核心内容：
知识点一：指数与对数的运算
1、n 次方根n >1, n ∈N 有如下恒等式：
m n
*
a )
n
⎧a , n 为奇数
=a ；a n =⎨
a , n 为偶数⎩
1a
m
n
2、规定正数的分数指数幂：a 例1、求下列各式的值：
=a ; a
m
-
m n
==
1
a m
(a >0, m , n ∈N , 且n >1)
*
*
（1）3-πn >1, 且n ∈N ； （2）
n
()
x -y 2
a 3b 2ab 2
(a >0, b >0) ； 例2、化简：（1）(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ) ； （2）11
b
(a 4b 2) 4⋅a
[1**********]6
3、对数与指数间的互化关系：当a >0，且a ≠1时，log b N =b ⇔a b =N 4、负数与零没有对数；log a 1=0, log a a =1 5、对数的运算法则：
（1）log a (M ⋅N )=log a M +log a N ， （2）log a
（3）log a M n =n log a M ， （4）log a m （5）log a N =
M
=log a M -log a N ， N
n
M n =log a M
m
log b N 1
， （6）log a b =
log b a log b a
例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）2-7=
1
； （2）3a =27； （3）10-1=0. 1； 128
（4）log 132=-5； （5）lg 0. 001=-3； （6）ln 100=4. 606.
2
例4、计算下列各式的值：（1）lg 0. 001 ； （2）log 48 ； （3）ln e .
例5、已知 log 4[log 3(log 2x )]=0，那么x 等于
-12
例6、求下列各式的值：（1）log
22
8； （2）log 93.
例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）log x -1(x +3)； （2）log 1-2x (3x +2).
11
例8、若2a =5b =10，则+= ；方程lg x +lg (x +3)=1的解x =________
a b
例9、（1）化简：
111
++； log 57log 37log 27
（2）设log 23∙log 34∙log 45∙⋅⋅⋅∙log 20052006∙log 2006m =4，求实数m 的值.
例10、（1）已知log 189=a , 18b =5，试用a , b 表示log 1845的值；
（2）已知log 147=a , log 145=b ，用a , b 表示log 3528
知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象
1、指数性质：定义域为R ，值域为(0, +∞)；当x =0时，y =1，即图象过定点(0,1)；当 01时，在R 上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）y =2
例2、求下列函数的值域：
1
（1）y =() 3x -1； （2）y =4x +2x +1
3
2
13-x
1
； （2） y =()
3
10x +100
； （3）y =x
10-100
例3、函数f (x )=a x -b 的图象如图，其 中a , b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．a >1, b 1, b >0 C ．00 D ．0
例4、已知函数 f (x )=a 2-3x (a >0, 且a ≠1).
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性
变形：函数y =a x +1(a >0, 且a ≠1)的图象必经过点
，0. 22 .
例5、按从小到大的顺序排列下列各数：32 ，0. 32 ，2
2
2x -1
例6、已知f (x )=x . （1）讨论f (x )的奇偶性；（2）讨论f (x )的单调性.
2+1
例7、求下列函数的单调区间：（1）y =a x
注：复合函数y =f (ϕ(x ))的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：
i 、求定义域；ii 、拆分函数；iii 、分别求y =f (u ), u =ϕ(x )的单调性；iv 、按“同增异减”得出复
2
+2x -3
； （2）y =
1
.
0. 2x -1
合函数的单调性.
2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R ；当x = 1时，y =0 ，即图象过定点(1,0)；当0 1 时，在（0，+∞）上递增.
1例1、比较大小：（1）log 0. 90. 8, log 0. 90. 7, log 0. 80. 9； （2）log 32, log 23, log 4
3
例2、求下列函数的定义域：（1）y =2(3x -5) ； （2）y =log 0. 54x -3
例3、已知函数f (x )=log a (x +3)的区间[-2,-1]上总有|f (x ) |
例4、求不等式log a (2x +7)>log a (4x -1)(a >0, 且a ≠1)中x 的取值范围.
例5、讨论函数y =log 0. 3(3-2x )的单调性.
431
例6、图中的曲线是 y =log a x 的图象，已知a 的值为2，，，，则相应曲线C 1, C 2, C 3, C 4的
3105
a 依次为（ ）.
413431
，, B. 2，，， [1**********]431B.C. , , , 2 D., 2, ,
51033105
A. ，
例7、已知函数f (x ) =log a (x 2-1) (a >1) ，
(1) 求f (x ) 的定义域； (2) 判断函数的奇偶性和单调性。
3、（1）幂函数的基本形式是y =x α，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握
y =x , y =x , y =x , y =x , y =x -1这五个常用幂函数的图象.
2
3
1
2
（2）观察出幂函数的共性，总结如下：I 、当α> 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0, +∞) 上是增函数. II 、当α
（3）幂函数y =x α的图象，在第一象限内，直线x =1的右侧，图象由下至上，指数a 由小到大. y 轴和直线x =1之间，图象由上至下，指数α由小到大.
例8、已知幂函数y =f (x )的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.
例9、已知幂函数y =x m -6(m ∈Z )与y =x 2-m (m ∈Z )的图象都与x , y 轴都没有公共点，且
y =x m -2(x ∈Z )的图象关于y 轴对称，求m 的值．
例10、幂函数
y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.
A.-1 1 D．n 1
例11、幂函数f (x )=t 3-t +1x
知识点三：函数的应用
考点1、函数的零点与方程根的联系
例1、如果二次函数y =x 2+mx +(m +3) 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(-2, 6) B．[-2, 6] C．{-2, 6} D．(-∞, -2) (6, +∞)
练习：1、求f (x ) =2x 3-3x +1零点的个数为 （ ） A ．1 B．2 C．3 D．4
2、函数f (x ) =ln x -x +2的零点个数为 。
考点2 用二分法求方程的近似解( C关注探究过程)
例2、用“二分法”求方程x 3-2x -5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0=2. 5，那么下一个有根的区间是 。
考点3 函数的模型及其应用( D关注实践应用)
7、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
()
7-3t -2t 2
5
是偶函数，且在(0, +∞)上为增函数，求函数解析式.
课堂练习：
练习：化简（1）(
a 9) 4(a 9) 4 （2）
(a b ) ⋅(-3a b )
15
166a b 3
23121212
练习：已知f (x )=log a
6
, (a >0, a ≠1)，讨论f (x )的单调性. x -b
练习：如图的曲线是幂函数y =x n 在第一象限内的图象. 已知n 分别取±2 ，±
1
四个值，与曲线2
c 1, c 2, c 3, c 4相应的n 依次为（ ）.
1111A ．2, , -, -2 B. 2, , -2, -
22221111
C. -2, -, 2, , D.-2, -, , 2
2222
练习：设f (x )=3x +3x -8, 用二分法求方程3x +3x -8=0在x ∈(1, 2)内近似解的过程中得
f (1)0, f (1. 25)
核心内容：
知识点一：指数与对数的运算
1、n 次方根n >1, n ∈N 有如下恒等式：
m n
*
a )
n
⎧a , n 为奇数
=a ；a n =⎨
a , n 为偶数⎩
1a
m
n
2、规定正数的分数指数幂：a 例1、求下列各式的值：
=a ; a
m
-
m n
==
1
a m
(a >0, m , n ∈N , 且n >1)
*
*
（1）3-πn >1, 且n ∈N ； （2）
n
()
x -y 2
a 3b 2ab 2
(a >0, b >0) ； 例2、化简：（1）(2a b )(-6a b ) ÷(-3a b ) ； （2）11
b
(a 4b 2) 4⋅a
[1**********]6
3、对数与指数间的互化关系：当a >0，且a ≠1时，log b N =b ⇔a b =N 4、负数与零没有对数；log a 1=0, log a a =1 5、对数的运算法则：
（1）log a (M ⋅N )=log a M +log a N ， （2）log a
（3）log a M n =n log a M ， （4）log a m （5）log a N =
M
=log a M -log a N ， N
n
M n =log a M
m
log b N 1
， （6）log a b =
log b a log b a
例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）2-7=
1
； （2）3a =27； （3）10-1=0. 1； 128
（4）log 132=-5； （5）lg 0. 001=-3； （6）ln 100=4. 606.
2
例4、计算下列各式的值：（1）lg 0. 001 ； （2）log 48 ； （3）ln e .
例5、已知 log 4[log 3(log 2x )]=0，那么x 等于
-12
例6、求下列各式的值：（1）log
22
8； （2）log 93.
例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）log x -1(x +3)； （2）log 1-2x (3x +2).
11
例8、若2a =5b =10，则+= ；方程lg x +lg (x +3)=1的解x =________
a b
例9、（1）化简：
111
++； log 57log 37log 27
（2）设log 23∙log 34∙log 45∙⋅⋅⋅∙log 20052006∙log 2006m =4，求实数m 的值.
例10、（1）已知log 189=a , 18b =5，试用a , b 表示log 1845的值；
（2）已知log 147=a , log 145=b ，用a , b 表示log 3528
知识点二：指数函数、对数函数与幂函数的性质与图象
1、指数性质：定义域为R ，值域为(0, +∞)；当x =0时，y =1，即图象过定点(0,1)；当 01时，在R 上是增函数. 例1、求下列函数的定义域： （1）y =2
例2、求下列函数的值域：
1
（1）y =() 3x -1； （2）y =4x +2x +1
3
2
13-x
1
； （2） y =()
3
10x +100
； （3）y =x
10-100
例3、函数f (x )=a x -b 的图象如图，其 中a , b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．a >1, b 1, b >0 C ．00 D ．0
例4、已知函数 f (x )=a 2-3x (a >0, 且a ≠1).
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性
变形：函数y =a x +1(a >0, 且a ≠1)的图象必经过点
，0. 22 .
例5、按从小到大的顺序排列下列各数：32 ，0. 32 ，2
2
2x -1
例6、已知f (x )=x . （1）讨论f (x )的奇偶性；（2）讨论f (x )的单调性.
2+1
例7、求下列函数的单调区间：（1）y =a x
注：复合函数y =f (ϕ(x ))的单调性研究，口诀是“同增异减”， 即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：
i 、求定义域；ii 、拆分函数；iii 、分别求y =f (u ), u =ϕ(x )的单调性；iv 、按“同增异减”得出复
2
+2x -3
； （2）y =
1
.
0. 2x -1
合函数的单调性.
2. 对数函数的性质：定义域为（0，+∞），值域为R ；当x = 1时，y =0 ，即图象过定点(1,0)；当0 1 时，在（0，+∞）上递增.
1例1、比较大小：（1）log 0. 90. 8, log 0. 90. 7, log 0. 80. 9； （2）log 32, log 23, log 4
3
例2、求下列函数的定义域：（1）y =2(3x -5) ； （2）y =log 0. 54x -3
例3、已知函数f (x )=log a (x +3)的区间[-2,-1]上总有|f (x ) |
例4、求不等式log a (2x +7)>log a (4x -1)(a >0, 且a ≠1)中x 的取值范围.
例5、讨论函数y =log 0. 3(3-2x )的单调性.
431
例6、图中的曲线是 y =log a x 的图象，已知a 的值为2，，，，则相应曲线C 1, C 2, C 3, C 4的
3105
a 依次为（ ）.
413431
，, B. 2，，， [1**********]431B.C. , , , 2 D., 2, ,
51033105
A. ，
例7、已知函数f (x ) =log a (x 2-1) (a >1) ，
(1) 求f (x ) 的定义域； (2) 判断函数的奇偶性和单调性。
3、（1）幂函数的基本形式是y =x α，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握
y =x , y =x , y =x , y =x , y =x -1这五个常用幂函数的图象.
2
3
1
2
（2）观察出幂函数的共性，总结如下：I 、当α> 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0, +∞) 上是增函数. II 、当α
（3）幂函数y =x α的图象，在第一象限内，直线x =1的右侧，图象由下至上，指数a 由小到大. y 轴和直线x =1之间，图象由上至下，指数α由小到大.
例8、已知幂函数y =f (x )的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.
例9、已知幂函数y =x m -6(m ∈Z )与y =x 2-m (m ∈Z )的图象都与x , y 轴都没有公共点，且
y =x m -2(x ∈Z )的图象关于y 轴对称，求m 的值．
例10、幂函数
y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.
A.-1 1 D．n 1
例11、幂函数f (x )=t 3-t +1x
知识点三：函数的应用
考点1、函数的零点与方程根的联系
例1、如果二次函数y =x 2+mx +(m +3) 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(-2, 6) B．[-2, 6] C．{-2, 6} D．(-∞, -2) (6, +∞)
练习：1、求f (x ) =2x 3-3x +1零点的个数为 （ ） A ．1 B．2 C．3 D．4
2、函数f (x ) =ln x -x +2的零点个数为 。
考点2 用二分法求方程的近似解( C关注探究过程)
例2、用“二分法”求方程x 3-2x -5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0=2. 5，那么下一个有根的区间是 。
考点3 函数的模型及其应用( D关注实践应用)
7、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
()
7-3t -2t 2
5
是偶函数，且在(0, +∞)上为增函数，求函数解析式.
课堂练习：
练习：化简（1）(
a 9) 4(a 9) 4 （2）
(a b ) ⋅(-3a b )
15
166a b 3
23121212
练习：已知f (x )=log a
6
, (a >0, a ≠1)，讨论f (x )的单调性. x -b
练习：如图的曲线是幂函数y =x n 在第一象限内的图象. 已知n 分别取±2 ，±
1
四个值，与曲线2
c 1, c 2, c 3, c 4相应的n 依次为（ ）.
1111A ．2, , -, -2 B. 2, , -2, -
22221111
C. -2, -, 2, , D.-2, -, , 2
2222
练习：设f (x )=3x +3x -8, 用二分法求方程3x +3x -8=0在x ∈(1, 2)内近似解的过程中得
f (1)0, f (1. 25)