分式方程经典试题集锦
一、分式方程：
1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。
2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。
3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。
4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。
例5，解方程： 。
分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。
解：将原方程变形：
去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7,
去括号：4+3x+9=7
移项：3x=7-4-9
合并同类项：3x=-6
系数化为1：x=-2
检验：把x=-2代入原方程
左边= =2+ = ，
右边= = ，
∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。
注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。
例6，解方程： =1- 。
分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。
解：原方程变形： =1-
去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)，
得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x2-2)
去括号：x2-10x+21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2
合并同类项：-4x+16=-8x+9
移项：-4x+8x=9-16
合并同类项：4x=-7
系数化为1：∴x=-
检验：将x=- 代入(x-7)(x-1)
∵(x-7)(x-1)=( - -7)( - -1)≠0,
∴x=- 是原方程的解。
注：（1）在进行方程变形中： = ， =- 。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x2-6x+5)=-x2+6x-5，-(x2-2)=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母 (x-7)(x-1)。
例7，解方程： 。
解：原方程化为： ，
去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)，
得：7(x-1)+3(x+1)=6x
去括号：7x-7+3x+3=6x
移项：7x+3x-6x=7-3
合并同类项：4x=4
系数化为1：∴x=1
检验：把x=1代入x(x+1)(x-1)
∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0,
∴x=1是原方程的增根，舍去。
∴原方程无解。
例8，解方程： - - + =0。
分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。
解法（一）：原方程化为： - = -
将方程两边分别通分：
= ，
化简： = ，
∴ = ，
∴ = ，
去分母，方程两边同乘以 (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)：
(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)
去括号：x2-8x+15=x2-6x+8
移项：x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：-2x=-7
系数化为1：∴x=
检验，将x= 代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
∵ (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=( -2)( -3)( -4)( -5)≠0
∴x= 是原方程的解。
解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。如 = =1+ 。
解：原方程可变形为：（1+ ）-（1+ ）=（1+ ）-（1+ ）
化简得： - = -
将方程两边分别通分：
∴ = ，
∴ = ，
去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，
得：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)
去括号：x2-8x+15=x2-6x+8
移项：x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：-2x=-7
系数化为1：∴x=
检验：将x= 代入(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)≠0，
∴x= 是原方程的解。
二、解分式方程时注意以下几个问题：
1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；
2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；
3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少；
4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。
同步检测
一选择
1.下面是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若 得值为-1，则x等于( )
A. B. C. D.
3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.分式方程 的解为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
5.若分式方程 的解为2，则a的值为（ ）
A.4 B.1 C.0 D.2
6.分式方程 的解是（ ）
A.无解 B.x=2 C. x=-2 D. x=2或x=-2
7.如果关于x的方程 无解，则m等于（ ）
A.3 B. 4 C.-3 D.5
8.解方程 时，去分母得( )
A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1)
C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D.(x-3)+2(x-3)=x-5
二、填空
9.已知关于 的分式方程 的根大于零，那么a的取值范围是 .
10.关于 的分式方程 有增根 =-2，那么k= .
11.若关于 的方程 产生增根，那么m的值是 .
12.当m= 时，方程 的解与方程 的解互为相反数.
13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为 .
14.如果 ，则A= ；B= .
三、解答题
15.解分式方程
⑴ ⑵
(3） （4）
16.已知关于 的方程 无解，求a的值？
17.已知 与 的解相同，求m的值？
18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的 倍，用 元给汽车加的油量比去年少 升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？
⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？
参考答案
一、选择
1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C
二、填空
9.a
三、解答题
15.⑴ 解：方程变形为
两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.
⑵ 解：两边同时乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18, ,经检验 是原方程的解.
(3）解：方程两边同时乘以想x(x2-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.
(4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)
整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.
16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a·0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2.
17. 解： ，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得 ，故m=10.
18. 解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为 ，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.
19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要 天，乙单独完成该项目需要 天，依题意可列方程组为
解得 ，经检验 是原方程组的解，也符合题意.
⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得 ，解得 ，b取最小值为40.
故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.
分式方程经典试题集锦
一、分式方程：
1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。
2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。
3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。
4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。
例5，解方程： 。
分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。
解：将原方程变形：
去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7,
去括号：4+3x+9=7
移项：3x=7-4-9
合并同类项：3x=-6
系数化为1：x=-2
检验：把x=-2代入原方程
左边= =2+ = ，
右边= = ，
∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。
注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。
例6，解方程： =1- 。
分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。
解：原方程变形： =1-
去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)，
得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x2-2)
去括号：x2-10x+21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2
合并同类项：-4x+16=-8x+9
移项：-4x+8x=9-16
合并同类项：4x=-7
系数化为1：∴x=-
检验：将x=- 代入(x-7)(x-1)
∵(x-7)(x-1)=( - -7)( - -1)≠0,
∴x=- 是原方程的解。
注：（1）在进行方程变形中： = ， =- 。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x2-6x+5)=-x2+6x-5，-(x2-2)=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母 (x-7)(x-1)。
例7，解方程： 。
解：原方程化为： ，
去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)，
得：7(x-1)+3(x+1)=6x
去括号：7x-7+3x+3=6x
移项：7x+3x-6x=7-3
合并同类项：4x=4
系数化为1：∴x=1
检验：把x=1代入x(x+1)(x-1)
∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0,
∴x=1是原方程的增根，舍去。
∴原方程无解。
例8，解方程： - - + =0。
分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。
解法（一）：原方程化为： - = -
将方程两边分别通分：
= ，
化简： = ，
∴ = ，
∴ = ，
去分母，方程两边同乘以 (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)：
(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)
去括号：x2-8x+15=x2-6x+8
移项：x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：-2x=-7
系数化为1：∴x=
检验，将x= 代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
∵ (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=( -2)( -3)( -4)( -5)≠0
∴x= 是原方程的解。
解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。如 = =1+ 。
解：原方程可变形为：（1+ ）-（1+ ）=（1+ ）-（1+ ）
化简得： - = -
将方程两边分别通分：
∴ = ，
∴ = ，
去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，
得：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)
去括号：x2-8x+15=x2-6x+8
移项：x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：-2x=-7
系数化为1：∴x=
检验：将x= 代入(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)≠0，
∴x= 是原方程的解。
二、解分式方程时注意以下几个问题：
1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；
2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；
3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少；
4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。
同步检测
一选择
1.下面是分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若 得值为-1，则x等于( )
A. B. C. D.
3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.分式方程 的解为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
5.若分式方程 的解为2，则a的值为（ ）
A.4 B.1 C.0 D.2
6.分式方程 的解是（ ）
A.无解 B.x=2 C. x=-2 D. x=2或x=-2
7.如果关于x的方程 无解，则m等于（ ）
A.3 B. 4 C.-3 D.5
8.解方程 时，去分母得( )
A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1)
C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1) D.(x-3)+2(x-3)=x-5
二、填空
9.已知关于 的分式方程 的根大于零，那么a的取值范围是 .
10.关于 的分式方程 有增根 =-2，那么k= .
11.若关于 的方程 产生增根，那么m的值是 .
12.当m= 时，方程 的解与方程 的解互为相反数.
13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为 .
14.如果 ，则A= ；B= .
三、解答题
15.解分式方程
⑴ ⑵
(3） （4）
16.已知关于 的方程 无解，求a的值？
17.已知 与 的解相同，求m的值？
18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的 倍，用 元给汽车加的油量比去年少 升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？
⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？
参考答案
一、选择
1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C
二、填空
9.a
三、解答题
15.⑴ 解：方程变形为
两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.
⑵ 解：两边同时乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18, ,经检验 是原方程的解.
(3）解：方程两边同时乘以想x(x2-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.
(4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)
整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.
16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a·0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2.
17. 解： ，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得 ，故m=10.
18. 解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为 ，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.
19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要 天，乙单独完成该项目需要 天，依题意可列方程组为
解得 ，经检验 是原方程组的解，也符合题意.
⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得 ，解得 ，b取最小值为40.
故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.