面区域内,如果两个城市点的权重相同,那么其吸引范围的分界线是这两个城市点连线的垂直平分线;如果它们的权重不同,那么其吸引范围的分界线是一个圆弧;平面内所有断裂点的轨迹分别构成常规
Voronoi图和加权Voronoi图,并且每个城市点的权重
体的计算方法。该理论将相邻两个城市间的吸引力达到平衡的点定义为断裂点(BreakingPoint),并给出计算公式[1]:
dA=DAB/(1+
PB/PA)PA/PB)
(1)
或dA=DAB/(1+
其中,dA,dB分别为断裂点到两城的距离,DAB为两城的直线距离,PB,PA分别为两城的人口。
如前所述,在实际应用中断裂点理论具有很大的局限性。
第一,,但,需选取反映、综合分析和评价。本。
,当一个区域内城市点很多时,容易出现三点共,就无法构建Delaunay三角网,断裂点的自动标注也无法完成。
第三,公式仅计算相邻两个城市的一个断裂点,而两城市间的吸引范围的界限是一条线。因此,在具体界定时就出现了多种方法,具有很大的任意性。
(1)过断裂点作垂线方法。过断裂点作垂线对整个区
分别等于其中心性强度值的平方根。最后,以河南省用分析。
关键词:常规Voronoi图;点理论;中图分类号:A
城市断裂点理论作为城市地理学的一个重要理论,被广泛用来确定城市吸引范围和城市经济区的划分[1—4]。赖利(W.J.Reily)1931年根据牛顿力学万有引力理论,提出了“零售引力规律”。康弗斯(P.D.Converse)发展了赖利的理论,于1949年提出断裂点(BreakingPoint)概念,并给出计算方法[1]。但是,由于断裂点理论仅仅给出了相邻两个城市之间吸引范围的一个平衡点,在实际划分城市吸引范围时,就出现了多种方法,如过相邻断裂点作垂线,用平滑曲线连接相邻断裂点等[4]。我们发现,这些方法虽然在实际应用中发挥了一定的作用,但是在很多情况下是不可行的,而且从严格意义上讲,是不科学、不严密的。
将Voronoi图应用于城市地理学,国内外的研究较少。王新生等提出用常规Voronoi图和以中心性强度为权重构建加权Voronoi图界定城市的空间影响范围的方法[5,12],其中的某些问题仍有待商榷。Okabe和Suzuki研究了连续平面空间上不同等级设施区位优化问题,并用于验证城市地理学中克里斯泰勒的中心地理论[13],Okabe等还将加权
Voronoi图应用于城市体系、城市功能区域、理论上的行政
域进行分割,容易出现多解的情况。因为多条垂线相交,往往会形成若干个小的三角形区域。如何解决小三角区域的归属问题以及图形生成都十分困难。
(2)用平滑曲线连接相邻断裂点方法。这种方法形成
的图形具有很大的任意性。图1(a)和(b)中有5个城市点,用平滑曲线连接相同的8
个断裂点,但是划分的城市吸引范围却明显不同。
图1 用平滑曲线连接断裂点
Fig11 Linkthebreakingpointswithsmoothlines
2 Voronoi图的定义、性质及应用
早在1850年Dirichlet及1908年Voronoi在论文中都讨论过Voronoi图的概念。后来,荷兰气象学家泰森
(Thiessen,1914)将其应用到气象观测中,人们为纪念他,
区、设施定位等研究
[14]
。
本文证明:假定断裂点理论计算的断裂点是正确的,并且任意两个城市的中心性强度是不同的,那么相邻两个城市的吸引范围的界线是唯一确定的,并且由一个或若干条圆弧组成。区域内所有城市的吸引范围构成一个加权
Voronoi图,并且每个城市的权重是其中心性强度值的平方
又把Voronoi图称作泰森多边形。但是,由于缺乏简便有效的Voronoi图的生成方法,其应用受到很大的限制。直到20世纪70年代,Shamos和Hoey不仅提出了一种构建
Voronoi图的算法,而且阐述了其许多应用领域,从而导致
根。最后,以河南省为例,提出了基于扩展断裂点理论的加权Voronoi图的构建方法和城市经济区划分方法。
了计算几何的诞生[5,6]。
211 常规Voronoi图
1 城市断裂点理论及其缺陷
P.D.Converse1949年提出了断裂点理论,给出了具
设平面上的一个控制点集P={p1,p2,…,pn},
人 文 地 理 19卷14
其中任意两点都不共位,且任意四点都不共圆。则任意点
pi的Voronoi图定义为[7]:
Ti={x∶d(x,pi)
每个城市的中心性强度大小不同,在这种情况下,每个城市按照自己影响力的大小(即空间目标的权重)为速度向周围扩张,最终形成各自的影响范围,应该说是顺理成章的。这也是加权Voronoi图生成的基本思想。我们考虑到,既然断裂点理论计算了有限个断裂点的位置,并假定是正确的,那么其它分界点的位置是否是唯一确定的,是否符合加权Voronoi图的几何特征,每个城市点的权重又是多少?
,我们可以得出如下三个重要推论,。
推论1:()。用公式表示为:
dAdB=AB
(4)
(2)
在此d为欧氏距离。
Voronoi图的一个重要性质就是,位于Voronoi图网格
中的每一个点到该网格中心的距离都小于到其它格网中心点的距离。这个重要的几何特性,尤其适合空间分割和邻近查询。在气象、地质、测绘、考古、分子化学、生态学和计算机科学等领域都有广泛深入的研究。
212 加权Voronoi图
随着应用和研究的深入,人们又发现了Voronoi图的多种扩展形式[8]。如基于线和面目标的Voronoi图,点、线、面的加权Voronoi图等。我们给出基于平面点集的加权Voronoi图的定义[9]:
设Pi(i=1,2,…,n)n个点,λi(i=1,2,,。
Vn(Pi,λi=∩P|(i=1,2,…,n)
j≠2。用公式表示为:
dA/dB=
PA/PB
)PA/PB)PB/PAPAPB+PB(PB(PA/PB
PA+
)PB)
(5)
证明:根据公式(1)可知,
}
()
λi
(λj
(3)
(=dBDAB/(1+
将平面分成n部分,由Vn(Pi,λi)为Pi的权重。
(i=1,2,…,
====
1+
n)确定的对平面的分割称为点上加权的Voronoi图,称λi
(2)式等价(3)式,即常规当λ1=λ2=…=λn时,
Voronoi图是点上加权的Voronoi在所有权重相等时的特例。
加权Voronoi图同样适用于空间分割,位于加权
Voronoi图网格中的每个点到该网格中心的距离与该点到相
推论3:在匀质平面区域中,以各个城市点为发生元,其影响力扩张的速度与相邻两个城市的中心性强度值的平方根成正比。用公式表示为:
a1a2=
PA/PB
(6)
邻网格中心点的距离之比小于两中心点的权重之比。加权
Voronoi图用于各中心点权重有较明显差别的情况下的空间
分割。我们可以认为,在加权Voronoi图所划分出的每个区域内的所有点受该区域中心点的影响最大。
213 Voronoi图的生成
证明:假设平面点集中任意两个相邻发生元的扩张速度分别为和,同时达到平衡点(断裂点)的时间为t,那么dA=a13t,dB=a23t,因此dA/dB=a1/a2。根据推论2可知,a1a2=
PA/PB。
常规Voronoi图的生成算法较多,也比较成熟,并且某些GIS软件(如Arc/Info)可以自动生成。但是,加权
Voronoi图的矢量算法十分复杂,目前有国内外学者研究出
依据以上推论,可以对断裂点理论进行扩展并描述为:在匀质平面区域内,如果两个城市点的权重相同,那么其吸引范围的分界线是这两个城市点连线的垂直平分线;如果它们的权重不同,那么其吸引范围的分界线是一个圆弧,平面内所有城市点的吸引范围分别构成常规Voronoi图和加权Voronoi图,并且每个城市点的权重分别等于其中心性强度值的平方根。
证明:如图2,设平面区域内有两个城市点A(x1,
y1)和B(x2,y2),其中心性强度值分别为PA和PB,A,B吸引范围分界线上的任一点的坐标为P(x,y)。
了发生元为点目标的加权Voronoi图的矢量算法,但是发生元为线和面目标的加权Voronoi图的算法还很不成熟。这在很大程度上影响了加权Voronoi图的应用。胡鹏等应用地图代数方法解决了基于栅格数据的点、线、面的加权
Voronoi图的生成问题[10]。
3 城市断裂点理论的扩展
模型是现实世界的抽象。通过研究模型再在实践中检验和发展,这是科学研究的一般方法。假设在一个匀质平面区域内有若干个城市,如果每个城市的影响力(或者吸引力)相同,那么断裂点必是相邻两个城市连线的中点,每个城市的影响范围必然是构成一个常规Voronoi图。
在一般情况下,每个城市的影响力是不同的,或者说
那么,根据两点间的距离公式,
dA=dB=
(x-x1)2+(y-y1)2(x-x2)2+(y-y2)2
2期 闫卫阳等:城市断裂点理论的验证、扩展及应用 15
根据推论2,dA/dB=
()2(
)2(x-x2)2+(y-y2)2
PA/PB
4 案例分析—河南省中心城市的吸引范围
(7)
=
PB
我们以河南省17个地级城市(地级行政中心)为例,首先选取评价城市综合实力的一套指标体系,即城市社会经济发展水平指标(7个),城市建设水平指标(4个),城市建设条件指标(2个),区域发展基础指标(3个)等4类16个指标,采用河南统计年鉴(2000)数据,运用主成份分析的方法计算每个城市的综合得分,通过数据变换,:
郑州(10100)、洛阳阳(4185)、安阳
(41)、(4(3、焦作(3162)、濮
1(1)(3155)、开封(3130)、121(3106)、信阳(2195)、驻马店
图2 直角坐标系中的城市点
Fig12 Citypointsinarightframe
(1(2110)、周口(1100)
。
然后,按照前面的分析,将每个城市的中心性强度值开平方,作为每个城市点的权重,进而构建17个城市点集的加权Voronoi图(图3)。这里用地图代数方法生成。这个加权Voronoi图实际上就是每个城市在理论上的吸引范
①当PA=PB,(7):
2(x2-x1)
x+(y2+y1)
x22
y22
x21
y21
=+--(8)
围。每个城市的吸引范围不仅包含了经典断裂点理论所计算的断裂点,而且也准确地刻画了每条分界线的轨迹。
可以验证,这是AB的垂直平分线。也就是说,A和
B的吸引范围的分界线就是它们之间连线的垂直平分线。
②当PA≠PB时,式(7)化简整理为:
(x-{
PxPx2
)+
PB-PA
(y-PyPy2
)=
PB-PA
(9)
()2()22
}
PB-PA
因为,DAB=式还可以写为:
(x-DAB)2
(x1-x2)2+(y1-y2)2,所以(9)
22)+(y-)=(
PB-PAPB-PAPB-PA
(10)
这是一个圆的方程。也就是说,当两个城市A和B的中心性强度值不同时,其吸引范围的分界线是一个圆(或圆弧),圆心为C(
PxPx,
PB-PA
PyPy),并且在
PB-PA
AB或其延长线上,半径|
|DAB。可以验证,经典
PB-PA
图3 基于扩展断裂点理论的加权Voronoi图
Fig13 V2diagrambasedonexpandedbreakingpointtheory
断裂点理论计算的断裂点P0也在这个圆弧上,是这个圆弧与AB的交点。
这就表明两个城市吸引范围的分界线是唯一确定的,要么是直线,要么是圆弧。当平面区域内城市点较多时,根据Voronoi图的定义、生成原理以及推论3,所有城市的吸引范围在①情况下构成常规Voronoi图,在②情况下构成加权Voronoi图,并且每个城市点的权重是其中心性强度值的平方根。
以上分析和证明不仅为Voronoi图的矢量生成提供了算法基础,而且也明确地指出了所有断裂点的轨迹,为城市吸引范围和城市经济区的划分提供了科学的理论基础。
城市点的坐标可在有关制图软件上读出,分别为郑州
(284,175)、洛阳(186,186)、南阳(195,350)、安阳(341,41)、新乡(302,123)、平顶山(255,277)、焦作(250,129)、濮阳(393,79)、漯河(316,295)、三门峡(89,172)、开封(341,172)、许昌(298,249)、商丘(447,205)、信阳(319,437)、驻马店(316,353)、鹤
壁(326,62)、周口(366,288)。
每条弧段的半径和圆心可利用式(8)或者(9)计算得出。表1列出了中心城市吸引范围边界的有关指标。从表中可以看出,有些弧段的半径很大,说明与这些弧段相关的两个城市的中心性强度值越接近;反之,半径越小,
人 文 地 理 19卷16
说明与该弧段相关的两个城市的中心性强度值悬殊越大。另外,弧段半径的大小还与两个城市之间的距离有关。
表1 中心城市吸引范围边界的有关指标
Tab11 Theindexesabouttheabstractedregions
和困难性,一定程度上限制了了它们的广泛应用,尤其在城市地理学界尚未引起足够的重视。本文考虑到Voronoi图几何性质的独特性,在空间分割和邻近查询中的合理性,以及计算机自动生成的可行性,对经典断裂点理论进行了扩展,为城市吸引范围和城市经济区的划分提供了理论基础和图形生成方法。应该说,该方法仍属于理论(理想)模型,在实际应用中,还应当考虑自然、交通、社会等多方面的因素,对断裂点位置和吸引范围的边界予以适当调整。
[1],城市地理学[M].北京:
序号
[***********][***********][***********]233与吸引范围边界
相关的城市安阳—濮阳安阳—鹤壁新乡—鹤壁新乡—安阳新乡—濮阳开封—濮阳新乡—开封郑州—新乡新乡—焦作郑州—焦作洛阳—郑州—洛阳—洛阳—南阳洛阳—三门峡南阳—平顶山南阳—驻马店南阳—信阳信阳—驻马店漯河—驻马店平顶山—驻马店平顶山—漯河许昌—漯河郑州—漯河郑州—许昌郑州—平顶山郑州—开封开封—商丘郑州—商丘周口—商丘漯河—周口郑州—周口许昌—平顶山弧段圆心
(图上坐标)
(655,271)(312,82)(353,-5)(-236,1254)(1169,-296)(-272,1268)(525,403)(314,88)(-245,(,))(-,)(323,367)(212,657)(0,159)(446,45)(441,356)(513,573)(301,-60)(316,484)(438,505)(1863,751)(128,-185)(334,361)(305,284)(238,337)(369,171)(1799,626)(519,218)(327,328)(386,285)(375,301)(586,62)()
弧段半径(像素单位)
[***********][***********][***********][***********][***********]493681998.128—129.
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这种快速准确的图形生成方法从理论上解决了确定城市吸引范围时随意性、盲目性大的问题,对城市经济区的划分提供了理论基础。
5 讨论
由于Voronoi图,尤其是加权Voronoi图生成的复杂性