黄金分割
（一）教学知识点
1. 知道黄金分割的定义.
2. 会找一条线段的黄金分割点.
3. 会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历
史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A）
●教学过程
开篇引入：我们的世界是一个美丽的世界。我们人类也有很多的帅哥（点击课件，两下）美女（点击课
件两下）。你们看他们的身材是不是很棒啊？（点击课件一下）在这个世界有身材好的（点
击），也有身体躯干不和谐的。（点击）那他们的差异怎么就那么大呢？（点击）
具有和谐，平衡，舒适的美。那么这个比例到底是怎样的比例呢？今天我们就来学习这个知
识——黄金分割。
一、黄金分割的知识概念：
（生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方. 比如五角星。那么在一个五角星中，点C 把AB 分成两段AC 和BC ，那么线段AC 、BC 和AB 之间到底又怎样的关系呢？请同学咸自学完成学案的第一部分——知识概念。）
1、 引例：阅读P109，我能完成：用刻度尺度量课本中五角星点C 到点A 、B 的距离, 以及AB 的长度。并且
它们的值相等吗？（精确到0.1） AC=__________cm BC=__________cm AB=__________cm C B AC BC 、, AB AC
AC BC AC BC _______ =___________=___________, ∴AB AC AB AC
此刻，线段AB 被点C 黄金分割了，那什么叫黄金分割呢？
2、 定义：（1）、如果__________________，那么称线段AB 被点C 黄金分割。点C 叫做_____________，AC 与AB 的比
叫做___________，且AC :AB =_________:_________≈_________
注释：为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美; 其二是黄金分割的应用价值不可估量, 故冠以黄金二字.
领悟黄金分割：
1、 其实, 黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC 。一个点将一条线段分成了两条不相等的线段，一
条是较长线段，一条是较短线段，一条是全线段。黄金分割就是长线段与全段的比等于短线段与长线段的比。
AC BC 2或者AC =AB ⋅BC =AB AC
AC BC 2要证明点C 是线段AB 的黄金分割点，即证明，或者证明AC =AB ⋅BC =AB AC 2、 定义的双向性：已知点C 为黄金分割点⇔
反过来，由点是黄金分割点，就可以得到AC AC BC 或者==AB AC AB -1 2
3、 只有当点C 为黄金分割点的时候，AC 才叫做黄金比。黄金比一个是准确值，另一个是近似值。一般在纯数学的问AB
题上我们就是用准确值
4、
5、 那这个-1，而在日常生活的运用中，就只能用一个近似值0.618。 2-1是怎么出来的呢。我们以一条长度为1线段AB 为例，设AC=x,则BC=1-x，2
那根据黄金分割的定义，我们可以得到： AC BC x x -1=, 即=⇒x 2=x -1⇒x 2-x +1=0 AB AC 1x
-1 2对于这个方程，是同学们在初三的时候要学习的一元二次方程。有这个方程我们解出来x =
A 2C B 6、 由于AC =AB ⋅BC ，那么AC 就是AB 和BC 的比例中项。其实0.618就是只黄金分割点在距离长为1的线段端点
的0.618处。那一条线段就有两个黄金分割点。可以是在距点A 的0.618处，也可以是距点B 的0.618处。
7、 那么同学们可以测量一下你们的课桌，以课桌的长为线段，你们来找出黄金分割点在哪里。
8、 较长短比上全段等于5-1，所以AC =25-1AB 那么较短线段比上全段又等于多少呢？ 2
AB =1，AC =-1-13-3-5=AB , ∴BC =AB -AC =1-, ∴BC =2222
总结：一条被黄金分割的线段，三条线段知其任意的一条长度就可以求出另外两条。
例如：已知线段AB 被点C 黄金分割了，且AB=6，求线段AC 和BC 的长。 解：因为线段被黄金分割，可以得出黄金比AC =-13-5AB , 且BC =AB 。所以… 22
学习了黄金分割，我们就知道了黄金分割不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分
割的比例像黄金一样珍贵。比如人：（1）、世界名画《蒙娜丽莎》，就是根据黄金分割的比例来构图的。
（2）、第二幅画为什么看起来就不漂亮呢？原因是眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。那这个人就是比较漂亮的。（3）人体的黄金分割点就是肚脐眼，眉毛是脸部的黄金分割点。（4）、建筑中也有黄金比例的运用。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。上海的东方明珠等都是运用了黄金比。（5）、生活中的黄金分割：比如，演员在台上的时候，如果站在台中央，就显得太呆板了，而如果站在黄金分割的位置上，就会显得活泼和生动。老师站在黄金分割点处，视野更开阔，学生也是有看黑板的最佳视觉效果。
二、会找且会判断一条线段的黄金分割点吗？
知道了黄金分割点，那随便给你一条线段，你能找出他的黄金分割点吗？你又能否判断一个点是一条线段的黄金分割点吗？请同学们看大屏幕中的作图过程。在请同学们自学完成学案的第二部分。这就是黄金分割点的画法。
如图2，已知线段AB ，按照如下方法作图：
1、做一条线段的黄金分割点：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =1AB . 2
（2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE . 则点C 为线段AB 的黄金分割点.
以上的步骤就是黄金分割点的画法。请同学们记住这种作法。你知道是为什么吗？
2、证明黄金分割：
（1） 如果设AB=2，那么BD 、AD 、AC 、BC 分别等于多少？
BD =1AB =_______；DE =BD =________ 2
AD =________+________=__________ 利用勾股定理
AC =AE =_______-DE =________ ；BC =AB -AC =_________
（2） 点C 是线段AB 的黄金分割点吗？
若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足
要证明
2AC BC 。 =AB AC AC BC 2，可以先证明AC =AB ⋅BC ； =AB AC 2) =___________； ∵AC =(_________
AB ⋅BC =________⋅________=____________
∴AC =AB ⋅BC ∴2AC BC ∴点C 是线段AB 的黄金分割点。 =AB AC
请一个小组来展示他的成果，并附以简单的解释！
有这个证明我们可以总结出，要证明一条线段上的点是黄金分割点，只需要证明点分线段成的两条线段满足这个等式。
（5）、黄金分割是个古老的数学问题，比如古埃及的胡夫金字塔形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。（5）、又比如古希腊时期的巴台农神庙,
我们将神庙的一面抽象成矩
形ABCD, 以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现
BC AB , 点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？请同学们完成学案的第三部分。(由=BE BC
AE AB BC AB 题可知， ABCD是矩形，ADFE 是正方形，则可得到AE=AD=BC。∵ ∴有) ==BE BC BE AE
二、黄金矩形：
矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，
是AB 的黄金分割点吗？（2）矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ BC AB （1）点E =BE BC
证明：（1）点E 是AB 的黄金分割点。（即证明AE 2=AB ⋅BE ）
∵ BC AB 2⋅_______ ； ∴BC =______=BE BC
又∵四边形ABCD 为矩形，四边形ADFE 是正方形，∴BC =______
∴______=AB ⋅BE
(2)∵AE BC 是黄金比 ∴ 也是黄金比 ∴矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比 AB AB
AB -1=2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形、 黄金矩形：如果一个矩形ABCD (AB ＜BC ) 中，BC
三、练习
同学们学懂了黄金分割了吗？光说不练假把式，我们就来试一试吧
四、总结：
五、结尾：你们看今天林老师我穿上高跟鞋。为什么人们会穿高跟鞋呢？高跟鞋的最大作用就是提高人
体的躯干的优美性。那这是为什么呢？现在你们能解释这个原理了吗？
六、作业
黄金分割
（一）教学知识点
1. 知道黄金分割的定义.
2. 会找一条线段的黄金分割点.
3. 会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历
史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A）
●教学过程
开篇引入：我们的世界是一个美丽的世界。我们人类也有很多的帅哥（点击课件，两下）美女（点击课
件两下）。你们看他们的身材是不是很棒啊？（点击课件一下）在这个世界有身材好的（点
击），也有身体躯干不和谐的。（点击）那他们的差异怎么就那么大呢？（点击）
具有和谐，平衡，舒适的美。那么这个比例到底是怎样的比例呢？今天我们就来学习这个知
识——黄金分割。
一、黄金分割的知识概念：
（生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方. 比如五角星。那么在一个五角星中，点C 把AB 分成两段AC 和BC ，那么线段AC 、BC 和AB 之间到底又怎样的关系呢？请同学咸自学完成学案的第一部分——知识概念。）
1、 引例：阅读P109，我能完成：用刻度尺度量课本中五角星点C 到点A 、B 的距离, 以及AB 的长度。并且
它们的值相等吗？（精确到0.1） AC=__________cm BC=__________cm AB=__________cm C B AC BC 、, AB AC
AC BC AC BC _______ =___________=___________, ∴AB AC AB AC
此刻，线段AB 被点C 黄金分割了，那什么叫黄金分割呢？
2、 定义：（1）、如果__________________，那么称线段AB 被点C 黄金分割。点C 叫做_____________，AC 与AB 的比
叫做___________，且AC :AB =_________:_________≈_________
注释：为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美; 其二是黄金分割的应用价值不可估量, 故冠以黄金二字.
领悟黄金分割：
1、 其实, 黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊线段AB,AC 和BC 。一个点将一条线段分成了两条不相等的线段，一
条是较长线段，一条是较短线段，一条是全线段。黄金分割就是长线段与全段的比等于短线段与长线段的比。
AC BC 2或者AC =AB ⋅BC =AB AC
AC BC 2要证明点C 是线段AB 的黄金分割点，即证明，或者证明AC =AB ⋅BC =AB AC 2、 定义的双向性：已知点C 为黄金分割点⇔
反过来，由点是黄金分割点，就可以得到AC AC BC 或者==AB AC AB -1 2
3、 只有当点C 为黄金分割点的时候，AC 才叫做黄金比。黄金比一个是准确值，另一个是近似值。一般在纯数学的问AB
题上我们就是用准确值
4、
5、 那这个-1，而在日常生活的运用中，就只能用一个近似值0.618。 2-1是怎么出来的呢。我们以一条长度为1线段AB 为例，设AC=x,则BC=1-x，2
那根据黄金分割的定义，我们可以得到： AC BC x x -1=, 即=⇒x 2=x -1⇒x 2-x +1=0 AB AC 1x
-1 2对于这个方程，是同学们在初三的时候要学习的一元二次方程。有这个方程我们解出来x =
A 2C B 6、 由于AC =AB ⋅BC ，那么AC 就是AB 和BC 的比例中项。其实0.618就是只黄金分割点在距离长为1的线段端点
的0.618处。那一条线段就有两个黄金分割点。可以是在距点A 的0.618处，也可以是距点B 的0.618处。
7、 那么同学们可以测量一下你们的课桌，以课桌的长为线段，你们来找出黄金分割点在哪里。
8、 较长短比上全段等于5-1，所以AC =25-1AB 那么较短线段比上全段又等于多少呢？ 2
AB =1，AC =-1-13-3-5=AB , ∴BC =AB -AC =1-, ∴BC =2222
总结：一条被黄金分割的线段，三条线段知其任意的一条长度就可以求出另外两条。
例如：已知线段AB 被点C 黄金分割了，且AB=6，求线段AC 和BC 的长。 解：因为线段被黄金分割，可以得出黄金比AC =-13-5AB , 且BC =AB 。所以… 22
学习了黄金分割，我们就知道了黄金分割不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分
割的比例像黄金一样珍贵。比如人：（1）、世界名画《蒙娜丽莎》，就是根据黄金分割的比例来构图的。
（2）、第二幅画为什么看起来就不漂亮呢？原因是眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。那这个人就是比较漂亮的。（3）人体的黄金分割点就是肚脐眼，眉毛是脸部的黄金分割点。（4）、建筑中也有黄金比例的运用。法国巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例是8：5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此。上海的东方明珠等都是运用了黄金比。（5）、生活中的黄金分割：比如，演员在台上的时候，如果站在台中央，就显得太呆板了，而如果站在黄金分割的位置上，就会显得活泼和生动。老师站在黄金分割点处，视野更开阔，学生也是有看黑板的最佳视觉效果。
二、会找且会判断一条线段的黄金分割点吗？
知道了黄金分割点，那随便给你一条线段，你能找出他的黄金分割点吗？你又能否判断一个点是一条线段的黄金分割点吗？请同学们看大屏幕中的作图过程。在请同学们自学完成学案的第二部分。这就是黄金分割点的画法。
如图2，已知线段AB ，按照如下方法作图：
1、做一条线段的黄金分割点：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =1AB . 2
（2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE . 则点C 为线段AB 的黄金分割点.
以上的步骤就是黄金分割点的画法。请同学们记住这种作法。你知道是为什么吗？
2、证明黄金分割：
（1） 如果设AB=2，那么BD 、AD 、AC 、BC 分别等于多少？
BD =1AB =_______；DE =BD =________ 2
AD =________+________=__________ 利用勾股定理
AC =AE =_______-DE =________ ；BC =AB -AC =_________
（2） 点C 是线段AB 的黄金分割点吗？
若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足
要证明
2AC BC 。 =AB AC AC BC 2，可以先证明AC =AB ⋅BC ； =AB AC 2) =___________； ∵AC =(_________
AB ⋅BC =________⋅________=____________
∴AC =AB ⋅BC ∴2AC BC ∴点C 是线段AB 的黄金分割点。 =AB AC
请一个小组来展示他的成果，并附以简单的解释！
有这个证明我们可以总结出，要证明一条线段上的点是黄金分割点，只需要证明点分线段成的两条线段满足这个等式。
（5）、黄金分割是个古老的数学问题，比如古埃及的胡夫金字塔形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。（5）、又比如古希腊时期的巴台农神庙,
我们将神庙的一面抽象成矩
形ABCD, 以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现
BC AB , 点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？请同学们完成学案的第三部分。(由=BE BC
AE AB BC AB 题可知， ABCD是矩形，ADFE 是正方形，则可得到AE=AD=BC。∵ ∴有) ==BE BC BE AE
二、黄金矩形：
矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，
是AB 的黄金分割点吗？（2）矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ BC AB （1）点E =BE BC
证明：（1）点E 是AB 的黄金分割点。（即证明AE 2=AB ⋅BE ）
∵ BC AB 2⋅_______ ； ∴BC =______=BE BC
又∵四边形ABCD 为矩形，四边形ADFE 是正方形，∴BC =______
∴______=AB ⋅BE
(2)∵AE BC 是黄金比 ∴ 也是黄金比 ∴矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比 AB AB
AB -1=2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形、 黄金矩形：如果一个矩形ABCD (AB ＜BC ) 中，BC
三、练习
同学们学懂了黄金分割了吗？光说不练假把式，我们就来试一试吧
四、总结：
五、结尾：你们看今天林老师我穿上高跟鞋。为什么人们会穿高跟鞋呢？高跟鞋的最大作用就是提高人
体的躯干的优美性。那这是为什么呢？现在你们能解释这个原理了吗？
六、作业