第二十五章 概 率 初 步
备课人： 桂荣海
25.1 随机事件（一）
一:教学目标：
1. 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
2. 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程, 发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3. 能根据随机事件的特点, 辨别哪些事件是随机事件.
4. 引领学生感受随机事件就在身边, 增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 二：教学重点：
随机事件的特点. 教学难点：
判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三：课时计划：1课时 四：教学过程 【问题情境】 摸球游戏
三个不透明的袋子均装有10个乒乓球. 挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则
每人每次从自己选择的袋子中摸出一球, 记录下颜色, 放回, 搅匀, 重复前面的试验. 每人摸球5次. 按照摸出黄色球的次数排序, 次数最多的为第一名, 其次为第二名, 最少的为第三名.
【师生行为】
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓
球；10个黄色的乒乓球.
学生积极参加游戏, 通过操作和观察, 归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的, 在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的, 在第3个袋子中摸出黄色球是必然的.
教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.
【问题情境】
指出下列事件中哪些是必然发生的, 哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1. 通常加热到100°C 时，水沸腾； 2. 姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3. 掷一次骰子，向上的一面是6点； 4. 度量三角形的内角和，结果是360°；
5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6. 某射击运动员射击一次，命中靶心； 7. 太阳东升西落；
8. 人离开水可以正常生活100天； 9. 正月十五雪打灯；
10. 宇宙飞船的速度比飞机快. 五：小结
六：作业布置：P131～132，1～3题。 七：教学反思
25.1 随机事件（二）
一：教学目标：
1. 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
2. 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程, 发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3. 能根据随机事件的特点, 辨别哪些事件是随机事件.
4. 引领学生感受随机事件就在身边, 增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 二：教学重点：
随机事件的特点. 教学难点：
判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三：课时计划：1课时
四：教学过程 【问题情境】 情境1
5名同学参加讲演比赛, 以抽签方式决定每个人的出场顺序. 签筒中有5根形状、大小相同的纸签, 上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5. 小军首先抽签, 他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签. 情境2
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】
学生首先独立思考, 再把自己的观点和小组其他同学交流, 并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布.
【设计意图】
开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维, 也有利于学生加深对学习内容的理解. 【问题情境】
请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件.
【师生行为】
教师引导学生充分交流，热烈讨论. 【设计意图】
随机事件在现实世界中广泛存在. 通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识.
【问题情境】
李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】
教师注意引导学生独立思考, 交流合作, 提升学生对问题的理解与判断能力. 【设计意图】
有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一的思想.
【问题情境】 五：小结 六：布置作业 P132 4～7题。 七；教学反思
25.1.2 概率
教学目标
1．了解随机事件发生的概率的意义．
2．掌握随机事件的概率的求法，会求简单随机事件的概率． 教学重点与难点
重点：会求简单随机事件的概率．
难点：分析随机事件发生的概率． 教学过程
一．自主学习
1．随机事件A 发生的概率：一般地，对于一个随机事件A ，把 ，称为随机事件A 发生的概率，记为P (A ) ．一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率
P (A ) ．由m 和n 的含义可知≤≤进而有≤ ，所以 ≤P (A ) ≤ ．
2．必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ． 二．探索新知
1．从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机抽取一根，抽出的签上的号码有 种可能，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以：每个号码抽到的可能性大小（ ）都是总数的（ ）．
2．掷一枚六个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，向上的一面的点数有 种可能，由于骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出的，所以：每种结果的可能性大小（ ）都是总数的（ ）．
3．观察与思考：以上两个试验有两个共同特点：
（1） ； （2） ；
对于具有上述特点的实验，我们可以从 ，分析出事件发生的概率． 三．应用新知
1．掷一个骰子观察向上一面的点数求下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
2．如图是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分别为红绿黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色．
四．发现总结
1．求事件A 发生的概率的大小关键是：先求出试验中有所有可能的结果 ，及事 件A 所包含的各种可能的结果数 ，再利用公式P(A)=( ) 求解．
2. 事件发生的可能性越大，则它的概率越接近 ．事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 ． 五．应用巩固
1．掷一枚质地均匀的硬币的实验有 种可能的结果，它们的可能性 ，其中正面朝上的概率为 ．
2．袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出一个球，它是红色与是绿色的可能性 ，两者的概率分别是 与 ．
3．袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机地取出一个球． （1）能够事先确定取出的球是哪种颜色的吗？ （2）取出两种颜色的球的概率会相等吗？ （3）你认为取出哪种颜色的球的概率最大？
（4）怎样改变各色球的数目可以使取出每种颜色的球的概率都相等？（提出一种方法即可） 六．课堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是
1
”表示抽奖100次就一定会中奖 100
B ．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C ．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D ．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为
1 13
1
，下列说法错误的是（ ） ．．2
A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
4．在一个袋子里装有10个球,6个红球,3个黄球,1个绿球, 这些球除颜色外、形状、大小、质地等完全相同, 充分搅匀后, 在看不到球的条件下, 随机从这个袋子中摸出一球, 不是红球的概率是．．．．__________.
5．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的（ ） A ．1 B．
区域，么重新概率是
111 C． D．
324
6．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，
摸到红球的概率为（ ）
1513 B． C． D． 5838
7．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是
21．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是则原来盒中有白色棋子（ ） 5 4
A ．
A ．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗
8．如图是一个转盘, 转盘分成8个相同的扇形,
指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
(1）指针指向红色； (2）指针指向黄色或绿色． 七．小结
八. 作业布置
九.
课后反思
25.2《用列举法求概率（1）》
学习目标
实验结果较少时，会列举出所有可能出现试验结果，利用P （A ）=学习重点与难点
重点：会用列举法求简单随机事件的概率． 难点：运用列举法分析试验中所有可能出现的结果．
学习过程
一．自主学习 1．什么是概率？
2．概率的计算公式是： ．
3．随机事件A 发生的概率的取值范围是： ． 二．探索新知
1．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个小方格的正
m
求简单随机事件的概率． n
方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多藏一颗地雷．小王在游戏中时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图如示的情况， 我们把与标号3的方格相临的方格记为A 区，A 区外的部分记为B 区．数字3表示在A 区中有三颗地雷．那么第二步应该踩在A 区还是B 区？
分析：第二部应踩在A 区域还是B 区域取决于 ，A 区域共有 个方格，其中有地雷 个，所以在A 区域遇到地雷的概率是 ；B 区域共有 个小方格，B 区域内共有 个地雷，所以在B 区域内遇到地雷的概率是 ，由于 ，所以第二部应踩在 区域．
2．掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币方面朝上．
完成以下问题：同时掷两枚硬币所产生可能性共有 种，它们分别是 ，其中两枚全部正面朝上的可能性只有 种，我们把两
枚硬币全部正面朝上记着事件A ，则P(A)= ；其中两枚全部反面朝上的可能性只有 种，我们把两枚硬币全部反面朝上记着事件B ，则P(B)= ；其中一枚正面朝上和一枚反面朝上有 种可能，我们把一枚正面朝上和一枚反面朝上记着事件C, 则P(C)= ．
讨论：同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币，这两种试验的所有可能结果一样吗？在先后两次掷一枚硬币时，先出现正面朝上，后出现反面朝上的概率是多少？
三．发现总结
当一个事件试验结果数比较小，并且可能出现的每一种结果的可能性相等时，通常采用列举法。运用列举法求概率的步骤如下：
（1）列举出事件产生的全部结果，确定公式中的 ； （2）满足条件的结果有几个，确定公式中的 ； （3）按概率计算公式P(A)= 求出概率．
四．应用巩固
1．在扫雷游戏中，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步 踩在哪一区域比较安全？试说明理由．
2．袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他的差别，随机摸出一个小球后放回， 再随机摸出一个，求下列事件的概率：
(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球； (2)两次都摸到相同颜色的小球；
(3)两次摸到的球中有一个绿球和一个红球．
3．把一副扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，求 下列事件发生的概率：
（1）抽取的牌的点数是6 （2）抽取的牌的点数是10 （3）抽取的牌带有人相 （4）抽取的牌点数小于5 （5）抽取的牌的花色是黑桃
五．课堂检测
1．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 . 2．在-1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线y =双曲线位于第一、三象限的概率是 ．
3．如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、23、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，1当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指
3
针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则：
4
P(3) P(4) ．( 填“>”、“=”或“
4．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、 2、3、4、5、6
六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（ ）
1112
A B. C. D. 2633
5．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上, 正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案. 现把它们的正面向下随机摆放在桌面上, 从中任意抽出一张, 则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A.
2
k
，该x
4
313
113
B. C. D. 1 424
2
6．在x □2xy□y的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A ．１ B．
311 C． D． 424
7．掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6）试求：
（1）奇数朝上的概率是多少？ （2）偶数朝上的概率是多少？ （3）质数朝上的概率是多少？
（4）大于4的数朝上的概率是多少？
8．在一个盒子中有红球、黑球和黄球共20个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸一球，得到红球的概率为
11
，得到黑球的概率为，试求在这20个中黄球共有多少个？
52
9．如图所示，“五·一”黄金周，华联商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定
顾客每购买50元得商品，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域（若指针指向扇形的分界线，则都重转一次），顾客就可以分别获得相应的奖品（转盘等分为16份）．小丽的妈妈购物82元．
（1）她参加这个活动获得奖品的概率是多少？ （2）她得到雨伞、钥匙扣的概率各是多少？
1：玩具狗5 2
2：钥匙扣14
3：雨伞
4：2个本子24
5：玩具汽车3
4
七．小结
八. 作业布置 九. 课后反思
25.2《用列举法求概率（2）》
学习目标
1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．
2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果．再运用P (A )=学习重点与难点
重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验．用列表法计算简单事件发生的概率． 难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果． 学习过程
一．自主学习
1．准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次试验．这次试验中所有可能出现的结果有 种，它们分别是： ．说说你是怎样分析的？ 二．探索新知
问题：同时掷两个质地均匀的骰子，分析所有可能出现的结果，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数的和是9； （3）至少有一个骰子的点数为2．
当一次试验要涉及两个因素（如：掷两个骰子）并且可能出现的结果较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，我们不妨把两个骰子分别记为第1个和第2个，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果．
6 5 4 3 2 1
m
求概率． n
第1 2 3 4 5 6 第1个
由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 个，它们出现的可能性相等．由所列表格可以发现：
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A ）的结果有 个，即 所以P(A)= ．
（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B ）的结果有 个，即 ，所以P(B)= ．
（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C ）的结果有 个，所以P(C)= ． 思考：将题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得的结果有变化吗?
三．发现总结
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；
②通过表格计数，确定公式P (A )=③利用公式P (A )=
m
中m 和n 的值； n
m
计算事件的概率． n
四．应用巩固
1．在6张卡片上分别写有1～6的整数．随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．用列表法列举出所有可能出现的结果，求第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率．
2．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球的标号相同；
（2）两次取出的小球的标号的和等于4．
五．课堂检测
1．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1，2，3，4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） A ．
3133
B． C． D．
84164
2．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三
辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） 1112A B． C． 3923
3．一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为何？（ ）
A ．
1321
B． C． D．
3432
4．学生甲与学生乙玩一种转盘游戏. 如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区
域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示. 固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次. 在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A.
5113
B. C. D.
6424
5．在一个不透明的盒子里，装有3个写有字母A 、2个写有字母B 和1个写有字母C 的小球， 它们的形
状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下字母后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下字母．请你用列表的方法，求摸出的两个小球上分别写有字母B 、C 的概率．
6．某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随机一次摸出两个球（每位同学必须且只能摸一．．．．．．．．次）．若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行．
（1）用列表法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率； （2）估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目？
7．小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规
则．
七．小结 八. 作业布置 九．课后反思
25.2《用列举法求概率（3）》
学习目标
1．会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
2．进一步提高分类的数学思想方法，掌握树形图的画法． 学习重点与难点
重点：正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素． 难点：用树形图法求出所有可能的结果． 学习过程
一．自主学习
1．英文字母中元音字母有 ．
2．在随机事件中，涉及两步或两步以上试验时，我们常用 法或 法来计算概率． 3．上节课的问题“同时掷两个质地均匀的骰子”你能用画树形图的方法分析这一试验所有可能出现的结果吗？试试看． 二．探索新知
问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是元音字母的概率是多少？ 问题中，这一实验涉及 因素（从3个口袋中取球），如何分析所有可能出现的结果？用列表法试试看，方便吗？
画树形图的方法：
第一步甲口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，写在第一行．
第二步乙口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，在甲口袋可能产生的每种结果下分别画出 个分支，在分支下分别写上 ．
第三步丙口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，在乙口袋可能产生的每种结果下分别画出 分支，在分支下分别写上 ．（如果有更多的步骤可依上继续）
第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数n ．再找出符合要求的种数m ，就可以利用P (A )=
m
计算出概率了． n
根据画树形图的方法画出树形图：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 种，即
．这些结果出现的可能性相等．
（1）只有1个元音字母的结果有 个，所以：P （1个元音）= ． 有2个元音字母的结果有 个，所以：P （2个元音）= ．
全部为元音字母的结果有 个，所以：P （3个元音）= ． （2）全是辅音字母的结果有 个，所以：P （3个辅音）= ． 思考：什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便？ 三．发现总结
在随机事件中，涉及两步或两步以上试验时，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以用 法或 法列举试验结果，分析出随机事件
发生的概率．当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用 法较方便；当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用 法较方便． 四．应用巩固
1．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： （1）三辆汽车全部继续直行；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转； （3）至少有两辆车向左转．
2．有三组牌，每组三张，牌面数字分别为1、2、3。从每组中任意抽出一张牌． （1）求抽出的三张牌点数相同的概率； （2）求抽出的三张牌的点数和为5的概率．
五．课堂检测
1．分别标有数字1、2、3的三个球放在一个盒子里将一个球从盒子里取出，记下它的号码，再将它放回，这个过程重复三次，每个球在每次过程中被取出的机会是相等的，那么标有2的球三次全被抽中的概率为（ ）
A ．
1111
B． C． D．
82776
2．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（ ）
A ．
1111
B． C． D．
3642
3．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小
刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率为（ ） A．
1357 B． C． D． 8888
4．小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次． （1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果； （2）若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往北京；有两次或两次以上反面向上，．．．．．．．．．．．．．．则由妈妈陪同前往北京．分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率； （3）若将“每次掷一枚硬币，连掷三次，有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同小明前往北
京”改为“同时掷三枚硬币，掷一次，有两枚或两枚以上正面向上时，由爸爸陪同小明前往．．．．．．．
北京”．求：在这种规定下，由爸爸陪同小明前往北京的概率．
5．从甲地到乙地有A 1、A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1、B 2、B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1、C 2两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求他恰好选到B 2路线的概率是多少？
6．小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．
（1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果． （2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？
（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？ 七．小结 八. 作业布置 九. 课后反思
25．3 利用频率估计概率
教学目标：
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P 附近摆动．这个稳定值P ，叫做随机事件A 的概率，并记为P (A )=P ． 课时计划：2课时 例题选讲
例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
（2）0.75．
评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．
例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图) ，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)
(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？到1°) 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69；
（4）0.69×360°≈248°．
评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；提供的信息估计概率．
(精确
（2）
频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )
A ．90个 B ．24个 C ．70个 D ．32个
2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）． A ．
1111
B ． C ． D ．
251000200
3．下列说法正确的是( ) ．
A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如
图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．
1111
、 B ．、 [1**********]C ．、 D ．、
21022
A ．
分)
5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A ．10粒 B ．160粒 C ．450粒 D ．500粒
6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是
33
，这个的含义是（ ）． 55
A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8； C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的
3； 5
1
，四位5
D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为
同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；
B ．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球； C ．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D ．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．
8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，
0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）． A ． 2元 B ．5元 C ．6元 D ．0元
二、填一填
9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：
___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．
10．红星养猪场400
11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：
表中估计全市获一等奖的人数为___________． 三、做一做
12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？ 四、小结
五、教学反思
第二十五章 概 率 初 步
备课人： 桂荣海
25.1 随机事件（一）
一:教学目标：
1. 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
2. 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程, 发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3. 能根据随机事件的特点, 辨别哪些事件是随机事件.
4. 引领学生感受随机事件就在身边, 增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 二：教学重点：
随机事件的特点. 教学难点：
判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三：课时计划：1课时 四：教学过程 【问题情境】 摸球游戏
三个不透明的袋子均装有10个乒乓球. 挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则
每人每次从自己选择的袋子中摸出一球, 记录下颜色, 放回, 搅匀, 重复前面的试验. 每人摸球5次. 按照摸出黄色球的次数排序, 次数最多的为第一名, 其次为第二名, 最少的为第三名.
【师生行为】
教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓
球；10个黄色的乒乓球.
学生积极参加游戏, 通过操作和观察, 归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的, 在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的, 在第3个袋子中摸出黄色球是必然的.
教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.
【问题情境】
指出下列事件中哪些是必然发生的, 哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1. 通常加热到100°C 时，水沸腾； 2. 姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3. 掷一次骰子，向上的一面是6点； 4. 度量三角形的内角和，结果是360°；
5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6. 某射击运动员射击一次，命中靶心； 7. 太阳东升西落；
8. 人离开水可以正常生活100天； 9. 正月十五雪打灯；
10. 宇宙飞船的速度比飞机快. 五：小结
六：作业布置：P131～132，1～3题。 七：教学反思
25.1 随机事件（二）
一：教学目标：
1. 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
2. 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程, 发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3. 能根据随机事件的特点, 辨别哪些事件是随机事件.
4. 引领学生感受随机事件就在身边, 增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 二：教学重点：
随机事件的特点. 教学难点：
判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三：课时计划：1课时
四：教学过程 【问题情境】 情境1
5名同学参加讲演比赛, 以抽签方式决定每个人的出场顺序. 签筒中有5根形状、大小相同的纸签, 上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5. 小军首先抽签, 他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签. 情境2
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】
学生首先独立思考, 再把自己的观点和小组其他同学交流, 并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布.
【设计意图】
开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维, 也有利于学生加深对学习内容的理解. 【问题情境】
请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件.
【师生行为】
教师引导学生充分交流，热烈讨论. 【设计意图】
随机事件在现实世界中广泛存在. 通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识.
【问题情境】
李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】
教师注意引导学生独立思考, 交流合作, 提升学生对问题的理解与判断能力. 【设计意图】
有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一的思想.
【问题情境】 五：小结 六：布置作业 P132 4～7题。 七；教学反思
25.1.2 概率
教学目标
1．了解随机事件发生的概率的意义．
2．掌握随机事件的概率的求法，会求简单随机事件的概率． 教学重点与难点
重点：会求简单随机事件的概率．
难点：分析随机事件发生的概率． 教学过程
一．自主学习
1．随机事件A 发生的概率：一般地，对于一个随机事件A ，把 ，称为随机事件A 发生的概率，记为P (A ) ．一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率
P (A ) ．由m 和n 的含义可知≤≤进而有≤ ，所以 ≤P (A ) ≤ ．
2．必然事件发生的概率为 ，不可能事件发生的概率为 ． 二．探索新知
1．从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机抽取一根，抽出的签上的号码有 种可能，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以：每个号码抽到的可能性大小（ ）都是总数的（ ）．
2．掷一枚六个面分别标有1～6的数字的均匀骰子，向上的一面的点数有 种可能，由于骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出的，所以：每种结果的可能性大小（ ）都是总数的（ ）．
3．观察与思考：以上两个试验有两个共同特点：
（1） ； （2） ；
对于具有上述特点的实验，我们可以从 ，分析出事件发生的概率． 三．应用新知
1．掷一个骰子观察向上一面的点数求下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
2．如图是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分别为红绿黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指右边的扇形）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色．
四．发现总结
1．求事件A 发生的概率的大小关键是：先求出试验中有所有可能的结果 ，及事 件A 所包含的各种可能的结果数 ，再利用公式P(A)=( ) 求解．
2. 事件发生的可能性越大，则它的概率越接近 ．事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 ． 五．应用巩固
1．掷一枚质地均匀的硬币的实验有 种可能的结果，它们的可能性 ，其中正面朝上的概率为 ．
2．袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出一个球，它是红色与是绿色的可能性 ，两者的概率分别是 与 ．
3．袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机地取出一个球． （1）能够事先确定取出的球是哪种颜色的吗？ （2）取出两种颜色的球的概率会相等吗？ （3）你认为取出哪种颜色的球的概率最大？
（4）怎样改变各色球的数目可以使取出每种颜色的球的概率都相等？（提出一种方法即可） 六．课堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是
1
”表示抽奖100次就一定会中奖 100
B ．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C ．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D ．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为
1 13
1
，下列说法错误的是（ ） ．．2
A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
4．在一个袋子里装有10个球,6个红球,3个黄球,1个绿球, 这些球除颜色外、形状、大小、质地等完全相同, 充分搅匀后, 在看不到球的条件下, 随机从这个袋子中摸出一球, 不是红球的概率是．．．．__________.
5．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的（ ） A ．1 B．
区域，么重新概率是
111 C． D．
324
6．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，
摸到红球的概率为（ ）
1513 B． C． D． 5838
7．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是
21．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是则原来盒中有白色棋子（ ） 5 4
A ．
A ．8颗 B．6颗 C．4颗 D．2颗
8．如图是一个转盘, 转盘分成8个相同的扇形,
指向右边的扇形）．求下列事件的概率：
(1）指针指向红色； (2）指针指向黄色或绿色． 七．小结
八. 作业布置
九.
课后反思
25.2《用列举法求概率（1）》
学习目标
实验结果较少时，会列举出所有可能出现试验结果，利用P （A ）=学习重点与难点
重点：会用列举法求简单随机事件的概率． 难点：运用列举法分析试验中所有可能出现的结果．
学习过程
一．自主学习 1．什么是概率？
2．概率的计算公式是： ．
3．随机事件A 发生的概率的取值范围是： ． 二．探索新知
1．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个小方格的正
m
求简单随机事件的概率． n
方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多藏一颗地雷．小王在游戏中时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图如示的情况， 我们把与标号3的方格相临的方格记为A 区，A 区外的部分记为B 区．数字3表示在A 区中有三颗地雷．那么第二步应该踩在A 区还是B 区？
分析：第二部应踩在A 区域还是B 区域取决于 ，A 区域共有 个方格，其中有地雷 个，所以在A 区域遇到地雷的概率是 ；B 区域共有 个小方格，B 区域内共有 个地雷，所以在B 区域内遇到地雷的概率是 ，由于 ，所以第二部应踩在 区域．
2．掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币方面朝上．
完成以下问题：同时掷两枚硬币所产生可能性共有 种，它们分别是 ，其中两枚全部正面朝上的可能性只有 种，我们把两
枚硬币全部正面朝上记着事件A ，则P(A)= ；其中两枚全部反面朝上的可能性只有 种，我们把两枚硬币全部反面朝上记着事件B ，则P(B)= ；其中一枚正面朝上和一枚反面朝上有 种可能，我们把一枚正面朝上和一枚反面朝上记着事件C, 则P(C)= ．
讨论：同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币，这两种试验的所有可能结果一样吗？在先后两次掷一枚硬币时，先出现正面朝上，后出现反面朝上的概率是多少？
三．发现总结
当一个事件试验结果数比较小，并且可能出现的每一种结果的可能性相等时，通常采用列举法。运用列举法求概率的步骤如下：
（1）列举出事件产生的全部结果，确定公式中的 ； （2）满足条件的结果有几个，确定公式中的 ； （3）按概率计算公式P(A)= 求出概率．
四．应用巩固
1．在扫雷游戏中，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步 踩在哪一区域比较安全？试说明理由．
2．袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他的差别，随机摸出一个小球后放回， 再随机摸出一个，求下列事件的概率：
(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球； (2)两次都摸到相同颜色的小球；
(3)两次摸到的球中有一个绿球和一个红球．
3．把一副扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，求 下列事件发生的概率：
（1）抽取的牌的点数是6 （2）抽取的牌的点数是10 （3）抽取的牌带有人相 （4）抽取的牌点数小于5 （5）抽取的牌的花色是黑桃
五．课堂检测
1．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 . 2．在-1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线y =双曲线位于第一、三象限的概率是 ．
3．如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1、2、23、4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，1当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指
3
针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则：
4
P(3) P(4) ．( 填“>”、“=”或“
4．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、 2、3、4、5、6
六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（ ）
1112
A B. C. D. 2633
5．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上, 正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案. 现把它们的正面向下随机摆放在桌面上, 从中任意抽出一张, 则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )
A.
2
k
，该x
4
313
113
B. C. D. 1 424
2
6．在x □2xy□y的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A ．１ B．
311 C． D． 424
7．掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6）试求：
（1）奇数朝上的概率是多少？ （2）偶数朝上的概率是多少？ （3）质数朝上的概率是多少？
（4）大于4的数朝上的概率是多少？
8．在一个盒子中有红球、黑球和黄球共20个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸一球，得到红球的概率为
11
，得到黑球的概率为，试求在这20个中黄球共有多少个？
52
9．如图所示，“五·一”黄金周，华联商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定
顾客每购买50元得商品，就能获得一次转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域（若指针指向扇形的分界线，则都重转一次），顾客就可以分别获得相应的奖品（转盘等分为16份）．小丽的妈妈购物82元．
（1）她参加这个活动获得奖品的概率是多少？ （2）她得到雨伞、钥匙扣的概率各是多少？
1：玩具狗5 2
2：钥匙扣14
3：雨伞
4：2个本子24
5：玩具汽车3
4
七．小结
八. 作业布置 九. 课后反思
25.2《用列举法求概率（2）》
学习目标
1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．
2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果．再运用P (A )=学习重点与难点
重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验．用列表法计算简单事件发生的概率． 难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果． 学习过程
一．自主学习
1．准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次试验．这次试验中所有可能出现的结果有 种，它们分别是： ．说说你是怎样分析的？ 二．探索新知
问题：同时掷两个质地均匀的骰子，分析所有可能出现的结果，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数的和是9； （3）至少有一个骰子的点数为2．
当一次试验要涉及两个因素（如：掷两个骰子）并且可能出现的结果较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，我们不妨把两个骰子分别记为第1个和第2个，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果．
6 5 4 3 2 1
m
求概率． n
第1 2 3 4 5 6 第1个
由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 个，它们出现的可能性相等．由所列表格可以发现：
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A ）的结果有 个，即 所以P(A)= ．
（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B ）的结果有 个，即 ，所以P(B)= ．
（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C ）的结果有 个，所以P(C)= ． 思考：将题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得的结果有变化吗?
三．发现总结
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；
②通过表格计数，确定公式P (A )=③利用公式P (A )=
m
中m 和n 的值； n
m
计算事件的概率． n
四．应用巩固
1．在6张卡片上分别写有1～6的整数．随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．用列表法列举出所有可能出现的结果，求第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率．
2．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球的标号相同；
（2）两次取出的小球的标号的和等于4．
五．课堂检测
1．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1，2，3，4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） A ．
3133
B． C． D．
84164
2．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三
辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） 1112A B． C． 3923
3．一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为何？（ ）
A ．
1321
B． C． D．
3432
4．学生甲与学生乙玩一种转盘游戏. 如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区
域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示. 固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次. 在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A.
5113
B. C. D.
6424
5．在一个不透明的盒子里，装有3个写有字母A 、2个写有字母B 和1个写有字母C 的小球， 它们的形
状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下字母后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下字母．请你用列表的方法，求摸出的两个小球上分别写有字母B 、C 的概率．
6．某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随机一次摸出两个球（每位同学必须且只能摸一．．．．．．．．次）．若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行．
（1）用列表法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率； （2）估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目？
7．小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规
则．
七．小结 八. 作业布置 九．课后反思
25.2《用列举法求概率（3）》
学习目标
1．会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率．
2．进一步提高分类的数学思想方法，掌握树形图的画法． 学习重点与难点
重点：正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素． 难点：用树形图法求出所有可能的结果． 学习过程
一．自主学习
1．英文字母中元音字母有 ．
2．在随机事件中，涉及两步或两步以上试验时，我们常用 法或 法来计算概率． 3．上节课的问题“同时掷两个质地均匀的骰子”你能用画树形图的方法分析这一试验所有可能出现的结果吗？试试看． 二．探索新知
问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是元音字母的概率是多少？ 问题中，这一实验涉及 因素（从3个口袋中取球），如何分析所有可能出现的结果？用列表法试试看，方便吗？
画树形图的方法：
第一步甲口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，写在第一行．
第二步乙口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，在甲口袋可能产生的每种结果下分别画出 个分支，在分支下分别写上 ．
第三步丙口袋可能产生的结果为 ，它们出现的可能性 且不分先后，在乙口袋可能产生的每种结果下分别画出 分支，在分支下分别写上 ．（如果有更多的步骤可依上继续）
第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数n ．再找出符合要求的种数m ，就可以利用P (A )=
m
计算出概率了． n
根据画树形图的方法画出树形图：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 种，即
．这些结果出现的可能性相等．
（1）只有1个元音字母的结果有 个，所以：P （1个元音）= ． 有2个元音字母的结果有 个，所以：P （2个元音）= ．
全部为元音字母的结果有 个，所以：P （3个元音）= ． （2）全是辅音字母的结果有 个，所以：P （3个辅音）= ． 思考：什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便？ 三．发现总结
在随机事件中，涉及两步或两步以上试验时，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以用 法或 法列举试验结果，分析出随机事件
发生的概率．当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用 法较方便；当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用 法较方便． 四．应用巩固
1．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： （1）三辆汽车全部继续直行；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转； （3）至少有两辆车向左转．
2．有三组牌，每组三张，牌面数字分别为1、2、3。从每组中任意抽出一张牌． （1）求抽出的三张牌点数相同的概率； （2）求抽出的三张牌的点数和为5的概率．
五．课堂检测
1．分别标有数字1、2、3的三个球放在一个盒子里将一个球从盒子里取出，记下它的号码，再将它放回，这个过程重复三次，每个球在每次过程中被取出的机会是相等的，那么标有2的球三次全被抽中的概率为（ ）
A ．
1111
B． C． D．
82776
2．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（ ）
A ．
1111
B． C． D．
3642
3．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小
刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率为（ ） A．
1357 B． C． D． 8888
4．小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次． （1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果； （2）若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往北京；有两次或两次以上反面向上，．．．．．．．．．．．．．．则由妈妈陪同前往北京．分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率； （3）若将“每次掷一枚硬币，连掷三次，有两次或两次以上正面向上时，由爸爸陪同小明前往北
京”改为“同时掷三枚硬币，掷一次，有两枚或两枚以上正面向上时，由爸爸陪同小明前往．．．．．．．
北京”．求：在这种规定下，由爸爸陪同小明前往北京的概率．
5．从甲地到乙地有A 1、A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1、B 2、B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1、C 2两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求他恰好选到B 2路线的概率是多少？
6．小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．
（1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果． （2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？
（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？ 七．小结 八. 作业布置 九. 课后反思
25．3 利用频率估计概率
教学目标：
1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P 附近摆动．这个稳定值P ，叫做随机事件A 的概率，并记为P (A )=P ． 课时计划：2课时 例题选讲
例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
（2）0.75．
评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．
例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图) ，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)
(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少？ (3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？到1°) 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69；
（4）0.69×360°≈248°．
评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；提供的信息估计概率．
(精确
（2）
频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所
基础训练
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )
A ．90个 B ．24个 C ．70个 D ．32个
2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）． A ．
1111
B ． C ． D ．
251000200
3．下列说法正确的是( ) ．
A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C ．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如
图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．
1111
、 B ．、 [1**********]C ．、 D ．、
21022
A ．
分)
5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A ．10粒 B ．160粒 C ．450粒 D ．500粒
6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是
33
，这个的含义是（ ）． 55
A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8； C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的
3； 5
1
，四位5
D ．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为
同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A ．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；
B ．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球； C ．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D ．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．
8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，
0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）． A ． 2元 B ．5元 C ．6元 D ．0元
二、填一填
9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：
___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．
10．红星养猪场400
11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：
表中估计全市获一等奖的人数为___________． 三、做一做
12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？ 四、小结
五、教学反思