几何画板中椭圆的几种构造方法
高二8班 第二组
在数学学习过程中我们发现有很多题目都能得到椭圆的方程。我们组把它们整理发现利用几何画板也可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：
椭圆的构造方法一：借助于椭圆的第一定义
椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的
距离之和为定值2a （2a ＞|F1F 2|）的点的轨迹。
（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任
取一点P ，在圆内任取一点A ；
（2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于
点M ，连接MA ；
（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点P ，让
点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨迹为以O ，A
为焦点长轴长为2a 的椭圆 。
如图：图中的MP=MA，所以OM+MA=OM+MP=OP=
圆的半径，符合椭圆的第一定义。
椭圆的构造方法二：借助于椭圆的第二定义
椭圆的第二定义：设动点M (x , y ) 与定点F (c , 0) 的距离和它到定直线l : x ＝
c
a a 2c 的距离的比是常数(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F 是椭圆的一个焦点，直线
l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。常数e ＝c
a (0
（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。过点F 作一条直线，在直线上取一点P ；
（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP
的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正
数) ，计算FP/e；
（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，
以M 为圆心，以FP/e为半径做圆，交垂线于N
点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；
（4）追踪A ，B 两点，让P 在直线PF 上任
意移动可得椭圆方程。
椭圆的构造方法三：借助椭圆的参数方程
1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b(a>b>0)为半
径画两个圆;
2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；
3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂
直于AN ，垂足为M ；
4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨
迹”功能，画出椭圆。
椭圆的构造方法四：借助于重要例题
求与两圆同时内切和外切的圆的圆心轨迹。（这样
构造椭圆的依据仍然是椭圆的第一定义）
（1）任取线段AB ，在AB 上取点C ，使AC ＞CB ，
分别以AB ，BC 构造圆O 1，圆O 2，（圆O 2在圆O 1内部）；
（2）在圆O 1上任取一点P ，作直线OP ，以P 为圆
心，以CB 为半径作圆，交直线OP 于M 点；
（3）连MO 2，作线段MO 2的中垂线，交MO 1于N 点，
以N 为圆心，以NP 为半径作圆，得与圆O 1内切，与圆
O 2外切的圆N ；
（4）追踪N 点，让点P 在圆O 1上任意移动，可得
N 点轨迹为以O 1O 2为焦点的椭圆。
椭圆的构造方法五：借助于课本例题 例题：在圆上任取一点A ，过点A 作x 轴的垂线段AD ，D 为垂足。当点A 在圆上运动时，求AD 靠近D 的三等分点的轨迹。
（1）定义坐标系；
（2）以原点为圆心，任意长度为半径作圆；
（3）在圆上任取一点A ，并度量其横纵坐
标x A ，y A 。
（4）计算y A /3（分母可改为其他不等于1
的正数）；
（5）绘制点B （x A ，y A /3），并追踪点B ，
让点A 在圆上任意移动，可得B 点的轨迹为椭
圆。
椭圆的构造方法六：借助于课本例题 例题：设A 、B 的坐标分别为（-5，0）、（5，0）. 直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为-4，求点M 的轨9
迹方程。
(1)定义坐标系；
(2)取动点A ，在x 轴上运动，
(3)以A 点横坐标为斜率画L 1，再以-4(x -5)
9x 为斜率画L 2，
A
（4）构造交点，追踪交点即可。
几何画板中椭圆的几种构造方法
高二8班 第二组
在数学学习过程中我们发现有很多题目都能得到椭圆的方程。我们组把它们整理发现利用几何画板也可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：
椭圆的构造方法一：借助于椭圆的第一定义
椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的
距离之和为定值2a （2a ＞|F1F 2|）的点的轨迹。
（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任
取一点P ，在圆内任取一点A ；
（2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于
点M ，连接MA ；
（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点P ，让
点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨迹为以O ，A
为焦点长轴长为2a 的椭圆 。
如图：图中的MP=MA，所以OM+MA=OM+MP=OP=
圆的半径，符合椭圆的第一定义。
椭圆的构造方法二：借助于椭圆的第二定义
椭圆的第二定义：设动点M (x , y ) 与定点F (c , 0) 的距离和它到定直线l : x ＝
c
a a 2c 的距离的比是常数(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F 是椭圆的一个焦点，直线
l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。常数e ＝c
a (0
（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。过点F 作一条直线，在直线上取一点P ；
（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP
的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正
数) ，计算FP/e；
（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，
以M 为圆心，以FP/e为半径做圆，交垂线于N
点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；
（4）追踪A ，B 两点，让P 在直线PF 上任
意移动可得椭圆方程。
椭圆的构造方法三：借助椭圆的参数方程
1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b(a>b>0)为半
径画两个圆;
2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；
3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂
直于AN ，垂足为M ；
4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨
迹”功能，画出椭圆。
椭圆的构造方法四：借助于重要例题
求与两圆同时内切和外切的圆的圆心轨迹。（这样
构造椭圆的依据仍然是椭圆的第一定义）
（1）任取线段AB ，在AB 上取点C ，使AC ＞CB ，
分别以AB ，BC 构造圆O 1，圆O 2，（圆O 2在圆O 1内部）；
（2）在圆O 1上任取一点P ，作直线OP ，以P 为圆
心，以CB 为半径作圆，交直线OP 于M 点；
（3）连MO 2，作线段MO 2的中垂线，交MO 1于N 点，
以N 为圆心，以NP 为半径作圆，得与圆O 1内切，与圆
O 2外切的圆N ；
（4）追踪N 点，让点P 在圆O 1上任意移动，可得
N 点轨迹为以O 1O 2为焦点的椭圆。
椭圆的构造方法五：借助于课本例题 例题：在圆上任取一点A ，过点A 作x 轴的垂线段AD ，D 为垂足。当点A 在圆上运动时，求AD 靠近D 的三等分点的轨迹。
（1）定义坐标系；
（2）以原点为圆心，任意长度为半径作圆；
（3）在圆上任取一点A ，并度量其横纵坐
标x A ，y A 。
（4）计算y A /3（分母可改为其他不等于1
的正数）；
（5）绘制点B （x A ，y A /3），并追踪点B ，
让点A 在圆上任意移动，可得B 点的轨迹为椭
圆。
椭圆的构造方法六：借助于课本例题 例题：设A 、B 的坐标分别为（-5，0）、（5，0）. 直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为-4，求点M 的轨9
迹方程。
(1)定义坐标系；
(2)取动点A ，在x 轴上运动，
(3)以A 点横坐标为斜率画L 1，再以-4(x -5)
9x 为斜率画L 2，
A
（4）构造交点，追踪交点即可。