函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
（一）函数y =f (x ) 图象本身的对称性（自身对称）
2、f (x ) =f (2a -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
3、f (-x ) =f (2a +x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
4、f (a +x ) =f (b -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =(a +x ) +(b -x ) =a +b 对称。 225、f (a +x ) +f (a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 6、f (x ) +f (2a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 7、f (-x ) +f (2a +x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 8、f (a +x ) +f (b -x ) =2c ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a +b , c ) 对称。 2
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、函数y =f (a +x ) 与y =f (a -x ) 图象关于直线x =0对称。
2、函数y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 图象关于直线x =a 对称
3、函数y =f (-x ) 与y =f (2a +x ) 图象关于直线x =-a 对称
4、函数y =f (a +x ) 与y =f (b -x ) 图象关于直线(a +x ) -(b -x ) =0对称 即直线x =b -a 对称 2
5、函数y =f (x ) 与y =-f (x ) 图象关于X 轴对称。
6、函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 图象关于Y 轴对称。
7、函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 图象关于原点对称
（三）函数的周期性
1、f (x +T ) =f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T
2、f (x +a ) =f (b +x +b ) (a
3、f (x +a ) =-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a
4、f (x +a ) =1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x )
1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x ) 5、f (x +a ) =-
6、f (x +a ) =1-f (x )
1+f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a
7、 f (x +a ) =-1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a f (x ) +1
8、f (x +a ) =1+f (x )
1-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =4a
9、f (x +2a ) =f (x +a ) -f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =6a
10、y =f (x ) 有两条对称轴x =a 和x =b （a
13、奇函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =4a 。
14、偶函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =2a 。
二、例题讲授
例题1
（1）已知y =f (x ) 是定义在实数集R 上奇函数，x
（2）已知y =f (x ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，x
（3）已知奇函数y =f (x ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，-2
x （4）已知y =f (x ) 满足f (1+x ) +f (1-x ) =0，x
解析式。
例题2
（1）已知f (x ) =ax +b sin x +2，f (2) =1 求f (-2)
（2）已知偶函数y =f (x ) 定义域为R ，且恒满足f (x +2) =f (2-x ) ，若方程f (x ) =0
在[0, 4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8, 10]中的根．
2x
（3）已知f (x ) =x ，求f (-5) +f (-4) + +f (5) +f (6) 的值 2+1
例题3
（１）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，若y =f (x ) 的图象关于x =1对称，则函数满足
A 、f (x ) =f (1+x ) B 、f (x ) +f (2-x ) =0
C 、f (x -1) =f (1-x ) D 、f (1+x ) =f (1-x )
（２）函数y =f (x -1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于关于__________对称
（３）函数y =f (x +1) 和函数y =f (1-x ) 的图象关于关于__________对称
（４）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x +1) =f (1-x ) ，则y =f (x +1) 的图
象关于__________对称。y =f (2x ) 的图象关于__________对称。
（５）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，则下列命题中，①若y =f (x ) 是偶函数，则y =f (x +2) 图象关于y 轴对称；②若y =f (x +2) 是偶函数，则y =f (x ) 图象关于直线x =2对称；③若f (x -2) =f (2-x ) ，则函数y =f (x ) 图象关于直线x =2对称；④y =f (x -2) 与y =f (2-x ) 图象关于直线x =2对称，其中正确命题序号为_______。 例题５
2、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0,
f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ，且f(1)=a>0。
（1）求 f(1]，都有211) 及f() 24
（2）证明f(x)是周期函数
1（3）记a n =f(2n+), 求证：a n =a2n 2n
三、自我检测
1、如果函数f(x)＝x ＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t) ＝f(2－t) ，那么
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) B.f(1)＜f(2)＜f(4) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 21
3、 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]
上是
A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5
C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5
4、 F(x)＝[1＋2]f(x)，(x≠0) 是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x) 2-1x
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
5、 设f(x)是(－∞，∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x)，当0≤x ≤1，f(x)＝x ，则f(7.5)
＝( )
A.0.5 B. －0.5 C.1.5 D. －1.5
6、 设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+3)=0，且
当－1
7、 定义在
上的偶函数
的单调区间
2满足
且当时
, .
求提示： f (x ) =f () =f () = ， x
24x
4
f(11111)=f(n·)=f[+(n－1) ·]=f() ·f[(n－1) · 22n 2n 2n 2n
函数奇偶性、对称性与周期性
奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论
（一）函数y =f (x ) 图象本身的对称性（自身对称）
2、f (x ) =f (2a -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
3、f (-x ) =f (2a +x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称。
4、f (a +x ) =f (b -x ) ⇔y =f (x ) 的图象关于直线x =(a +x ) +(b -x ) =a +b 对称。 225、f (a +x ) +f (a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 6、f (x ) +f (2a -x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 7、f (-x ) +f (2a +x ) =2b ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称。 8、f (a +x ) +f (b -x ) =2c ⇔y =f (x ) 的图象关于点(a +b , c ) 对称。 2
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、函数y =f (a +x ) 与y =f (a -x ) 图象关于直线x =0对称。
2、函数y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 图象关于直线x =a 对称
3、函数y =f (-x ) 与y =f (2a +x ) 图象关于直线x =-a 对称
4、函数y =f (a +x ) 与y =f (b -x ) 图象关于直线(a +x ) -(b -x ) =0对称 即直线x =b -a 对称 2
5、函数y =f (x ) 与y =-f (x ) 图象关于X 轴对称。
6、函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 图象关于Y 轴对称。
7、函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 图象关于原点对称
（三）函数的周期性
1、f (x +T ) =f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T
2、f (x +a ) =f (b +x +b ) (a
3、f (x +a ) =-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a
4、f (x +a ) =1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x )
1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =2a f (x ) 5、f (x +a ) =-
6、f (x +a ) =1-f (x )
1+f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a
7、 f (x +a ) =-1 ⇔y =f (x ) 的周期为T =3a f (x ) +1
8、f (x +a ) =1+f (x )
1-f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =4a
9、f (x +2a ) =f (x +a ) -f (x ) ⇔y =f (x ) 的周期为T =6a
10、y =f (x ) 有两条对称轴x =a 和x =b （a
13、奇函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =4a 。
14、偶函数y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) ⇔y =f (x ) 周期T =2a 。
二、例题讲授
例题1
（1）已知y =f (x ) 是定义在实数集R 上奇函数，x
（2）已知y =f (x ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，x
（3）已知奇函数y =f (x ) 满足f (1+x ) =f (1-x ) ，-2
x （4）已知y =f (x ) 满足f (1+x ) +f (1-x ) =0，x
解析式。
例题2
（1）已知f (x ) =ax +b sin x +2，f (2) =1 求f (-2)
（2）已知偶函数y =f (x ) 定义域为R ，且恒满足f (x +2) =f (2-x ) ，若方程f (x ) =0
在[0, 4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8, 10]中的根．
2x
（3）已知f (x ) =x ，求f (-5) +f (-4) + +f (5) +f (6) 的值 2+1
例题3
（１）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，若y =f (x ) 的图象关于x =1对称，则函数满足
A 、f (x ) =f (1+x ) B 、f (x ) +f (2-x ) =0
C 、f (x -1) =f (1-x ) D 、f (1+x ) =f (1-x )
（２）函数y =f (x -1) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于关于__________对称
（３）函数y =f (x +1) 和函数y =f (1-x ) 的图象关于关于__________对称
（４）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，且满足f (x +1) =f (1-x ) ，则y =f (x +1) 的图
象关于__________对称。y =f (2x ) 的图象关于__________对称。
（５）设函数y =f (x ) 的定义域为R ，则下列命题中，①若y =f (x ) 是偶函数，则y =f (x +2) 图象关于y 轴对称；②若y =f (x +2) 是偶函数，则y =f (x ) 图象关于直线x =2对称；③若f (x -2) =f (2-x ) ，则函数y =f (x ) 图象关于直线x =2对称；④y =f (x -2) 与y =f (2-x ) 图象关于直线x =2对称，其中正确命题序号为_______。 例题５
2、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0,
f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ，且f(1)=a>0。
（1）求 f(1]，都有211) 及f() 24
（2）证明f(x)是周期函数
1（3）记a n =f(2n+), 求证：a n =a2n 2n
三、自我检测
1、如果函数f(x)＝x ＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t) ＝f(2－t) ，那么
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) B.f(1)＜f(2)＜f(4) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 21
3、 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]
上是
A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5
C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5
4、 F(x)＝[1＋2]f(x)，(x≠0) 是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x) 2-1x
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
5、 设f(x)是(－∞，∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x)，当0≤x ≤1，f(x)＝x ，则f(7.5)
＝( )
A.0.5 B. －0.5 C.1.5 D. －1.5
6、 设f(x)是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有f(x)+f(x+3)=0，且
当－1
7、 定义在
上的偶函数
的单调区间
2满足
且当时
, .
求提示： f (x ) =f () =f () = ， x
24x
4
f(11111)=f(n·)=f[+(n－1) ·]=f() ·f[(n－1) · 22n 2n 2n 2n