导数复习
知识点
一、导数的概念 导数f ' (x 0) =lim
∆y 。
∆x →0∆x
二、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x 0处的导数，就是曲线y=(x)在点P (x 0, y 0) 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点x 0处的导数，即曲线y=f(x)在点P (x 0, y 0) 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0)
三、常见函数的导数及运算法则 (1) 八个基本求导公式(C ) '＝； (x n ) '＝；(n∈Q) (sinx ) '＝， (cosx ) '＝(e x ) '＝， (a x ) '＝(lnx ) '＝， (loga x ) '＝ (2) 导数的四则运算(u ±v ) '＝ [Cf (x ) ]'＝ (uv ) '＝，() '＝ (v ≠0)
(3) 复合函数的导数设u =θ(x ) 在点x 处可导，y =f (u ) 在点u =θ(x ) 处可导，则复合函数f [θ(x )]在点x 处可导， 且
'⋅u 'f '(x ) ＝ ，即y 'x =y u x 四、导数的应用（要求：明白解题步骤）
1． 函数的单调性
（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f (x )
/
>0，则
f(x)为增函数；若
f /(x )
（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。 ①分析 y =f (x ) 的定义域； ②求导数 y '=f '(x ) ③解不等式f '(x ) >0，解集在定义域内的部分为 区间 解不等式f '(x )
例如：求函数y =x +
1
的减区间 x
2． 可导函数的极值（采用表格或画函数图象）
（1） 极值的概念
设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)f(x0) ），则称f(x0) 为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。 （2） 求可导函数f(x)极值的步骤 ① 求导数f '(x ) ；
② 求方程f '(x ) ＝0的 ；
③ 检验f '(x ) 在方程f '(x ) ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减) ，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正(先减后增) ，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取得 . 3． 函数的最大值与最小值 ⑴ 设y ＝f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝f (x ) 在(a ,b ) 内有导数，则函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：
① 求y ＝f (x ) 在(a ,b )内的 值；
② 将y ＝f (x ) 的各 值与f (a ) 、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递增，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 ；若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递减，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 .
4. 求过函数上一点的切线的斜率或方程
例题1：分析函数y =x -3x （单调性，极值，最值，图象）
例题2：函数y =x -3ax 在(-∞, -1) 上为增函数，在(-1, 1) 上为减函数，求实数a
例题3：求证方程x ⋅lg x =1在区间(2, 3) 内有且仅有一个实根. （分析解本题要用的知识点）
3
3
一．求值
1． f '(x ) 是f (x ) =
3
2
13
x +2x +1的导函数，则f '(-1) 的值是3
2. f (x ) =ax+3x+2 ，f '(-1) =4，则a=
2
3. 已知函数f(x)的导函数为f '(x ) , 且满足f(x)=3x+2xf '(2) , 则f '(5) =
二．切线
1(1) 曲线y =x 3+x +1在点(1,3) 处的切线方程是 ；
(2)已知函数f (x ) =x 3-3x ，过点P (2, -6) 作曲线y =f (x ) 的切线的方程． 变式．（1）曲线y ＝x －3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （2）已知C :f (x ) =x 3-x +2，则经过P (1,2) 的曲线C 的切线方程为（3）曲线f(x)=x－3x ，过点A(0，16) 作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。 2 ．（1）曲线f (x ) =x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在A 点处的切线方程为。 （2） 过曲线f (x ) =x 4-x 上点P 处的切线平行于直线3x -y =0，则点P 的坐标为(3) 若直线y =x 是曲线y =x 3-3x 2+ax 的切线，则a = 。
3. 垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线的方程是________． 4．已知直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 切于点（1，3），则b 的值为（ ）
A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 三．单调性
2
1. （1）设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）
44
) B.(, +∞) C.(-33
2
3
3
(-∞,0)∪(,+∞）
4
3
（2）函数y=(x+1)(x－1) 的单调递增区间为（ ） A.(-∞, －1) B.（－1,+∞）
C. (-∞, －1) 与（－1,+∞） D. (-∞, －1) ∪（－1,+∞） (3)函数f (x ) =x 3-3x 2+1是减函数的区间为（ ） A ．(2, +∞) B．(-∞, 2) C．(-∞, 0) D．（0，2）
2. （1）若函数f(x)=x-ax +1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （2）设a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 则实数a 的取值范围为 （3）函数y =ax －x 在(－∞,+∞) 上是减函数，则实数a 的取值范围为 ；
32
3．（1）若函数f （x ）=ax －x +x －5在R 上单调递增，则a 的范围是 ．
3
3
2
3
（2）已知函数f (x ) =ax 3+3x 2-x +1在R 上是减函数，则a 的取值范围是：． 四．极值
1、函数y =1+3x -x 的极大值，极小值分别是
A. 极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
3
C. 极小值-2，极大值2 D. 极小值-1，极大值3
2．函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9，已知f (x ) 在x =-3时取得极值，则a =（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
322
3. 函数f(x)=x-ax -bx+a, 在x=1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ）
-3，或a=--
- D.以上都不正确
五．最值
1．函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A ．5，－15
B ．5，－4
C ．－4，－15
D ．5，－16
2. f (x ) =x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
y =x +
3
3
在(0，+∞) 上的最小值为 x
B.5
C.3
D.1
A.4
4．函数f (x ) =12x -x 3在区间[-3，3]上的最小值是
六．综合
4 设函数f (x ) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图象如右图1所示，则导函数y =f '(x ) 可能为（ ）
（B ） （C ） （D ）
5．设f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数，y =f '(x ) 的图象如右图所示，则y =f (x ) 的图象最有可能的是
（A ）
(A) (B) (C) (D)
七．解答题（重点）
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
1.已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为
y=3x+1
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
2：已知三次函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4． (1) 求函数y =f (x ) 的表达式；
(2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件．
3． 设函数f (x ) =ln(2x +3) +x 2 （Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-⎥的最大值和最小值．
44
题型二：利用导数研究不等式恒成立。
1. 已知两个函数f (x ) =7x -28x ，g (x ) =2x +4x -40x +c .
（Ⅰ）F (x ) 图像与f (x ) 图像关于原点对称, 解不等式F (x ) ≥f (x ) -x -3
2
3
2
⎡31⎤
⎣⎦
（Ⅱ）若对任意x ∈[－3，3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，求实数c 的取值范围；
2. 已知函数f(x)=x-x
3
12
2
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围
2
(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)
3. 已知函数f (x ) =x 4+ax 3+2x 2+b （x ∈R ），其中a , b ∈R ． （Ⅰ）当a =-
10
时，讨论函数f (x ) 的单调性； 3
（Ⅱ）若函数f (x ) 仅在x =0处有极值，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a ∈[-2,2]，不等式f (x )≤1在[-1,1]上恒成立，求b 的取值范围．
导数复习
知识点
一、导数的概念 导数f ' (x 0) =lim
∆y 。
∆x →0∆x
二、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x 0处的导数，就是曲线y=(x)在点P (x 0, y 0) 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点x 0处的导数，即曲线y=f(x)在点P (x 0, y 0) 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
y -y 0=f ' (x 0)(x -x 0)
三、常见函数的导数及运算法则 (1) 八个基本求导公式(C ) '＝； (x n ) '＝；(n∈Q) (sinx ) '＝， (cosx ) '＝(e x ) '＝， (a x ) '＝(lnx ) '＝， (loga x ) '＝ (2) 导数的四则运算(u ±v ) '＝ [Cf (x ) ]'＝ (uv ) '＝，() '＝ (v ≠0)
(3) 复合函数的导数设u =θ(x ) 在点x 处可导，y =f (u ) 在点u =θ(x ) 处可导，则复合函数f [θ(x )]在点x 处可导， 且
'⋅u 'f '(x ) ＝ ，即y 'x =y u x 四、导数的应用（要求：明白解题步骤）
1． 函数的单调性
（1） 设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f (x )
/
>0，则
f(x)为增函数；若
f /(x )
（2） 求可导函数单调区间的一般步骤和方法。 ①分析 y =f (x ) 的定义域； ②求导数 y '=f '(x ) ③解不等式f '(x ) >0，解集在定义域内的部分为 区间 解不等式f '(x )
例如：求函数y =x +
1
的减区间 x
2． 可导函数的极值（采用表格或画函数图象）
（1） 极值的概念
设函数f(x)在点x 0附近有定义，且若对x 0附近所有的点都有f(x)f(x0) ），则称f(x0) 为函数的一个极大（小）值，称x 0为极大（小）值点。 （2） 求可导函数f(x)极值的步骤 ① 求导数f '(x ) ；
② 求方程f '(x ) ＝0的 ；
③ 检验f '(x ) 在方程f '(x ) ＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减) ，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正(先减后增) ，那么函数y ＝f (x ) 在这个根处取得 . 3． 函数的最大值与最小值 ⑴ 设y ＝f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝f (x ) 在(a ,b ) 内有导数，则函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：
① 求y ＝f (x ) 在(a ,b )内的 值；
② 将y ＝f (x ) 的各 值与f (a ) 、f (b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递增，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 ；若函数y ＝f (x ) 在[a ,b ]上单调递减，则f (a ) 为函数的 ，f (b ) 为函数的 .
4. 求过函数上一点的切线的斜率或方程
例题1：分析函数y =x -3x （单调性，极值，最值，图象）
例题2：函数y =x -3ax 在(-∞, -1) 上为增函数，在(-1, 1) 上为减函数，求实数a
例题3：求证方程x ⋅lg x =1在区间(2, 3) 内有且仅有一个实根. （分析解本题要用的知识点）
3
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一．求值
1． f '(x ) 是f (x ) =
3
2
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x +2x +1的导函数，则f '(-1) 的值是3
2. f (x ) =ax+3x+2 ，f '(-1) =4，则a=
2
3. 已知函数f(x)的导函数为f '(x ) , 且满足f(x)=3x+2xf '(2) , 则f '(5) =
二．切线
1(1) 曲线y =x 3+x +1在点(1,3) 处的切线方程是 ；
(2)已知函数f (x ) =x 3-3x ，过点P (2, -6) 作曲线y =f (x ) 的切线的方程． 变式．（1）曲线y ＝x －3x ＋1在点（1，－1）处的切线方程为 （2）已知C :f (x ) =x 3-x +2，则经过P (1,2) 的曲线C 的切线方程为（3）曲线f(x)=x－3x ，过点A(0，16) 作曲线f (x)的切线，则曲线的切线方程为 。 2 ．（1）曲线f (x ) =x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在A 点处的切线方程为。 （2） 过曲线f (x ) =x 4-x 上点P 处的切线平行于直线3x -y =0，则点P 的坐标为(3) 若直线y =x 是曲线y =x 3-3x 2+ax 的切线，则a = 。
3. 垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线y =x 3+3x 2-5相切的直线的方程是________． 4．已知直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 切于点（1，3），则b 的值为（ ）
A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 三．单调性
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1. （1）设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）
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) B.(, +∞) C.(-33
2
3
3
(-∞,0)∪(,+∞）
4
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（2）函数y=(x+1)(x－1) 的单调递增区间为（ ） A.(-∞, －1) B.（－1,+∞）
C. (-∞, －1) 与（－1,+∞） D. (-∞, －1) ∪（－1,+∞） (3)函数f (x ) =x 3-3x 2+1是减函数的区间为（ ） A ．(2, +∞) B．(-∞, 2) C．(-∞, 0) D．（0，2）
2. （1）若函数f(x)=x-ax +1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （2）设a >0, 函数f (x ) =x -ax 在[1, +∞) 上是单调函数. 则实数a 的取值范围为 （3）函数y =ax －x 在(－∞,+∞) 上是减函数，则实数a 的取值范围为 ；
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3．（1）若函数f （x ）=ax －x +x －5在R 上单调递增，则a 的范围是 ．
3
3
2
3
（2）已知函数f (x ) =ax 3+3x 2-x +1在R 上是减函数，则a 的取值范围是：． 四．极值
1、函数y =1+3x -x 的极大值，极小值分别是
A. 极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
3
C. 极小值-2，极大值2 D. 极小值-1，极大值3
2．函数f (x ) =x 3+ax 2+3x -9，已知f (x ) 在x =-3时取得极值，则a =（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
322
3. 函数f(x)=x-ax -bx+a, 在x=1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ）
-3，或a=--
- D.以上都不正确
五．最值
1．函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A ．5，－15
B ．5，－4
C ．－4，－15
D ．5，－16
2. f (x ) =x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是（ ）
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
y =x +
3
3
在(0，+∞) 上的最小值为 x
B.5
C.3
D.1
A.4
4．函数f (x ) =12x -x 3在区间[-3，3]上的最小值是
六．综合
4 设函数f (x ) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图象如右图1所示，则导函数y =f '(x ) 可能为（ ）
（B ） （C ） （D ）
5．设f '(x ) 是函数f (x ) 的导函数，y =f '(x ) 的图象如右图所示，则y =f (x ) 的图象最有可能的是
（A ）
(A) (B) (C) (D)
七．解答题（重点）
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
1.已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c , 过曲线y =f (x ) 上的点P (1, f (1)) 的切线方程为
y=3x+1
（Ⅰ）若函数f (x ) 在x =-2处有极值，求f (x ) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y =f (x ) 在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数y =f (x ) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
2：已知三次函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 在x =1和x =-1时取极值，且f (-2) =-4． (1) 求函数y =f (x ) 的表达式；
(2) 求函数y =f (x ) 的单调区间和极值；
(3) 若函数g (x ) =f (x -m ) +4m (m >0) 在区间[m -3, n ]上的值域为[-4,16]，试求m 、n 应满足的条件．
3． 设函数f (x ) =ln(2x +3) +x 2 （Ⅰ）讨论f (x ) 的单调性；
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-⎥的最大值和最小值．
44
题型二：利用导数研究不等式恒成立。
1. 已知两个函数f (x ) =7x -28x ，g (x ) =2x +4x -40x +c .
（Ⅰ）F (x ) 图像与f (x ) 图像关于原点对称, 解不等式F (x ) ≥f (x ) -x -3
2
3
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⎡31⎤
⎣⎦
（Ⅱ）若对任意x ∈[－3，3]，都有f (x ) ≤g (x ) 成立，求实数c 的取值范围；
2. 已知函数f(x)=x-x
3
12
2
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围
2
(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)
3. 已知函数f (x ) =x 4+ax 3+2x 2+b （x ∈R ），其中a , b ∈R ． （Ⅰ）当a =-
10
时，讨论函数f (x ) 的单调性； 3
（Ⅱ）若函数f (x ) 仅在x =0处有极值，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a ∈[-2,2]，不等式f (x )≤1在[-1,1]上恒成立，求b 的取值范围．